物理场论梯度散度和旋度课件

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1、第第2节节 梯度、散度和旋度梯度、散度和旋度张元中张元中中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院物理场论物理场论第第1篇：物理场论基础篇：物理场论基础主要内容主要内容l1.曲线积分和曲面积分曲线积分和曲面积分l2.哈密顿算子和哈密顿算子和 Dirac函数函数l3.梯度及其性质梯度及其性质l4.散度及其性质散度及其性质l5.旋度及其性质旋度及其性质l6.算子运算公式算子运算公式l1.曲线积分和曲面积分曲线积分和曲面积分l曲线和曲面曲线和曲面空空间间是是由由点点、线线、面面构构成成的的，空空间间的的不不同同性性质质表表现现为这些空间为这些空间线积分线积分

2、和和面积分面积分的不同的不同。物物理理场场的的性性质质就就由由所所在在的的特特殊殊空空间间线线积积分分和和面面积积分分来刻画，即由空间各点的来刻画，即由空间各点的梯度梯度、散度散度和和旋度旋度来描述。来描述。物物体体在在物物理理场场中中运运动动，必必然然会会与与物物理理场场发发生生相相互互作作用用；曲曲线线积积分分和和曲曲面面积积分分就就是是反反映映这这种种作作用用的的积积累累和和总量。总量。l曲线和曲面曲线和曲面简简单单曲曲线线：是是指指这这样样的的连连续续曲曲线线，设设其其参参数数方方程为，程为，曲曲线线上上的的每每一一点点都都只只对对应应唯唯一一的的参参数数值值 ，在闭合曲线的情形下，其

3、闭合点是例外。在闭合曲线的情形下，其闭合点是例外。简单曲线是一条没有简单曲线是一条没有重点重点的的连续曲线连续曲线。l曲线和曲面曲线和曲面简简单单曲曲面面：是是指指这这样样的的连连续续曲曲面面，设设其其参参数数方方程为，程为，曲曲面面上上的的每每一一点点都都只只对对应应唯唯一一对对参参数数值值 ，在闭合曲面的情形下，其闭合点是例外。在闭合曲面的情形下，其闭合点是例外。简单曲面是一条没有简单曲面是一条没有重点重点的的连续曲面连续曲面。l曲线和曲面曲线和曲面有有向向曲曲面面：对对于于双双侧侧的的曲曲面面，常常常常取取其其中中的的一一侧为曲面的正侧，另一侧为曲面的负侧；侧为曲面的正侧，另一侧为曲面的

4、负侧；对于对于闭合曲面闭合曲面，习惯上取，习惯上取外侧外侧为为正侧正侧。规规定定了了侧侧的的曲曲面面，叫叫做做有有向向曲曲面面，其其方方向向用用法法向矢量向矢量来表示。来表示。对对于于有有向向曲曲面面，规规定定其其法法矢矢 恒恒指指向向研研究究问问题题时所取的一侧。时所取的一侧。有向曲线有向曲线：曲线的方向为参数：曲线的方向为参数 增大的方向。增大的方向。l曲线和曲面曲线和曲面曲面分上侧和下侧曲面分上侧和下侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧法线指向有向曲面外侧法线指向有向曲面外侧有向曲线有向曲线l曲线和曲面曲线和曲面设设D为为平平面面区区域域，如如果果D内内任任一一闭闭曲曲线线所所围围成成的的

5、部部分分都都属属于于D，则则称称D为为平平面面单单连连通通区区域域；否否则称为复连通区域。则称为复连通区域。复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DDl曲线和曲面曲线和曲面设空间区域设空间区域G，如果，如果G内任一闭曲面所围成的区内任一闭曲面所围成的区域全属于域全属于G，则称，则称G是空间是空间二维单连通域二维单连通域。如果如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面，则称的曲面，则称G为空间为空间一维单连通区域一维单连通区域。GGG一维单连通一维单连通二维单连通二维单连通一维单连通一维单连通二维不连通二维不连通一维不连通一维不连通二维单连通二维单连通l曲线

6、积分曲线积分物物体体在在物物理理场场中中运运动动，必必然然会会与与物物理理场场发发生生相相互互作作用用；曲曲线线积积分分和和曲曲面面积积分分就就是是反反映映这这种种作作用用的的积积累和总量。累和总量。曲曲线线积积分分可可以以分分为为两两类类：弧弧长长曲曲线线积积分分和和坐坐标标曲曲线积分线积分。质质点点在在数数量量场场中中的的运运动动，构构成成对对弧弧长长的的曲曲线线积积分分（第第I型曲线积分型曲线积分）。）。质质点点在在矢矢量量场场中中的的运运动动，构构成成对对坐坐标标的的曲曲线线积积分分（第第II型曲线积分型曲线积分）。）。l曲线积分曲线积分定义：对曲线定义：对曲线 上的数量场上的数量场

7、作和式极限作和式极限：是是把把曲曲线线 分分成成为为 个弧长小段，第个弧长小段，第 段有，段有，（1 1）且且 是在是在 内的一点。内的一点。l曲线积分曲线积分式式中中 为为积积分分的的曲曲线线路路径径；通通常常称称为为第第型型曲曲线线积分积分。如如果果（1）式式极极限限存存在在，则则把把该该极极限限称称之之为为数数量量场场 在曲线在曲线 上对弧长的曲线积分，记作上对弧长的曲线积分，记作当当 为闭合曲线时，记作为闭合曲线时，记作l曲线积分曲线积分坐标曲线积分坐标曲线积分的主要对象是的主要对象是矢量场矢量场。定义：矢量场定义：矢量场 和曲线和曲线 ，若点积和，若点积和的的极极限限存存在在，称称之

8、之为为有有向向曲线积分曲线积分，并记作，并记作l曲线积分曲线积分进一步写出坐标分量的形式：进一步写出坐标分量的形式：称称为为对对坐坐标标 的的曲曲线线积积分分；也也称称为为第第II型型曲曲线积分线积分；并不独立，受路径曲线并不独立，受路径曲线 约束。约束。l曲面积分曲面积分曲曲面面积积分分也也分分为为2 2类类：面面积积曲曲面面积积分分，坐坐标标曲曲面面积分积分。质质点点在在数数量量场场 中中做做曲曲线线运运动动，就就构构成对面积的曲面积分。成对面积的曲面积分。定定义义：将将曲曲面面 剖剖分分以以后后其其中中典典型型的的第第 块块为为 ，取和：取和：（2 2）l曲面积分曲面积分 是是曲曲面面上

9、上 的的一一点点，若若式式（2 2）的的极极限限存存在在，则则称称为为数数量量场场 在在曲曲面面上上的的面面积积曲曲面面积积分分，也也称称为为第第I型曲面积分型曲面积分。记作。记作或或在这种情况下数量场在这种情况下数量场 中的中的 并不独并不独立，受到曲面立，受到曲面 的约束。的约束。l曲面积分曲面积分坐坐标标曲曲面面积积分分的的对对象象是是矢矢量量场场。典典型型的的例例子子是是电位移矢量电位移矢量 穿过曲面穿过曲面 的的电通量电通量 。电电通通量量 是是一一个个标标量量，但但是是它它 与与 和和之之间间的的相对关系密切。相对关系密切。规规定定 表表示示 的的外外法法线线，即即曲曲面面的的方方

10、向向，当当 时时通通量量穿穿过过 最最多多；无无通通量量穿过穿过 ，即，即 。l曲面积分曲面积分定定义义：空空间间矢矢量量场场 在在有有向向曲曲面面上上构构成和式：成和式：其其中中 处处于于 中中的的任任一一点点，若若上上式式的的极极限限存存在在，则则称称之之为为矢矢量量场场函函数数 对对 的的有有向向曲曲面积分。记作：面积分。记作：l曲面积分曲面积分进一步用矢量表示为：进一步用矢量表示为：分分别别表表示示外外法法向向单单位位矢矢量量在在 轴轴的的投影，则有：投影，则有：根据右图，有以下关系：根据右图，有以下关系：l有向曲面微分有向曲面微分：l曲面积分曲面积分最后得到：最后得到：为为矢矢量量函

11、函数数 对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分，也也称称为为第第II型曲面积分型曲面积分。在在上上式式中中，被被积积函函数数 中中的的 并并不不独独立立，受曲面受曲面 的约束。的约束。把一般的曲面方程改写为：把一般的曲面方程改写为：l曲面积分曲面积分则有：则有：与与 轴正向成锐角时，上式右端取轴正向成锐角时，上式右端取 。与与 轴正向成钝角时，上式右端取轴正向成钝角时，上式右端取 。上式将曲面积分简化为一般的二重积分。上式将曲面积分简化为一般的二重积分。l2.哈密顿算子和哈密顿算子和 Dirac函数函数l哈密顿算子哈密顿算子算子算子：一种对函数的运算符号。：一种对函数的运算符号。一一个个算算子子作作

12、用用于于一一个个函函数数以以后后可可以以按按照照一一定定的的规则生成一个新的函数。规则生成一个新的函数。算算子子与与函函数数的的作作用用与与算算子子的的定定义义有有关关。算算子子的的作用在于作用在于简化运算简化运算。比比如如微微分分算算子子 ，不不定定积积分分算算子子 ，拉拉普普拉拉斯算子斯算子 ，偏微分算子，偏微分算子 等。等。l哈密顿算子哈密顿算子哈密顿（哈密顿（HamiltonHamilton）引进一个矢性微分算子，）引进一个矢性微分算子，称为哈密顿算子或称为哈密顿算子或 算子。算子。算算子子本本身身并并无无意意义义，只只是是一一种种微微分分运运算算符符号号，同时被看作是同时被看作是矢量

13、矢量。算算子子在在运运算算中中具具有有矢矢量量和和微微分分的的双双重重性性质质，分别可与数量场和矢量场发生作用。分别可与数量场和矢量场发生作用。lDirac函数函数且满足归一性和选择性：且满足归一性和选择性：定义：一维定义：一维 满足满足Dirac函函数数代代表表一一类类脉脉冲冲函函数数，可可以以对对应应点点电电荷荷的的密度等。密度等。l3.梯度及其性质梯度及其性质l坐标不变性坐标不变性物物理理场场的的性性质质就就由由所所在在的的特特殊殊空空间间线线积积分分和和面面积积分分来来刻刻画画，即即由由空空间间各各点点的的梯梯度度、散散度度和和旋旋度度来描述。来描述。由由于于实实际际问问题题的的几几何

14、何结结构构不不同同，必必然然会会选选择择不不同的同的坐标系坐标系（场合）。（场合）。坐坐标标不不变变性性：坐坐标标系系可可以以变变化化，但但反反映映的的物物理理本质和物理规律不变，即与坐标系的选择无关。本质和物理规律不变，即与坐标系的选择无关。l方向余弦方向余弦 数量场数量场 的变化空间取一点的变化空间取一点 ，它对，它对应应 ，讨论此时朝，讨论此时朝 方向的变化规律。方向的变化规律。任取一小段任取一小段 ：分别表示分别表示 在在 轴上的方向余弦，于是得到：轴上的方向余弦，于是得到：l方向导数方向导数 以下将讨论数量场以下将讨论数量场 在在 方向的变化规律。方向的变化规律。定义：定义：是数量场

15、是数量场 中的一点，在中的一点，在 方方向上的动点向上的动点 ，记，记 ，当，当 时，有：时，有：的极限存在，则称此极限的极限存在，则称此极限为函数为函数 在在 处沿处沿 的的方方向导数向导数，记作，记作l方向导数方向导数表示为：表示为：方向导数方向导数 是一个点是一个点 处沿方向处沿方向 ，函数，函数 对对距离的变化率。距离的变化率。当当 时，函数时，函数 沿沿 方向就是增加的；方向就是增加的；当当 时，函数时，函数 沿沿 方向就是减小的；方向就是减小的；当当 时时，方方向向即即在在数数量量场场 的的等等值面上。值面上。l方向导数方向导数 定定理理：若若函函数数 在在点点 处处可可微微；是是

16、 方方向向的的方方向向余余弦弦，则则函函数数 在在点点 处处沿沿 方向的方向导数必存在，且由如下公式给出：方向的方向导数必存在，且由如下公式给出：其中其中 是在点是在点 处的偏导数。处的偏导数。l梯度梯度 方方向向导导数数给给出出了了数数量量场场在在给给定定点点处处沿沿某某个个方方向的变化率问题。向的变化率问题。然然而而从从场场中中的的给给定定点点出出发发，有有无无穷穷多多个个方方向向，那个方向的变化率最大那个方向的变化率最大？最大的变化率又是多少呢？最大的变化率又是多少呢？这是这是科学技术科学技术中经常需要探讨的问题？中经常需要探讨的问题？l梯度梯度方向导数的计算公式为：方向导数的计算公式为

17、：则方向导数表示为则方向导数表示为 与与 的数量积：的数量积：当当 与与 的的方方向向一一致致时时，即即 时时，方方向向导数取最大值。导数取最大值。l梯度梯度 直角坐标系中的表达式为：直角坐标系中的表达式为：定定义义：若若在在数数量量场场 中中的的一一点点 处处，存存在在矢矢量量 ，其其方方向向为为 在在 点点处处变变化化率率最最大大的的方方向向，其其模模也也正正好好是是这这个个最最大大变变化化率率的的数数值值。则称矢量则称矢量 为函数为函数 在点在点 处的梯度，记作处的梯度，记作l梯度梯度梯梯度度性性质质1 1：梯梯度度的的大大小小是是 点点各各种种方方向向中中最大的方向导数。最大的方向导数

18、。梯梯度度性性质质2 2：数数量量场场 在在 点点处处的的梯梯度度垂垂直直于于该点的等值面，且指向函数该点的等值面，且指向函数 增大的方向。增大的方向。梯梯度度性性质质3 3：梯梯度度 的的方方向向与与 等等值值面面的的法法线线重重合合，且且指指向向 增增大大的的方方向向，大大小小是是 方方向向的的方向导数方向导数 。l梯度梯度梯梯度度性性质质4 4：梯梯度度 的的方方向向，即即等等值值面面的的法法线线，是是 变变化化最最快快的的方方向向，是是 下下降降最最快快的方向。的方向。梯梯度度性性质质5 5：数数量量场场 在在 方方向向的的方方向向导导数数是是梯度在该方向的投影。即：梯度在该方向的投影

19、。即：梯梯度度的的物物理理意意义义：标标量量场场在在空空间间变变化化最最快快的的方方向和大小（向和大小（标量场非均质性的量度标量场非均质性的量度）。）。l4.散度及其性质散度及其性质l通量和源通量和源假若：假若：定定义义：设设有有矢矢量量场场 ，沿沿其其中中有有向向曲曲面面 某某一侧的曲面积分：一侧的曲面积分：为矢量场为矢量场 向积分所沿一侧穿过曲面向积分所沿一侧穿过曲面 的的通量通量。则有：则有：通量是可以叠加的。通量是可以叠加的。l通量和源通量和源在直角坐标系中：在直角坐标系中：则通量在直角坐标系中表示为：则通量在直角坐标系中表示为：l通量和源通量和源通量的定义为：通量的定义为：通量是矢量

20、场通量是矢量场 与有向曲面与有向曲面 之间的之间的数量数量作用。作用。通通量量从从表表面面上上看看是是矢矢量量力力线线 和和 之之间间的的相相互互作作用用；其其实实质质是是力力线线背背后后的的源源（source）在在起起作作用，因为力线是源发出的。用，因为力线是源发出的。对对闭闭合合曲曲面面 的的通通量量若若不不为为零零，则则 内内部部必必然然存在存在源源。l通量和源通量和源当当 时时，通通量量为为正正，其其本本质质是是曲曲面面 内内的的正源正源（）所致。）所致。对对于于 的的情情况况，无无法法断断定定 内内是是否否有有源源，因因为为有有可可能能存存在在正正源源和和负负源源同同时时存存在在，二

21、二者者相相互互抵消而使通量为零的情况。抵消而使通量为零的情况。当当 时时，通通量量为为负负，其其本本质质是是曲曲面面 内内的的负源负源（）所致；有时也称为）所致；有时也称为“漏漏”。以上两种情况，称曲面以上两种情况，称曲面 内内有源有源。l通量和源通量和源源的物理意义要根据具体的源的物理意义要根据具体的物理场物理场而确定。而确定。在在一一般般的的矢矢量量场场 中中，对对于于穿穿出出封封闭闭曲曲面面 的的通通量量 ，当当其其不不为为零零时时，视视其其为为正正负负而而说说 内内有有产产生通量的生通量的正源正源或或负源负源。源与通量之间关系的源与通量之间关系的两个结论两个结论：F 闭闭合合曲曲面面内

22、内的的通通量量与与曲曲面面的的形形状状无无关关，只只取取决决于曲面内部的源。于曲面内部的源。F 通量与源在曲面内部的位置无关。通量与源在曲面内部的位置无关。l散度散度散散度度的的定定义义：设设有有矢矢量量场场 ，在在场场中中一一点点 的的某某个个领领域域内内作作一一包包含含点点 在在内内的的任任一一闭闭曲曲面面 ，其其包包围围的的空空间间区区域域为为 ，以以 表表示示其其体体积积，穿穿出出 的通量为的通量为 。当。当 以任意方式缩向以任意方式缩向 时，时，的的极极限限存存在在，称称此此极极限限为为矢矢量量场场 在在点点 处处的散度，记作的散度，记作 （divergence），即），即:l散度散

23、度散度散度 是一个数量。是一个数量。散散度度表表示示场场中中一一点点处处通通量量对对体体积积的的变变化化率率；表表示示该该点点处处一一个个单单位位体体积积内内穿穿出出的的通通量量，称称为为该该点点处处源的强度（源的强度（散度的物理意义散度的物理意义）。当当 之之值值不不为为零零时时，其其符符号号为为正正或或为为负负，表表示该点处示该点处散发通量散发通量的的正源正源或或吸收通量吸收通量的的负源负源。l散度散度绝绝对对值值 表表示示该该点点处处散散发发通通量量或或吸吸收收通通量量的强度。的强度。当当 之值为零时，表示该点处无源。之值为零时，表示该点处无源。称称 的矢量场的矢量场 为为无源场无源场。

24、把把矢矢量量场场 中中每每一一点点处处的的散散度度与与场场中中之之点点一一一一对对应应起起来来，得得到到一一个个数数量量场场，称称为为由由此此矢矢量量场场产产生的生的散度场散度场。散度是用一个散度是用一个数量场数量场来描述一个来描述一个矢量场矢量场。l散度散度定理：在定理：在直角坐标系直角坐标系中，矢量场中，矢量场在任一点在任一点 处的散度为：处的散度为：若在封闭曲面若在封闭曲面 内处处有内处处有 ，则，则l散度散度散散度度的的性性质质1：散散度度 描描述述场场内内任任一一点点 邻邻域域内内函函数数的的变变化化情情况况，是是矢矢量量场场散散发发或或吸吸收收通通量的量度。量的量度。散散度度的的性

25、性质质2：散散度度 是是与与矢矢量量场场 相相联联系系的一个标量场，即用标量场来描述矢量场。的一个标量场，即用标量场来描述矢量场。散散度度的的性性质质3：散散度度的的定定义义与与坐坐标标系系的的选选择择无无关。关。l5.旋度及其性质旋度及其性质l环量环量环环量量：设设有有矢矢量量场场 ，沿沿场场中中某某一一封封闭闭的的有有向曲线向曲线 的曲线积分的曲线积分叫做矢量场按照积分所取方向沿曲线叫做矢量场按照积分所取方向沿曲线 的的环量环量。在直角坐标系中，环量表示为：在直角坐标系中，环量表示为：l环量环量环环量量叠叠加加定定理理：若若有有多多个个矢矢量量场场 ，且且在在同同一一个个曲曲线线 内内穿穿

26、进进（或或穿穿出出），则则总总的的环环量量满足叠加定理，满足叠加定理，如如果果总总环环路路内内有有多多个个流流 ，则则总总环环量量是流是流 的代数和。的代数和。l环量环量如如果果环环量量 为为零零，并并不不意意味味着着环环路路内内无无流流，只只能表明环路内流的能表明环路内流的代数和代数和为零。为零。环环量量表表示示流流贡贡献献的的宏宏观观描描述述，无无法法从从微微观观层层面面上描述流的特性。上描述流的特性。闭闭合合曲曲线线内内环环量量 与与曲曲线线形形状状无无关关；与与流流在在曲曲线内的线内的位置位置无关，只取决于穿过曲线无关，只取决于穿过曲线 的流的流 。l环量面密度环量面密度环环量量只只能

27、能描描场场中中述述以以 为为边边界界的的一一块块曲曲面面 内内总总的的流流（电电流流强强度度）；不不能能反反映映场场中中任任意意一一点点处处通向任意方向通向任意方向 的的流的密度流的密度（电流密度电流密度）。）。流流密密度度：矢矢量量场场中中 点点处处沿沿任任一一方方向向 ，通通过过与与 垂直的单位面积的流（垂直的单位面积的流（电流强度电流强度）。）。引入引入环量面密度环量面密度的概念。的概念。l环量面密度环量面密度环环量量面面密密度度：设设 为为矢矢量量场场 中中的的一一点点，在在该该点点处处取取定定一一个个方方向向 ，过过该该点点做做一一微微小小曲曲面面 ，以以 为为其其法法矢矢；以以 表

28、表示示其其表表面面积积，其其边边界界 的的正正向向取取作作与与 构构成成右右手手螺螺旋旋关关系系；矢矢量量场场沿沿 之之正正向向的的环环量量 与与面面积积 的的比比值值 的的极极限限存存在在，则则称称其其为为矢矢量量场场 在在点点 处处沿沿方方向向 的的环环量量面面密密度度。记作。记作 ，即，即l环量面密度环量面密度环量面密度的计算公式为，环量面密度的计算公式为，可以视为两个矢量的点积，分别是，可以视为两个矢量的点积，分别是，为给定点处的一固定矢量。为给定点处的一固定矢量。为方向为方向 的单位矢量。的单位矢量。l环量面密度环量面密度环量面密度的计算公式可以表示为：环量面密度的计算公式可以表示为

29、：在在给给定定点点处处，在在任任一一方方向向 上上的的投投影影，就就是是该该方向上的环量面密度。方向上的环量面密度。的的方方向向是是环环量量面面密密度度最最大大的的方方向向，模模为为最最大大的环量面密度。的环量面密度。叫做矢量场叫做矢量场 的的旋度旋度。l旋度旋度旋旋度度的的定定义义：若若在在矢矢量量场场 中中的的一一点点 处处存存在在一一个个矢矢量量 ，矢矢量量场场 在在点点 处处沿沿其其方方向向的的环环量量面面密密度度为为最最大大，最最大大值值为为 ，则则称称矢矢量量 为为矢矢量量场场 在点在点 处的处的旋度旋度(rotation)，记作，记作 ，即，即旋旋度度矢矢量量在在数数值值和和方方

30、向向上上给给定定最最大大的的环环量量面面密密度的大小和方向。度的大小和方向。旋度的定义与坐标系选择无关。旋度的定义与坐标系选择无关。l旋度旋度旋度在直角坐标系中的表达式为：旋度在直角坐标系中的表达式为：用行列式表示为：用行列式表示为：l旋度旋度旋旋度度的的性性质质1 1：旋旋度度是是与与矢矢量量场场相相关关的的一一个个矢矢量量场，场，即用矢量场来描述矢量场即用矢量场来描述矢量场。旋旋度度的的性性质质2 2：旋旋度度 描描述述场场内内任任一一点点 邻邻域域内内，矢矢量量函函数数的的变变化化情情况况，是是矢矢量量场场非非均均匀匀性性的一种量度（的一种量度（旋度的物理意义旋度的物理意义）。）。旋旋度

31、度的的性性质质3 3：旋旋度度 矢矢量量在在任任一一方方向向 上上的的投影等于该方向上的环量面密度投影等于该方向上的环量面密度 。旋旋度度的的性性质质4 4：旋旋度度 矢矢量量的的模模是是最最大大环环量量面面密度。密度。l6.算子运算公式算子运算公式l算子运算规则算子运算规则哈哈密密顿顿算算子子 是是描描述述场场与与空空间间相相互互作作用用的的统统一一工具工具。哈哈密密顿顿算算子子 和和梯梯度度、散散度度和和旋旋度度共共同同构构成成物物理场描述的完备体系。理场描述的完备体系。算算子子的的运运算算规规则则（与与场场的的数数性性和和矢矢性性作作用用）主要包括主要包括4 4种运算：种运算：1 1）与

32、数量场）与数量场 的相互作用的相互作用梯度算子梯度算子l算子运算规则算子运算规则2 2）与矢量场）与矢量场 的数性作用的数性作用散度算子散度算子3 3）与矢量场）与矢量场 的矢性作用的矢性作用旋度算子旋度算子l算子运算规则算子运算规则4 4）数性算子）数性算子 拉普拉斯算子拉普拉斯算子拉拉普普拉拉斯斯算算子子既既可可以以与与数数量量场场作作用用，也也可可以以与与矢量场矢量场作用。作用。数量场数量场矢量场矢量场l算子运算规则算子运算规则场场（原原场场）与与 算算子子相相互互作作用用的的结结果果，产产生生一一个新的场（个新的场（算子场算子场）。）。原场原场算子场算子场数量场数量场矢量场矢量场 对应

33、矢量场对应矢量场 对应数量场对应数量场 对应数量场对应数量场 对应矢量场对应矢量场 对应矢量场对应矢量场l算子运算规则算子运算规则 算算子子的的显显著著特特点点在在于于它它的的双双重重性性，既既是是一一个个算算子子，又又是是一一个个矢矢量量，但但首首先先是是一一个个算算子子，因因此此与矢量的运算法则与矢量的运算法则略有不同略有不同。矢矢量量的的点点积积可可以以交交换换，但但 算算子子和和场场的的点点积积不不能交换。能交换。矢矢量量的的叉叉积积可可以以反反交交换换，但但 算算子子和和场场的的叉叉积积不能交换。不能交换。l算子运算规则算子运算规则 算算子子如如果果作作用用两两个个场场，则则它它对对

34、两两个个场场分分别别起起作用作用。算子与两个数量场算子与两个数量场 的作用。的作用。算子与一个数量场算子与一个数量场 和一个矢量场和一个矢量场 的作用。的作用。为常矢。为常矢。为常矢。为常矢。l算子运算规则算子运算规则 算子与矢量场算子与矢量场 和和 的作用。的作用。l算子运算规则算子运算规则数性微分算子数性微分算子既可以与数量场作用，也可以与矢量场作用。既可以与数量场作用，也可以与矢量场作用。数量场数量场矢量场矢量场l梯度运算公式梯度运算公式(1)C为常数为常数(2)C为常数为常数(3)(4)(5)(6)(7)l散度运算公式散度运算公式（1）（为常数）为常数）（2）（3）（为数性函数）为数性函数）l旋度运算公式旋度运算公式（1）（为常数）为常数）（2）（3）（为数性函数）为数性函数）（4）（5）（6）l位置矢量位置矢量位矢（位置矢量）位矢（位置矢量）（）（为常矢）为常矢）（为常矢）为常矢）（为常矢）为常矢）l距离矢量距离矢量