2023年考研数学公式

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1、考研数学公式整理11.等价代换的补充x 0时，.1 ,1 3 1 3 1 3x-sm x x,arcsm x-x x,x-tan x-x,arctan x-x-x,6 6 3 3x-In(1 +x)x2,-1 -x-x2,tanx-sinx-v 7 2 2 2注：等价代换只能在乘除运算中使用.2.泰勒公式/(x)=7+/IO)x+4/+2!nsinx=x-xi6+。（百,1 7 1 4 I 4COSX=1-X H X+ox2!4!arcsinx=x+o(x)tan x=x 4-x3+oxi3 varctanx=x-i?+o(x33 1ln(l+x)=x-x2+32+。（丁）v ,1 2 1 3

2、 /3e=l+x+x+x+o(x2 6(1+4a(a-l),/,=1 +ax d -x+olx2!3.基本导数公式(x)=/zxy/1(av)=a In a(log.%)(a 0,a W 1)x m a(i n x)=X(sinx)=cosx(cosx)=-sin x.(tanx)=sec2 x(cotx)=-esc2 x(secx)=sec x tan x(cscx)=-c sc x c o txV l-x2(arctan x)11+x211 +x2(a v c c o tx)=4 .几个常用函数的高阶导数a,em+A;s in(ax +6)=a s in(ax +Z?+-),co s(ar

3、 +b)y =a co s(ax +6+n7rln(ax +如()=(_1 广”2(T)!1ax+b=(T)a(ax+6)”n3 +6广5 .不定积分的基本积分公式丫 +1=+C,J/z+13exdx=ex+C,5 J sin xdx=-cos x+C,7 J tan xdx=-In|cos x+C,9 J sec xdx=In|sec x+tan x|+C,11J sec x tan xdx=sec x+C,13 J sQcrxdx=tan x+C,15.(/1 dx=arcsinx+C,17./1 dx=arcsin+C,J Ja 2 T 2 a=In=+C,J x-a la x+a21.

4、/1 dx=In x+Jx2-a2J .13 U2 j g =ln|x|+C,4.axdx=+C,J In er6 J cos xdx=sin x+C,8 J cot xdx=In|sin x+C,10.j esc xdx=In|csc x-cot x|+C,12 J esc x cot xdx=-esc x+C,14.1csc2 xdx=-cotx+C,16.(=arctan x+C,J 1 +厂r 1 .1 x _18.7-7(zr=arctan+C,J a+x a a祝您考研成功!6.定积分性质约定:，/=0 J：/(x)小=一fxdx.1.等式性质(1)j ldx=b-a；a)(1)即

5、(x)W g(x),则J：/(x)c/x J：g(x)6/x；(2),/(x 叫 w J：|/(x)W x；(3)设m W/(x)M,则-a)4 J fxyJx Xo-注：一般将无定义点作为铅直渐近线的的考查对象.3.斜渐近线若 lim=k 0,lim/(x)-fcr=b,则称y=fcv+b是/1(x)在右侧的斜渐近线;若 lim/()=k丰0,lim/(x)-fcr=b,则称y=fcr+b是/(x)在左侧的斜渐近线.注：在同一侧，水平渐近线与斜渐近线不会同时存在.8.微分中值定理定理1罗尔定理可上连续如(X)满 足(。内可导，则 毛 。力),使r=o.定理2拉格朗日中值定理如(X)满足则*。

6、，6)，使 6)。)=/隹)传一。).(4 )内 口 J 导注：若又有/(。)=/(6),则/(4=0,此时拉格朗日中值定理退化成了罗尔定理.定理3柯西中值定理a,b上连续,刘(X)、g(x)满 足(4,6)内可导，则送4,6),使 坐 口 4 =第.g，(x)x o g(b)-g(q)g 注：(1)若取g(x)=X,则柯西中值定理退化成了拉格朗日中值定理；(2)条件g，(x)声0是保证右端分母，但左端呢？事实上只要g，(x)H0,必有g(a)Hg(b).定理4泰勒定理1.带拉格朗日余项的n 阶泰勒公式若/(x)在含/的某区间(,6)内具有+1阶导数，则对任一x e(d b),有/(x)=/(

7、x o)+/(x o)(x-x o)+，(x o)(x _ x o f +：/2!n+1 二/叫4)(x-x J 其中物于X与X。之间2.带佩亚诺余项的n 阶泰勒公式若/(X)在X。处有阶导数，那么存在X。的一个邻域,对于该邻域内任一X,有/(x)=/(X o)+，(X o)(X-X o)+(X o)(X-X o)2+.+/W(X o)(X-X o)+0(X-X o).注：若X。=0,则称为麦克劳林展开式.祝您考研顺利!考研数学公式整理2二重积分的性质1.等式性质(1)j j I d er =/其中人表示区域沃勺面积；D(2)j J V(x,y)A：2g(x,y)c/cr =A r1J j/(

8、x,y i *2 J j*g (X，N 月6D D DJ J/(x/F b +JJ/(x,y Wb,Z)i U 3 =D,DCD2=(D；D S工2.不等式性质(1)在Z)上，的(x,y)W g(x),则Jj/(x 0的部分，则对x是偶函数f(x,yxdy=1 4 ;D 0,/(x j)对x是奇函数设。关于x轴对称,2是Q 在歹 0的部分,则2“/(x,y .x次/(x,y)对y是偶函数 f y Vxdy=4 -D 0,7(x,y)对歹是奇函数轮换对称性 若。关于直线V =X对称，则U f(x,y)dxdy=fy,x)dxdyD D级数的基本性质性质1如 果 级 数 收 敛,则 级 数 包,也

9、收敛；=1 W=1性质2如果级数z%与Z匕都收敛，则 级 数 土 匕 旭 收 敛；=1 w=l n=l注:Z，“收敛,Z匕发散,则Z d 匕)发散；w=l n-M=1X ”发散,乙发散,则(/土匕外一定发散.n=l w=l =1性质3去掉、加上或改变前有限项，不影响级数的收敛性；性质4收敛级数任意加括号后所得的级数仍收敛；注：加括号后的级数收敛,则去掉括号后原来的级数不一定收敛；加括号后的级数发散,则去掉括号后原来的级数一定发散.性质5如果级数，/”收敛，则l i m“=0.W=1注：l i m”=0,则 级 数 不一定收敛；M-00W=1l i m ,尸0,则级数 一定发散 一 8W=1莱布

10、尼茨判别法则设交错级数(-If1/满 足:理 =0;/2 k，则交错级数(T产/收敛.注：(D条 件 不 满 足 时，交错级数(-1广”收敛也可能收敛；(2)说明“2%/常用以下几种方法：方法一：利用!%4 0或利用34 1;%方法二：构造一个可导函则(X),使/=/(),利用当XTy时,/(X)0说 明.祝您考研顺利!塞级数的分析性质设累级数 4/的收敛半径为凡收敛域为/,和函数为S(x),即S(x)=则n=Qn=01.连续性S(x)在收敛域;上连续；2.可积性S(x)在收敛域/上可积,且有逐项积分公式：00 8 00 1好(3=”苴仙修=z+中；n=0 n=0 n=0 十积分后的累级数的收

11、敛半径与原来的事级数的收敛半径相同.3.可导性S(x)在收敛区间(-凡身上可导,且有逐项求导公式：S(x)=a“x =0 /=(次)=叫/;=0 7/=1求导后的嘉级数的收敛半径与原来的嘉级数的收敛半径相同.麦克劳林级数8 丫2 +1(2)s i n x =y(-l)1 -2/+1人-+-,-00 X +00;(2n+l)!3 0丫2 丫4 In cosx=，(-U=l-+-+(-i y J+-,-oox+oo；金5(2)!2!4!(2)！6y ln(l+x)=Z(T)=W=1 n18(5)=x=l+x+x2+,-!x 1；1金(6)(l+x)=14-crx+r +-x+-,-1X =0,w

12、=1,2,3,/（”）户出 竺 式 正 弦 级 数）/J=1/常 用的二次曲面椭球面 fL单叶双曲面双 叶 双 曲 面 一一马=1.a b c椭 圆 抛 物 面5+三2椭圆锥面/(x)&+a”c o s 竺 x(余弦级数)2 w=i I考研数学公式整理3L行列式的性质性质1行列互换,其值不变，即|A|=|A.性质2某行（列）全为。，则行列式的值为0.性质3某行（列）有公因子&，则可把%提到行列式外面.性质4性质5性质6性质7某行（列）每个元素都是两个数之和,则可拆成两个行列式之和.两行（列）互换,行列式的值变号.两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式的值为0.某行（列）倍加到另一行（歹 U）

13、，行列式的值不变.2.抽象型行列式一解法解题思路：对抽象型行列式，计算方法主要是利用行列式的性质，矩阵的性质，特征值及相似等。主要的公式有：L若A是几阶矩阵，”是A的转置矩阵,则|川=|山；2.若A是7?阶矩阵，则|乂|二 kA；3.若A,3都是邢介矩阵,则|A B|=|A|M；4.若A是 阶 矩 阵,则=5.若A是 阶 可 逆 矩 阵,则=|A/；6.若4，么L,乙是那介矩阵4的特征值，则|川=4 4 L%7若椭矩阵A与讨目似,则同=|同.3,伴随矩阵的性质1)(/*)*=42)(叔)*=%，*;3)(43)*=5 (4 可 逆);4)团=|咪】4.逆矩阵的性质1)(A-1)-1=A;2)(

14、公)T=AT(k wO);3)CAB)-=B-A-4)|A-|=|A|-1；特别注意：(A+SV w A i +尸没公式.5,逆矩阵一解法方法一：用伴随若|A|wO,则 A-i=*.方法二:用初等变换(A|E)-(E|A-).方法三：用定义 A,B都是阶矩阵,AB=E,则A-1=B.方法四：用单位矩阵恒等变形 对(A+B)-型化为(A 3)T型.-1方法五:用分块公式A-1 00 B0 A T _ F 0B o j A TB-x0A 00 B6,矩阵的秩定理定理2初等变换不改变郎秩；行阶梯型矩阵的秩等于其非零行数.注：若零行(若有的话)位于最低行,且每行左起第一个非零元素所在的列下方元素都是0

15、的,称这种矩阵为行阶梯矩阵；任何矩阵都可通过初等行变换化为行阶梯矩阵.7.矩阵的秩性质（1）尸（4）=（）；（2）=（4）（左 h 0）;（3）N4 x”）W m i n 加/.（4）r（4 3）K m i n r（4）/（B）卜（5）r（J +B）r（y4）+r（B）；（6）4,冈,纥x s =，则 N 4）+M 6）4 他（7）矶 逆，则/（4 5）=厂（5）/（5 4）=（3）；（8）r（Z）=（4 力）=r（Z/）=r（H）；I w,厂（4）=（9）尸（，）=0,广（4）-18具体向量组如何判定相关无关对 具 体（含参数）向量组如何判定相关无关？定理1向 量 组,%，匕，%才目关（无关

16、）o 齐次方程组,%，L ,%,）%=0 有非零解（只有零解）o，）加向量个数）（=m（向量个数）.推论1 +1 个维向量必相关.推论2 个维向量四,%,L，4 相 关（无关）=%,%,L ,a J =0（w 0）.定理2若向量组。,。2，L 相关，川 增加个数后的向量组名,%，L L，=对应减少向量坐标后的向量组四，四,L ,&；若向量组。i，4,L 无关，川/减少个数后的向量组名,。2，匕仍牙关 对应增加向量坐标后的向量组片,四,L ,4祝 您考研顺利!9.抽象向量组如何证明无关对抽象向量组如何证明无关？以三个向量%,。为 例：方法一:用定义 设 上1%+k2a2+k3a3=。，则必有占=

17、&=&=在方法二：用秩=3(向量个数).方法三：用结论 设向量组,%无关，0、=%+%+a 3 a 3，(3、=a i+b3a3,=clc(1+c、a,+C3%ay bx cl则 尸i，44 3无关O%k c2 0.。3 C310,特征值和特征向量的性质(1)X 2-=X af n A=p|；i=l i=l(2)左重特 征 值 2至 多 有 上个线性 无 关 的 特 征 向 量；(3)%,a?是N 的属于 不 同 特 征 值 4,封 勺 特 征 向 量 厕%,a 线 性 无 关；(4)若 小,%是 N 的属 于 同 一 特 征值舶勺特征向量，则 kxa 非 零)、u%+左 2al非 零)仍是“

18、4的 属 于 特 征 值 加勺特征向量;(5)若%,%是/的 属 于 不 同 特 征 值 乙，回 勺特征向量，则 上 0+心 不再是.由 勺 特征向量.11.相似矩阵的性质(1)A:3(必要条件)=|川=师=r(A)=r(B)；=队/_ 川=|立 _ 邳,即/=4；=E g =Z&i=l i=l（2）如A:B,设尸TAP=B,贝！JpT（A+UE）尸=B+芯，尸TAP=5,因此由A:B要想至必+ZE:B+忸进而|A+词=忸+词,r（A+ZE）=r（B+ZE）；由A:B要想到A:B,进而可用相似求A =PBpT.12.矩阵相似对角化的条件A,:Ao A有“个线性无关的特征向量；0 4的，重特征值

19、4有i个无关的特征向量，即-尸（4万-4）=，；0；o A的特征值都大于0;A的全部顺序主子式大于0.注：若A的主对角线某元素%W0,则A必不正定.14,等价、相似、合同两个同型矩阵A与民若A可经过初等变换变成&称A与3 等价,记作AM R判 定同型矩阵矩阵A与B等价o 存在可逆矩阵P 和Q,使尸AQ=&=r（A）=r（5）.两个方阵A与民若存在可逆矩阵P,使产尸=3,称4与8相似,记作A:B.判 定若4与砒迹或秩或行列式或特征值不相等,贝必与5不相似；若A:A,但3 不能对角化，则A与5不相似；若A:A,且8:A,则人与8相似.两个实对称矩阵A与民若存在可逆矩阵C,使C，AC=民称A与8合同

20、，记作A*判 定实对称矩阵A与3 合同=二次型必Ar和/以有相同的正、负惯性指数；o 实对称矩阵A与8有相同的正、负特征值个数.祝您考研顺利!考研数学公式整理41.概率基本公式逆事件的概率P（A）=1-P（A）.注：正面直接求概率困难时可考虑此公式，比如涉及至少、至多等字眼.（2）加法公式 P（AUB）=P（A）+P（B）-尸（A3）；P（A V B V C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）.注：超过3个事件的加法公式往往会有两两互斥的条件.（3）减法公式 P（A-B）P（A）-P（AB）=P（AB）.注：考减法公式是考试的重点（4）条件概率 若

21、P（A）O,称在A发生的条件下,3发生的概率为条件概率，记为 P（B|A）,且 P（B|A）=B喘）.注：条件概率P（8|A）也是概率,满足概率的一切性质与公式,如P（B|/I）=I-/（B|/I）；P（B-C|A）=P（B|A）-P（B C|A）=P（B C|/I）.（5）乘法公式 如果尸（A）0,则尸（AB）=尸（A P（用A）.（6）全概率公式 若4 U&U L UA,=Q,且4 1 A产,14 2）4，则对任一事件民有p（6）=f p（4）尸（即4）.1=1注：如果某个事件B的发生总是与某些原因或前一阶段的某些结果4有关，则总是使用全概率公式把各种导致8发生的可能性（概率）加起来求P（

22、8）.贝叶斯公式 若A U&U L 1）4=0,且4 1 4 =0）,lWiH j n,则对任一事件民只要P（B）0,则P（4忸）=L .ZP（A）P（3|A）/=1注：如果已知B发生了，去探求是某原因4导致发生的可能性（概率）尸（可忸）,则总是使用贝叶斯公式看这一原因占总的原因的比例.2.独立与互斥、包含的关系设0 P（A）1,（）P（B）1,如果A与3互斥或存在包含关系，则A与8不独立.3.常见的分布1.()-1 分布如果随机变量X的分布律为尸 X=左 =pk(1-,攵=0,1.则称X服从参数为爪()1)的0-1 分布，记为X:2 .二项分布如果随机变量X的分布律为P X=阴=C T(1-

23、，左=0,l,L,n.则称X服从参数为,(0 0)的泊松分布，记为X:P(2).4.几何分布如果随机变量X的分布律为P X=左 =(1-广”,左=1,2,L则称X服从参数为p(0 p D 的几何分布，记为X:G(p).注：伯努利试验中首次成功所需的试验次数X服从几何分布.5.均匀分布1 ,如果随机变量X的概率密度为/(x)=3 二,0,其他0,xa则称X服从(4力)上的均匀分布，记为X:(4,3.乂的分布函数为/(月=3,4=b注：若X:U(，对则尸 cX 1 =f.b-c i6.指数分布如果随机变量X的概率密度沏,(x)=.1rs.0Yt，其中4 。为参数;0,其他则称X服从参数为几的指数分

24、布，记为X:E(4).X的分布函数为/(x)=Q0,x 0,则尸Xa=e-Aa;2 对 Vt,s0,则 PX2r+s|X2s=PXf.7.正态分布1（4 f如果随机变量X的概率密度为:/（力=方-e 2-2,-o o x +o o.则称X服从参数为Q 2的正态分布，记为X ：特另I 地，当 =o,b =l时称为标准正态分布，记为X :N（O,1）;2 21xX -概率密度=2 ,_ 8 +8；分布函数（）=.e 2 dt.注：r若X:则岂:义：N（O,1）;（标准化）2。（一%）=1（X）,（o）=g;3 若X :NJ,/）,则 aX+Z?:N（a+b,a2 b 2）；4。若x,y分别服从正态

25、分布,且相互独立,贝bx+匕丫服从正态分布.4.两个常见的二维连续型随机变量1.二维均匀（x,丫）在平面区域。上服从均匀分布,则Q,EX2=(EX)2+DX-23=0；3aD(aX+h)=a2DX；4D(XY)=DX+DY2Cov(X,Y)；5。若 x,y 独立，则。(x y)=o x +。匕。(XY)=O X +OX(EYy+OY(EX y.7.常用分布的数学期望和方差1如果X:8(1,p),则EX=p,X=p(l p)；2 0如果X:8(,川，则 破=秋,乂 =叩(1一川；3 如果X:P(/L),则EX=4 D X =九4。如果X:G(p),则 X=L,D X=nP P-5。如果X:U(a

26、,b),则EX=,D X =126。如果X:E(/l),则E X=；,O X=，y；70如果X:N(,b2)ljEX=,DX=b2；8。如果X:N（O,1）,则同X|X|=l-.718.协方差(1)定义Cov(x,y)=E(x E x)(y EY)=E(x y)E X/y.(2)性质1 Cov(X,y)=Cov(y,X),Gov(X,X)=OX；2 ov(X,c)=0；3ov(aX,bY)=abCov(X,Y)；4ov(aXt+8X2,B +四)=acCovXx,Yx+adCovXx,Y2+bcC()vX1,Y+bdCovX2,Y2).9.相关系数(1)定义%如果&y=0，称X和丫不相关4DX

27、-4DY(2)性质l0XY=0X；PXX=1；2。际 区1；3|x?x y|=l 存 在 吏 尸 丫 =aX+b=1；40如 果Y=aX+A则A y。.-1,47 0祝您考研顺利!10.大数定律1.依概率收敛对随机变量序列X”X2，L,X“,L,和常数a,如果对任意的 0,有如尸 氏-4 0,有lim P!汽 X,之 EX,0,有limP-p =1.T8 n4.辛钦大数定律1 设X，X J ,X,L,独立同分布，期望EX=存在，则对任意的0,有limP Xf 64=1.n普11.中心极限定理1.列维林德伯格中心极限定理设X，X2，L,X“,L，独立同分布，期望EX&、Z Xj-riR则对任意的

28、%,有limP曰/-=f 8 yj n（y J2.拉普拉斯中心极限定理设X:8（,p）,则对任意的x,有limP,J-即1J叩=4,方差。X,=都存在,.X -L,e 2力=(!(%).,疡)1+L疡e,人 祝您考研顺利！12.三大抽样分布1 犬分布(1)定义：设X1,X2，L,X.相互独立且都服从标准正态N(O,1),则X；+X；+L+X；服从自由度为的/分布，记为x；+X；+L+X；:x2n).(2)上a分位点对于给定的 a(0 a ()=；(“)/(方心=0(x)是/()的概率密度)的数力2/)为72()的上。分位点.(3)Xz分布的性质若X:力?(),则 EX=n,D X=2；若X:力

29、2(&),且X,y独立，则X+Y :/(+)2.t分布(1)定义：设X :N(O,l),y：力2()，且x,y独 立，则-j j服 从 自 由 度 为“的,分布，记为r().宓耳(2)上a分位点对 于 给 定 的 a(o v a v 1),称 满 足P，()ta()=j ：f (x)d x=aJ la n)(/(x)是 )的 概 率 密 度)的 数r“()为M)的 上a分位点.(3)t分布的性质r分 布 的 概 率 密 度/(X)是 偶 函 数，故k a()=T a()，且 当 自 由 度 充分大时,)分 布 近 似 于N(O,1)；r:)，则 产：F(l,n).3.F分布(1)定义：设x：z

30、2(n,),r：/色)，且x,y独立,则 服 从 第 一 自 由 度 为 I，第二自由度为2的尸分布，记 为 六：口(i，2)/%/%(2)上a分位点对于给定的a(O a 1),称满足尸仍(4,2)心(1,2)=J；(J(x逢=a(/(x)是勺,%)的概率密度)的数工(!，2)为尸(),2)的上衿分位点.(3)F分布的性质若尸：F(勺,2),则工：尸(2，)；F若F：尸(”，2)，则6-/，2)=言 一V13.矩估计的求法原理：用样本矩替换总体矩一一%=4,即=EXk.n步骤：对一个未知参数的情形 令反=EX.又=EX 又=EX对两个未知参数的情形 令1白，或1 8 一,-1 X；=EX2 _

31、 氏 -X)2=DX14.最大似然估计的求法步骤：。写出样本的似然函数i=nL(xpx2,L，z；e)=n x,，e)连续型i=li=nL(XI，X 2，L，尤“；。)=离散型/=1。取对数得In Lc.求导且叱=0,解出卿可.d6若 驾 =0无解，即InL单调,则应该用定义法找出族最大似然估计量.d015.估计量的评价标准(1)无偏性若E=仇则称。是优K)无偏估计量.(2)有效性设都是e的无偏估计量，若 0,有limp0-6 ao16.求置信区间的步骤(1)构造统计量T并确定其分布；(2)给定a,确定常数a也使得尸 a T =1 -a；(3)由 a T 。反 解 出 弼 范 围 得 置 信 区 间 俗 总