newch4随机变量的数字特征

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1、Ch4 Ch4 Ch4 Ch4 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征1引子引子 在最前面我们研究过这样一个问题在最前面我们研究过这样一个问题：把两颗：把两颗骰子掷出去，以每个骰子朝上的点数之和作为赌的骰子掷出去，以每个骰子朝上的点数之和作为赌的内容。已知骰子的六个面上分别为内容。已知骰子的六个面上分别为16点，那么，点，那么，赌注下在多少点上最有利？赌注下在多少点上最有利？另外一个问题：赌注的大小如何设计才是最公另外一个问题：赌注的大小如何设计才是最公平的？平的？第一个问题：公平赌博问题第一个问题：公平赌博问题2第二个问题：选择灯泡（等家电）问题第二个问题：

2、选择灯泡（等家电）问题 给你一堆灯泡，你应该选择哪一个？给你一堆灯泡，你应该选择哪一个？灯泡的灯泡的平均寿命平均寿命和灯泡寿命和灯泡寿命相对于平均寿命相对于平均寿命的的偏差平均寿命越长偏差平均寿命越长,灯泡的质量就越好灯泡的质量就越好,灯泡寿命灯泡寿命相对于平均寿命的偏差越小相对于平均寿命的偏差越小,灯泡的质量就越稳定灯泡的质量就越稳定3小结小结 在实际问题中，概率分布一般是较难确定在实际问题中，概率分布一般是较难确定的的.而且在一些实际应用中，人们并不需要知道而且在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些确定性的特征确定

3、性的特征就够了就够了.确定性的特征确定性的特征=数字特征数字特征4第一节、数学期望第一节、数学期望(Expectation)一一 加权平均数加权平均数 例例 设某班设某班40名学生的概率统计成绩及得分名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：人数如下表所示：分数分数 40 60 70 80 90 100 人数人数 1 6 9 15 7 2则学生的平均成绩是总分则学生的平均成绩是总分总人数总人数(分分)。即。即5上式也可以写成：上式也可以写成：这种计算方法即为这种计算方法即为40,60,70,80,90和和100这六个数的这六个数的加权平均数。加权平均数。其中其中称为数称为数的权重。的权重。的加

4、权算术平均数的加权算术平均数为：为：一般地有一般地有6 X 40 60 70 80 90 100 P 1/40 6/40 9/40 15/40 7/40 2/40现引进现引进 r.v.X表示学生得分，则表示学生得分，则X有分布律有分布律于是上述平均数可以写成于是上述平均数可以写成即取值乘取值的概率相加即得平均值。即取值乘取值的概率相加即得平均值。这就是这就是 r.v.的的数学期望数学期望的概念的概念7二二.离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望定义：定义：离散型随机变量离散型随机变量X，其分布律为：，其分布律为：若级数若级数绝对收敛，绝对收敛，即即若级数若级数发散，则说发散，则说X的

5、数学期望不存在。的数学期望不存在。的和的和为随机变量为随机变量X的的数学期望数学期望，记为，记为则称级数则称级数8说明说明说明说明(2)数学期望数学期望E(X)是一个常数是一个常数,而非变量它是而非变量它是一种以概率为权的加权平均值一种以概率为权的加权平均值9例例 r.v.X的分布律为：的分布律为：X 10 30 50 70 90p 3/6 2/6 1/36 3/36 2/36求求解解10例例 单点分布（退化分布）单点分布（退化分布）即常数的数学期望为常数。即常数的数学期望为常数。例例 X（01）分布）分布 X 0 1 p 1-p p即即 r.v.X的分布律为：的分布律为：PX=c=1即即 r

6、.v.X的分布律为：的分布律为：11例例 XB（n，p）二项分布）二项分布即即 r.v.X的分布律为：的分布律为：12例例 X（或（或）Poisson分布分布即即 r.v.X的分布律为：的分布律为：13例例 如何确定投资决策方向如何确定投资决策方向?某人有某人有10万元现金，想投资于某项目，预万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为估成功的机会为 30%，可得利润，可得利润8万元万元，失失败的机会为败的机会为70%，将损失，将损失 2 万元若存入银行，万元若存入银行，同期间的利率为同期间的利率为5%，问是否作此项投资，问是否作此项投资?14三三.连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期

7、望15定义定义 设连续型设连续型 r.v.X的概率密度函数为的概率密度函数为 f(x)若积分若积分绝对收敛，则称积分绝对收敛，则称积分的值为连续型的值为连续型 r.v.X的数学期望，记为的数学期望，记为E(X)。即即若积分若积分发散时，发散时，则称则称X的数学期望不存在。的数学期望不存在。16例例 r.v.X的概率密度函数为：的概率密度函数为：求求E(X).解解17例例 XU(a，b)均匀分布均匀分布求求E(X).解解其其概率密度函数为：概率密度函数为：18例例 指数分布指数分布求求E(X).解解X服从参数为服从参数为 的指数分布，的指数分布，其其概率密度函数为：概率密度函数为：19求求E(X

8、).解解其其概率密度函数为：概率密度函数为：例例 正态分布正态分布 X N()20四四.对于对于 r.v.X的函数的数学期望的函数的数学期望Y为为 r.v.X的函数，的函数，Y=g(X)，g为连续函数为连续函数（i）X是离散型随机变量，其分布律为是离散型随机变量，其分布律为若若绝对收敛，则有绝对收敛，则有事实上事实上21（ii）X是连续型随机变量，其概率密度函数为是连续型随机变量，其概率密度函数为 f(x)若若绝对收敛，则有绝对收敛，则有综上有：综上有：若已知若已知 X 的分布以及函数的分布以及函数 g(x),可以不必求出可以不必求出Y=g(x)的分布的分布,直接利用上面的公式求出直接利用上面

9、的公式求出Y的数学的数学期望期望.22解解例例 r.v.X的分布律为：的分布律为：X 2 0 5 p 0.4 0.1 0.5求求E(2X 2+X 2)和和E X E(X)2.23例例 r.v.X的概率密度函数为：的概率密度函数为：求求E(3X 2 7X+8).解解24二维二维 r.v.(X，Y)，Z=g(X，Y)，g为连续函数为连续函数（i）(X，Y)是离散型随机变量，其分布律为是离散型随机变量，其分布律为若若绝对收敛，则有绝对收敛，则有25（ii）(X，Y)是连续型随机变量，其概密为是连续型随机变量，其概密为若若绝对收敛，则有绝对收敛，则有26例例 r.v.(X，Y)的概率密度函数为：的概率

10、密度函数为：求求E(XY)，E(X 2+Y 2)。解解x y 027五五 数学期望的性质数学期望的性质1.E(aX+b)=aE(X)+b,a,b为常数为常数;2.E(X+Y)=3.若若X与与Y 独立独立，则，则E(XY)=E(X)+E(Y);E(X)E(Y).E(X1+X2+Xn )=E(X1)+E(X1)+E(Xn);E(X1X2 Xn )=E(X1)E(X1)E(Xn);若若X1,X2,Xn 相互独立相互独立，则，则28第二节第二节 方方差差(Variance or Dispersion)方差方差是衡量随机变量取值与其均值的是衡量随机变量取值与其均值的偏离偏离程度程度的一个数字特征。的一个

11、数字特征。1.定义定义 若若E(X)存在，则称存在，则称EX E(X)2 为为 r.v.X的的方差方差，记为，记为D(X),或或Var(X).离散型情况离散型情况连续型情况连续型情况2.推论推论D(X)=E(X 2)E(X)2.29例例 30解：解：31例例 单点分布（退化分布）单点分布（退化分布）即常数的方差为零。即常数的方差为零。例例 X（01）分布）分布 X 0 1 p 1-p p即即 r.v.X的分布律为：的分布律为：PX=c=1即即 r.v.X的分布律为：的分布律为：32例例 XB（n，p）二项分布）二项分布即即 r.v.X的分布律为：的分布律为：33例例 X（或（或）Poisson

12、分布分布即即 r.v.X的分布律为：的分布律为：34例例 XU(a，b)均匀分布均匀分布其其概率密度函数为：概率密度函数为：35例例 指数分布指数分布X服从参数为服从参数为 的指数分布，的指数分布，其其概率密度函数为：概率密度函数为：36其其概率密度函数为：概率密度函数为：例例 正态分布正态分布 X N()373.方差的性质方差的性质(1)D(aX+b)=a2D(X),a,b为常数；为常数；(2)若若 X，Y 独立独立，则，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y);(3)D(X)=0 存在存在常数常数C，使，使 PX=C=1,且且C=E(X);(4)对任意对任意C R,E(X C)2 D(X),且

13、且minE(X C)2=EX E(X)2=D(X).若若X1,X2,Xn 相互独立相互独立，则，则D(X1+X2+Xn )=D(X1)+D(X1)+D(Xn);若若 X，Y 独立独立，则，则 D(X Y)=D(X)+D(Y);38以以 X 记记 n 重重贝努里试验中贝努里试验中A发生的次数，则发生的次数，则XB(n，p)若记若记若在第若在第 i 次试验中次试验中 A 发生；发生；若在第若在第 i 次试验中次试验中 A 不发生。不发生。X 0 1P 1-p p1,0,E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p)又又 X=X1+X2+Xn ,E(X)=E(X1)+E(X2)+E(Xn)=np,D(X)

14、=D(X1)+D(X2)+D(Xn)=np(1-p).例：（方差性质的应用）例：（方差性质的应用）例：（方差性质的应用）例：（方差性质的应用）39例：例：例：例：40 称为称为X 的的均方差均方差或或标准差标准差，其量，其量纲与纲与X的一致。的一致。易知易知 E(X )=0，D(X )=1.41 切比雪夫不等式切比雪夫不等式若若 r.v.X的期望和方差存在，则对任意的期望和方差存在，则对任意 0，有，有这就是著名的这就是著名的切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)不等式。不等式。它有以下几种等价的形式：它有以下几种等价的形式：记记 =D(X),=E(X),则对则对k 0,有有 4 4、常用的关

15、于方差的不等式、常用的关于方差的不等式、常用的关于方差的不等式、常用的关于方差的不等式42 (Cauchy-Schwarz不等式不等式)若对任意的若对任意的 r.v.X、Y，若，若E(X 2)+，E(Y 2)0,D(Y)0，则，则称为称为X与与Y 的的相关系数相关系数.若若 XY=0，则称，则称X与与Y不相关不相关，否则称，否则称X与与Y 相关。相关。X与与Y 不相关不相关 Cov(X,Y)=0 E(XY)=E(X)E(Y)。47相关系数的性质相关系数的性质(1)|XY|1；(2)|XY|=1(3)X与与Y 独立，则独立，则X与与Y 不相关，反之不然。不相关，反之不然。存在存在常数常数a,b

16、使使PX=aY+b=1；即即独立独立不相关不相关48例例 设设(X,Y)在在D=(x,y)：x2+y2 1上服从均匀上服从均匀分布，则分布，则X与与Y 不相关，但不是相互独立的。不相关，但不是相互独立的。解解解解49Notes 其它的分布没有这个性质其它的分布没有这个性质。已知二元已知二元 r.v.(X,Y)N()则则 =0 X与与Y独立。独立。定理：定理：定理：定理：50例例51第四节第四节 矩矩矩矩1.k 阶原点矩阶原点矩而而E(|X|k)称为称为X的的k阶绝对原点矩；阶绝对原点矩；E(X k),k=1,2,2.k 阶中心矩阶中心矩而而E|X-E(X)|k 称为称为X的的k 阶绝对中心矩；阶绝对中心矩；EX E(X)k,k=1,2,523.k+l 阶混合原点矩阶混合原点矩 E(X k Y l),k,l=0,1,2,；4.k+l 阶混合中心矩阶混合中心矩 EX E(X)k Y E(Y)l,k,l=0,1,2,；易知易知 Cov(X,Y)=EX E(X)Y E(Y)是是1+1阶混合中心矩。阶混合中心矩。可见矩对于随机变量而言是一般的数字特可见矩对于随机变量而言是一般的数字特征，而数学期望、方差、协方差等都是一些特征，而数学期望、方差、协方差等都是一些特殊的矩。殊的矩。53