《综合法和分析法》

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1、高二数学高二数学 选修选修 2-2 2023/8/31孝高 蒋志方12.2.1 综合法和分析法演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程重要思维过程.数学结论、证明思路的发现数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推主要靠合情推理理.复习v合情推理得到的结论是不可靠的，需要证明。数学中证明的方法有哪些呢？在数学证明中，我们经常从已知条件和某在数学证明中，我们经常从已知条件和某 些数学定义、定理、公理、性质等出发通过推理些数学定义、定理、公理、性质等出发通过推理 导出所要的结论。导出所要的结论。条件给出方程条件给出方程 的两根的两根是是 ，那么这两根是什

2、么？用，那么这两根是什么？用a、b、c怎样表怎样表示？由初中的求根公式我们可以表示方程的根。示？由初中的求根公式我们可以表示方程的根。例例2 已知已知 和和 是方程是方程 的两个根。的两个根。求证：求证：分析：分析：由求根公式得：由求根公式得：证明：证明：所以所以本题的证明形式又是怎样的？本题的证明形式又是怎样的？因因果果例例:已知已知a0,b0,a0,b0,求证求证a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2)4abc4abc因为因为b b2 2+c+c2 2 2bc,a02bc,a0所以所以a(ba(b2 2+c+c2 2)2abc.2abc.又因为又因为c c

3、2 2+b+b2 2 2bc,b02bc,b0所以所以b(cb(c2 2+a+a2 2)2abc.2abc.因此因此a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2)4abc.4abc.证明证明:.综合法综合法由因导果由因导果从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立明的结论成立.(又称顺推证法又称顺推证法)探索求知探索求知注：用注：用P P表示已知条件表示已知条件,已有的定义已有的定义,定理定理,公理等公理等.Q.Q表示所要

4、证明的结论表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为则综合法可用框图表示为:P Q1Qn QQ2 Q3Q1 Q2例题讲解例题讲解例例1 已知：已知：是不相等的正数，是不相等的正数，求证：求证：证明：证明：要证要证 需证需证 需证需证 需证需证 需证需证 且且由于由于 是不相等的正数，所以能保证上式成立，是不相等的正数，所以能保证上式成立，则命题得证。则命题得证。本题的证明形式有何特点？从哪里出发？本题的证明形式有何特点？从哪里出发？果果因因2.分析法分析法探索求知探索求知从证明的结论出发从证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件逐步寻求使它成立的充分条件,直直至最后至最后,把要证明的结论归结

5、为判定一个明显成立的条把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件件(已知已知,定理定理,定义定义,公理等公理等).这种证明的方法叫做分析法这种证明的方法叫做分析法.（又称倒推证法）（又称倒推证法）执果索因执果索因 注：用注：用Q Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论,则分析法可用框图表示为则分析法可用框图表示为:得到一个明显成立的条件Q P1P1 P2P2 P3证法证法1 1:对于正数对于正数a,b,有有证法证法2 2:要证要证只要证只要证只要证只要证只要证只要证因为最后一个不等式成因为最后一个不等式成立，故结论成立。立，故结论成立。综合法综合法分析法分析法表达简洁表达简洁!目的性强目的性强

6、,易于探索易于探索!【分析法分析法】从结论出发，寻找结论成立的充分条件从结论出发，寻找结论成立的充分条件直至最后，把要证明的结论归结为判定一直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件。个明显成立的条件。要证：要证：只要证：只要证：只需证：只需证：显然成立显然成立上述各步均可逆上述各步均可逆所以所以 结论成立结论成立要证：要证：所以所以 结论成立结论成立格格 式式 例例2 求证：求证：证明：证明：要证要证即证即证即证即证即证即证由于由于 显然成立，所以命题成立。显然成立，所以命题成立。分析：分析：由于含根号，所以考虑将根号去掉。由于含根号，所以考虑将根号去掉。果果因因直接证明(回顾小结

7、)分析法分析法 解题方向比较明确，解题方向比较明确，利于寻找解题思路；利于寻找解题思路；综合法综合法 条理清晰，易于表述。条理清晰，易于表述。通常以通常以分析法分析法寻求寻求思路，再用思路，再用综合法综合法有条理地有条理地表述解题过程表述解题过程分分析析法法综综合合法法概念概念求证：求证：是函数是函数 的一个周期。的一个周期。证明：证明：因为因为所以，由周期函数的定义可知：所以，由周期函数的定义可知：是函数是函数 的一个周期。的一个周期。例例.如图如图,SA,SA平面平面ABC,ABBC,ABC,ABBC,过过A A作作SBSB的垂线的垂线,垂足为垂足为E,E,过过E E作作SCSC的垂线的垂

8、线,垂垂足为足为F,F,求证求证 AFSCAFSCF FE ES SC CB BA A解析解析:要证要证AFAFSCSC只需证只需证:SC:SC平面平面AEFAEF只需证只需证:AE:AESCSC只需证只需证:AE:AE平面平面SBCSBC只需证只需证:AE:AEBCBC只需证只需证:BC:BC平面平面SABSAB只需证只需证:BC:BCSASA只需证只需证:SA:SA平面平面ABCABC因为因为:SA:SA平面平面ABCABC成立成立所以所以.AF.AFSCSC成立成立 巩固练习1.1.在在中，三个内角、对应的中，三个内角、对应的边分别为边分别为a a、b b、c c，且、成等差数列，且、成

9、等差数列，a a、b b、c c成等比数列，求证成等比数列，求证为等边三角为等边三角形形分析：把题中的文字语言转化为符号语分析：把题中的文字语言转化为符号语言：言：A+C=2BA+C=2B，b b2 2=ac=ac由（由（1 1）联想到内角各能得到什么？）联想到内角各能得到什么？由（由（2 2）联想到三角形什么知识？余弦定理，）联想到三角形什么知识？余弦定理，二者联系起来能得到什么结论二者联系起来能得到什么结论证明：证明：由由A A，B B，C C成等差数列，有成等差数列，有 2B=A+C 2B=A+C 由由，得，得由啊，由啊，a a，b b，c c成等比数列，有成等比数列，有由余弦定理及由余

10、弦定理及，可得，可得再由再由，得，得因此，因此，a=ca=c从而有从而有 A=CA=C由由，得，得证证:2 2：上述过程可用框图表示上述过程可用框图表示:3.ABC的三个内角的三个内角A、B、C成等差数成等差数列，列，A、B、C的的对边对边分分别为别为a、b、c.分析分析条件与条件与结论结论跨越跨越较较大，不易下手，大，不易下手，可考可考虑虑用分析法用分析法证证明；由于分析法是明；由于分析法是执执果果索因，逐步索因，逐步寻寻找成立的充分条件，因此分找成立的充分条件，因此分析法的倒退析法的倒退过过程就是程就是综综合法合法由余弦定理，有由余弦定理，有b2c2a22accos60，即，即b2c2a2ac，故故c2a2acb2得证得证综合法：综合法：证明：证明：ABC三内角三内角A、B、C成等差数列，成等差数列，B60.由余弦定理，有由余弦定理，有b2c2a22cacos60，得得c2a2acb2，等式两边同时加上等式两边同时加上abbc得得c(bc)a(ab)(ab)(bc)，直接证明（综合法和分析法）上述两种证法有什么异同？都是直接证明都是直接证明证法证法1 1综合法：由因导果，形式简洁，易于表述综合法：由因导果，形式简洁，易于表述 ；相同不同不同 证法证法2 2分析法：执果索因，利于思考，易于探路分析法：执果索因，利于思考，易于探路