离散型随机变量的均值与方差（详解教师版）

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1、离散型随机变量的均值与方差（详解教师版） ; 离散型随机变量的均值与方差一、考点、热点回忆【学习目标】1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或冀望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或冀望，并能解决一些实际问题；2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、规范差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或规范差，并能解决一些实际问题； 【要点梳理】要点一、离散型随机变量的冀望 1.定义：一般地，假设离散型随机变量的概率分布为 P x1 p1 x2 p2 xi pi 那么称Ex1p1x2p2xnpn 为的均值或数学冀望，简称冀望 要点诠释：1均值冀望是随机变量的一个重要特征数，它反

2、映或刻画的是随机变量取值的平均水平 2一般地，在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令p1p2pn，那么有p1p2pn11，E(x1x2xn)，所以的数学冀望又称为平均数、均值。 nn3随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位 2性质：E()EE；假设ab(a、b是常数)，是随机变量，那么也是随机变量，有E(ab)aEb；E(ab)aEb的推导过程如下：的分布列为 P x1 x2 xi axib Pi ax1b P1 ax2b P21 于是E(ax1b)p1(ax2b)p2(axib)pia(x1p1x2p2xipi)b(p1p2pi)aEb E(ab)aEb。要点二：离散型随机变量的方差与

3、规范差 1.一组数据的方差的概念：已知一组数据x1，x2，xn，它们的平均值为x，则各数据与x的差的平方的平均数S21(x1x)2(x2x)2(xnx)2叫做这组数据的方差。 n2.离散型随机变量的方差：一般地，假设离散型随机变量的概率分布为 P x1 p1 x2 p2 xi pi 那么称D(x1E)2p1(x2E)2p2(xnE)2pi称为随机变量的方差，式中的E是随机变量的冀望D的算术平方根D叫做随机变量的规范差，记作要点诠释：随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；随机变量的方差、规范差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差规范差

4、越小，随机变量的取值就越稳定越靠近平均值规范差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。 3.冀望和方差的关系：DE(2)(E)24.方差的性质：假设ab(a、b是常数)，是随机变量，那么也是随机变量，DD(ab)aD； 要点三：常见分布的冀望与方差 1、二点分布：假设离散型随机变量服从参数为p的二点分布，那么 22冀望Ep 方差Dp(1p).证明：P(0)q,P(1)p,0p1,pq1 E0q1ppD(0p)2q(1p)2pp(1p).2、二项分布：假设离散型随机变量服从参数为n,p的二项分布，即B(n，P),那么 冀望EnP 方差Dnp(1-p) 冀望公式证明：kkkknkP

5、(k)Cnp(1p)nkCnpq，00n11n122n2kknknn0E0Cnpq1Cnpq2Cnpq.kCnpq.nCnpq，又kCnkkn!n(n1)!k1nCn1，k!(nk)!(k1)!(n1)(k1)!00n111n2k1k1(n1)(k1)n1n10Enp(CnCnCnCnqq) 1pq1p1p1pqnp(pq)n1np3、几何分布：独立重复试验中，假设事件A在每一次试验中发生的概率都为p，事件A第一次发生时所做的试验次数是随机变量，且P(k)(1p)k1p，k0,1,2,3,n,，称离散型随机变量服从几何分布，记作：P(k)g(k，P)。假设离散型随机变量服从几何分布，且P(k)

6、g(k，P)，那么 冀望E1. p1-p p2方差D 3 要点诠释：随机变量是否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率两个角度去验证。 4、超几何分布：假设离散型随机变量服从参数为N,M,n的超几何分布，那么 冀望E()nM N要点四：离散型随机变量的冀望与方差的求法及应用 1、求离散型随机变量的冀望、方差、规范差的根本步骤： 理解的意义，写出可能取的全部值； 求取各个值的概率，写出分布列； Px1 p1 x2 p2 xi pi 根据分布列，由冀望、方差的定义求出E、D、：Ex1p1x2p2xnpnDx1Ep1x2Ep2xnEpn222D. 注意：常见分布列的冀望和方差，不必写出分布列，

7、直接用公式计算即可 2.离散型随机变量的冀望与方差的实际意义及应用离散型随机变量的冀望，反映了随机变量取值的平均水平；随机变量的方差与规范差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。方差越大数据波动越大。对于两个随机变量1和2，当需要了解他们的平均水平时，可比拟E1和E2的大小。 E1和E2相等或很接近，当需要进一步了解他们的稳定性或者集中程度时，比拟D1和D2，方差值大时，那么说明比拟离散，反之，那么说明比拟集中品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、武器的性能等很多指标都与这两个特征数数学冀望、方差有关二、典型例题 4 类型一、离散型随机变量的冀望例1 已知随机变量X的分布列为：

8、 X P 2 1 0 1 m 2 1 41 31 51 20试求：1EX；2假设y=2X3，求EY 【思路点拨】 分布列中含有字母m，应先根据分布列的性质，求出m的值，再利用均值的定义求解；对于2，可直接套用公式，也可以先写出Y的分布列，再求EY 【解析】1由随机变量分布列的性质，得11111m1，m， 4352061111117。 E(X)(2)(1)012433620302解法一：由公式EaX+b=aEX+b，得6217E(Y)E(2X3)2E(X)3231530解法二：由于Y=2X3，所以y的分布如下： X P 7 5 3 1 1 111143561111162。 E(Y)(7)(5)(

9、3)(1)1435620231 20【总结升华】 求冀望的关键是求出分布列，只要随机变量的分布列求出，就可以套用冀望的公式求解，对于aX+b型随机变量的冀望，可以利用冀望的性质求解，当然也可以求出aX+b的分布列，再用定义求解 举一反三：【变式1】已知某射手射击所得环数的分布列如下：45 6 7 8 9 10 0000000P .02 .04 .06 .09 .28 .29 .22 求E.【答案】E4P(4)5P(5)6P(6)7P(7)8P(8)9P(9)10P(10) 40.0250.0460.0670.0980.2890.29100.22 8.32。【变式2】已知随机变量的分布列为2 1 0 1 2 3 5