概率第四节课件

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1、1.4 条件概率条件概率一一.条件概率的概条件概率的概念念概率第四节引例引例一批同型号产品由甲、乙两厂生产，一批同型号产品由甲、乙两厂生产，1200 500 700 合计合计 81 25 56 次品次品 1119 475 644 合格品合格品 合计合计甲厂甲厂 乙厂乙厂厂厂 别别 数数 量量等级等级产品结产品结构如右表构如右表.从从这批产品中这批产品中随意地抽取随意地抽取一件一件,则这件则这件产品为次品产品为次品的概率为的概率为概率第四节取出的这件产品为次取出的这件产品为次 品的概率为品的概率为记事件记事件“取出的产品是甲厂生产的取出的产品是甲厂生产的”;A:B:“取出的产取出的产品为次品品为

2、次品”，在事件在事件A发生的条件下发生的条件下,求事件求事件 B发生的概率发生的概率,条件概率条件概率.完完假设被告知取出的产品是甲厂生产的假设被告知取出的产品是甲厂生产的,概率第四节二二.条件概率的定义条件概率的定义定义定义设设A、B是两个事件，是两个事件，且且则称则称(1)为在事件为在事件A发生的条件下，发生的条件下，事件事件B的的条件概率条件概率.事件事件A已发生已发生,则为使则为使B也发生也发生即此样本点必属于即此样本点必属于AB.A成为新的样成为新的样本空间本空间.概率第四节性质性质设设B是一事件是一事件,且且P(A)0,则则1.对任一事件对任一事件A,2.3.设设互不相容互不相容,

3、则则前面所证概率的性质都适用于条件概率前面所证概率的性质都适用于条件概率.计算计算(1)用定义计算用定义计算;(2)根据加入条件后改变了的情况来计算根据加入条件后改变了的情况来计算.缩减样本空间缩减样本空间概率第四节例如例如,在投掷骰子的试验中在投掷骰子的试验中,设事件设事件则则在缩减样本空间中在缩减样本空间中A所含样本点个数所含样本点个数B发生后的缩减样本空间所含样本点发生后的缩减样本空间所含样本点总总数数完完概率第四节例例1袋中有袋中有 5 个球个球,从袋中不放回地连取两个从袋中不放回地连取两个,其中其中 3 个红球个红球 2 个白球个白球,现现已知第一次取得红球已知第一次取得红球求第二次

4、取得白球的概率求第二次取得白球的概率.解法解法 1设设表示表示“第一次取得红球第一次取得红球”,”,表示表示“第第二次取得白球二次取得白球”,”,时时,概率第四节解法解法 2设设表示表示“第一次取得红球第一次取得红球”,”,表示表示“第第二次取得白球二次取得白球”,”,求求完完概率第四节一袋中装有一袋中装有 10 个球个球,先后两次从袋中各取一球先后两次从袋中各取一球(不放回不放回).其中其中 3 个黑球个黑球,7 个白个白(1)(2)已知第一次取出的是黑球已知第一次取出的是黑球,求第二次取出的仍求第二次取出的仍是黑球的概率是黑球的概率;已知第二次取出的是黑球已知第二次取出的是黑球,求第一次取

5、出的也求第一次取出的也是黑球的概率是黑球的概率.例例2球球,概率第四节解解记记为为(1)次取到的是黑球次取到的是黑球”事件事件“第第(2)概率第四节三三.乘法公式乘法公式(1)(2)乘法公式乘法公式可计算两个可计算两个事件同时发生的概率事件同时发生的概率.乘法公式易推广到多个事件的情形乘法公式易推广到多个事件的情形.概率第四节设设A,B,C为事件为事件,且且P(AB)0,则则(3)设设为为n个事件个事件,且且则则完完概率第四节例例3一袋中装有一袋中装有 10 个球个球,球球,其中其中 3 个黑球、个黑球、7 个白个白求两次求两次取到的均为黑球的概率取到的均为黑球的概率.解解 设设表示表示先后两

6、次从中随意各取一球先后两次从中随意各取一球(不放回不放回),次取到的是黑球次取到的是黑球”事件事件“第第概率第四节例例4设某光学仪器厂制造的透镜设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下打第一次落下打破的概率为破的概率为 1/2,若第一次落下未打破若第一次落下未打破,下打破的概率为下打破的概率为 7/10,第二次落第二次落若前两次落下未打破若前两次落下未打破,第三第三次落下打破的概率为次落下打破的概率为 9/10,试求透镜落下三次而未试求透镜落下三次而未打破的概率打破的概率.概率第四节解解以以表示表示事件事件“透镜落下三次而未打破透镜落下三次而未打破”.”.因为因为故有故有次落下打次落下打事件事件“

7、透镜第透镜第表示表示以以破破”,完完概率第四节四四.全概率公式全概率公式定理定理 设设是一完备事件组是一完备事件组,且且则对任一事件则对任一事件B,有有全概率公式将计算一个复杂事件的概率问题，转全概率公式将计算一个复杂事件的概率问题，转化为在不同情况或不同原因下发生的简单事件的化为在不同情况或不同原因下发生的简单事件的概率求和问题概率求和问题全概率公式的图解全概率公式的图解概率第四节注注:全概率公式可用于计算比较复杂的事件的概率全概率公式可用于计算比较复杂的事件的概率,公式指出公式指出:在复杂情况下直接计算在复杂情况下直接计算P(B)不易时不易时,可根可根据具体情况构造一完备事件组据具体情况构

8、造一完备事件组使事件使事件B发生的发生的概率是各事件概率是各事件发生的条件下事件发生的条件下事件B发发生的概率总和生的概率总和.概率第四节特别地特别地,若取若取n=2,并将并将记为记为A,则则 就是就是于于是是,全概率公式成为全概率公式成为这个公式是常用的这个公式是常用的.完完概率第四节例例5人们为了解一只股票人们为了解一只股票变化变化,往往会去分析往往会去分析如利率的变化如利率的变化.比比现假设人们经分析估计现假设人们经分析估计的概率为的概率为 60%,利率不变的概率为利率不变的概率为 40%.根据经根据经验验,人们估计人们估计,价格上涨的概率为价格上涨的概率为 80%,该支股票该支股票而在

9、利率不变的情况下而在利率不变的情况下,在利率下调的情况下在利率下调的情况下,其价格上涨的概率为其价格上涨的概率为 40%,求该支股票将上涨的求该支股票将上涨的概率概率.未来一定时期内价格的未来一定时期内价格的影响股票价格的基本因素影响股票价格的基本因素,利率下调利率下调概率第四节解解记记为事件为事件“利率下调利率下调”,”,那么那么即为即为“利率利率不变不变”,”,记记为事件为事件“股票价格上涨股票价格上涨”.”.依题设知依题设知于是于是完完概率第四节五五.贝叶斯公式贝叶斯公式利用全概率公式利用全概率公式,可通过综合分析一事件发生的不可通过综合分析一事件发生的不同原因、情况或途径及其可能性来求

10、得该事件发生同原因、情况或途径及其可能性来求得该事件发生的概率的概率.下面给出的贝叶斯公式则考虑与之完全相反下面给出的贝叶斯公式则考虑与之完全相反的问题的问题,即即一事件已经发生一事件已经发生,要考察该事件发生的要考察该事件发生的各种原因、情况或途径的可能性各种原因、情况或途径的可能性.例如例如,有三个放有三个放有不同数量和有不同数量和颜色的球的箱颜色的球的箱子子,现从任一箱现从任一箱子中任意摸出子中任意摸出概率第四节一球一球,发现是红球发现是红球,求该球是取自求该球是取自1号箱的概率号箱的概率.或问或问:该球取自哪号箱的可能性最大该球取自哪号箱的可能性最大?定理定理设设是一完备事件组是一完备

11、事件组,任一事件任一事件则对则对有有贝叶斯公式贝叶斯公式特别地特别地,概率第四节例例6设某批产品中设某批产品中,甲甲,乙乙,丙三厂生产的产品丙三厂生产的产品别占别占 45%,35%,20%,各厂的产品的次品率各厂的产品的次品率现从中任取一件现从中任取一件,4%,2%,5%,(1)(2)求取到的是次品的概率求取到的是次品的概率;经检验发现取到的产品为次品经检验发现取到的产品为次品,求该产品是甲求该产品是甲厂生产的概率厂生产的概率.解解“该产品为甲厂生产的该产品为甲厂生产的”,”,“该产品该产品“该产品为丙厂生产该产品为丙厂生产为乙厂生产的为乙厂生产的”,”,的的”,”,“该产品是次品该产品是次品

12、”.”.分分分别为分别为概率第四节解解(1)由全概率公式得由全概率公式得(2)由贝叶斯公式由贝叶斯公式(或条件概率定义或条件概率定义),得得概率第四节注注:公式中公式中,和和分别称为原因的分别称为原因的先先验概率验概率和和后验概率后验概率.是在没有进一步信息是在没有进一步信息(不知道事件不知道事件B是否发生是否发生)的情况下诸事件发生的概率的情况下诸事件发生的概率.在获得新在获得新的信息的信息(知道知道B发生发生)后后,人们对诸事件发生的概率人们对诸事件发生的概率就有了新的估计就有了新的估计.完完与全概率公式相反，贝叶斯公式主要用于当观察与全概率公式相反，贝叶斯公式主要用于当观察到一个事件已经

13、发生时，去求该事件发生的各种原到一个事件已经发生时，去求该事件发生的各种原因、情况或可能性大小因、情况或可能性大小.概率第四节例例7对以往数据分析结果表明对以往数据分析结果表明,当机器调整的良当机器调整的良好时好时,产品的合格率为产品的合格率为 98%,而当机器发生某种而当机器发生某种其合格率为其合格率为 55%.故障时故障时,每天早上机器开动时每天早上机器开动时,机器调整良好的概率为机器调整良好的概率为 95%,（2)已知某日早上已知某日早上 第一件产品是合格品时第一件产品是合格品时,机器调整得良好的概率机器调整得良好的概率 是多少是多少?（1）某日早上第一件产品是合格品的概率）某日早上第一

14、件产品是合格品的概率求求概率第四节解解设设为事件为事件“产品合格产品合格”,”,为事件为事件“机器调机器调整良好整良好”.”.概率第四节解解当生产出第一件产品是合格时当生产出第一件产品是合格时,机器调整良好的概率为机器调整良好的概率为 0.97.此时此时是由以往的数据分析得到的是由以往的数据分析得到的,先验概率先验概率.重新加以修正的概率重新加以修正的概率得到信息得到信息(即生产的第一件产品是合格品即生产的第一件产品是合格品)之后之后后验概率后验概率.完完概率第四节例例88支步枪中有支步枪中有5支已校准过支已校准过,3支未校准支未校准.一一名射手用校准过的枪射击时名射手用校准过的枪射击时,中靶

15、的概率为中靶的概率为 0.8;用未校准的枪射击时用未校准的枪射击时,中靶的概率为中靶的概率为0.3.现从现从8支支枪中任取一支用于射击枪中任取一支用于射击,求求（1）中靶的概率中靶的概率,求所用的枪求所用的枪 是是校准过的概率校准过的概率.解解(2)已中靶的情况下已中靶的情况下概率第四节解解 设设使用的枪校准过使用的枪校准过,使用的枪使用的枪射击时中靶射击时中靶,未校准未校准,完完（2）概率第四节例例9一袋中有一袋中有 10 个球个球,其中其中 3 个黑球个黑球,7 个白球个白球,从中先后随意各取一球从中先后随意各取一球(不放回不放回),假设已知第二次取假设已知第二次取求求“第一次取到的也是黑球第一次取到的也是黑球”的概率的概率.到的球为黑球到的球为黑球,概率第四节解解设设“第一次取到的是黑球第一次取到的是黑球”这一事件为这一事件为二次取到的是黑球二次取到的是黑球”这一事件为这一事件为“第第完完概率第四节