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1、33复合函数与隐函数的偏导数复合函数与隐函数的偏导数一、多元复合函数的导数一、多元复合函数的导数(链式法则链式法则)定理：定理：链式法则链式法则如图示如图示 全导数全导数 解解解解解解例例3 设设,而而,求求解解解解例例5 5 设设解解例例6 设设,而而求求解解解解例例8 8 设设求求例例9 已知已知证明：证明：左左=右右得证得证证：证：解解 令令记记同理有同理有于是于是例例11证证从而从而=x设设 z=f(u,v)可微可微,当当 u,v 为自变量时为自变量时,有有若若 u,v 不是自变量不是自变量,而是中间变量而是中间变量,是否仍有这一形式是否仍有这一形式?设设 u=u(x,y),v=v(x
2、,y)均可微均可微,则则z=f(u(x,y),v(x,y),二、全微分的形式不变性二、全微分的形式不变性由链式法则由链式法则,代入代入,z=f(u(x,y),v(x,y)即即:不论不论u,v是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量,z=f(u,v)的全微分的形式不变的全微分的形式不变.解解例例14 用全微分形式不变性求用全微分形式不变性求解解 记记 u=xy,从而从而 z=f(u,v).从而从而隐函数求导法隐函数求导法方法方法:方程两边对方程两边对 x 求导求导.一元函数：一元函数：F(x,y)=0注意注意：y 是是 x 的函数的函数y=f(x),然后解出然后解出 y.(1)是否任何一个二元方
3、程是否任何一个二元方程 F(x,y)=0.都都确定了确定了y 是是 x 的函数的函数(单值单值)?如如 x2+y2=1.什么条件下确定什么条件下确定 y=f(x)?(2)若方程确定若方程确定y=f(x).它是否可它是否可导导?给出一般的求导公式给出一般的求导公式.(3)三元三元(以上以上)方程方程F(x,y,z)=0.的情形怎的情形怎样样?问题问题:设函数设函数F(x,y)在点在点 X0=(x0,y0)的邻域的邻域U(X0)内有连续偏导数内有连续偏导数.一、方程一、方程F(x,y)=0且且F(x0,y0)=0,则方程则方程 F(x,y)=0在点在点 X0=(x0,y0)的某邻域内的某邻域内唯一
4、确定一个有连续导数的唯一确定一个有连续导数的(单值单值)函数函数 y=f(x),它满足它满足 y0=f(x0).且且(隐函数存在定理隐函数存在定理)定理定理1隐函数的求导公式隐函数的求导公式例例1.方程方程 x2+y2 1=0,当当x=0时时,y=1.法法1.x2+y2=1两边对两边对 x 求导求导,y 是是 x 的函数的函数2x+2y y=0法法2.F(x,y)=x2+y2 1解解令令则则定理定理1可推广到方程中有多个变量的情形可推广到方程中有多个变量的情形.二、方程二、方程 F(x,y,z)=0设三元函数设三元函数 F(x,y,z)在在 X0=(x0,y0,z0)的的邻域邻域 U(X0)内
5、有连续编导，内有连续编导，F(x0,y0,z0)=0,Fz(x0,y0,z0)0,则在则在 X0 的某邻域内唯一确定一的某邻域内唯一确定一个有连续偏导的函数个有连续偏导的函数 z=f(x,y),满足满足 z0=f(x0,y0),且且定理定理2例例3.法法1.记记 F(x,y,z)=sin(x 3z)2y z有有 Fx=cos(x 3z),故故Fy=2,Fz=3cos(x 3z)1 法法2：sin(x 3z)=2y+z两边对两边对 x 求偏导，求偏导，z 是是 x 的函数，的函数，y看作常数看作常数.解得解得:类似得类似得解令令则则例例5 5 设设求求令令例例6 设设求求令令例例7 设设且且f具
6、有连续的一阶具有连续的一阶法法1确定确定偏导数偏导数,求求令令例例7 设设且且f具有连续的一阶具有连续的一阶法法2确定确定偏导数偏导数,求求等式两边对等式两边对x求偏导求偏导例例7 设设且且f具有连续的一阶具有连续的一阶法法3 3确定确定偏导数偏导数,求求利用一阶全微分形式不变性利用一阶全微分形式不变性思路：思路：整理得整理得解解令令则则整理得整理得整理得整理得例例9 设方程设方程F(x2+y2+z2,sinxy)=0,F C1,求求方法方法1(公式法公式法):方程左边是方程左边是x,y,z的复合函数的复合函数用链式法则求用链式法则求Fx,Fy,Fz.Fx=F 1 Fy=F 1 Fz=F 1=
7、2xF 1+ycosxy F 22x+F 2 cosxy y=2yF 1+xcosxy F 22y+F 2 cosxy x=2zF 12z+F 2 0方法方法2 方程方程 F(x2+y2+z2,sinxy)=0两边对两边对 x 求偏导求偏导.其中其中 z 是是 x 的函数的函数,y看作常量看作常量.=0解得解得:F 1(2x+2z zx)+F2 cosxy y例例10 设设 z=z(x,y)是由方程是由方程 x+y+z=(x2+y2+z2)所所确定的函数确定的函数,其中其中 C1，证明证明 z=z(x,y)满足满足证证 记记 F(x,y,z)=x+y+z (x2+y2+z2),u=x2+y2+z2,有有 F x=1 F z=1 2z u=1 2x u u 2x 2y u,F y=1故从而思路思路：解解令令则则整理得整理得整理得整理得整理得整理得1、链式法则、链式法则（分三种情况）（分三种情况）2、全微分形式不变性、全微分形式不变性（特别要注意课中所讲的特殊情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）（理解其实质）（理解其实质）小结小结（分以下几种情况）（分以下几种情况）隐函数的求导法则隐函数的求导法则3、隐函数求偏导、隐函数求偏导
完整版3多元复合函数与隐函数的求导法则课件
