高中数学必修四主要内容精品

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1、第一章 三角函数1.1 随意角和弧度制角的定义：角可以看成平面内一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形角的分类：负角：按顺时针方向旋转形成的角 正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角象限角的概念：定义：假设将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角终边一样的角的表示：全部与角终边一样的角，连同在内，可构成一个集合S | = + k360 ，kZ，即任一与角终边一样的角，都可以表示成角与整个周角的和我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制在弧度

2、制下, 1弧度记做1rad在实际运算中，经常将rad单位省略弧度制的性质：半圆所对的圆心角为 整圆所对的圆心角为正角的弧度数是一个正数 负角的弧度数是一个负数零角的弧度数是零 角的弧度数的肯定值|=角度与弧度之间的转换： 将角度化为弧度：； ；将弧度化为角度：；弧长公式弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的肯定值与半径的积1.2 随意角的三角函数三角函数的定义：诱导公式有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。规定：与坐标轴方向一样时为正，与坐标方向相反时为负。三角函数线的定义：设随意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，过作轴的垂线，垂足为；过

3、点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有， ，我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。1三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。2三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。3三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的为负值。4三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。三角函数定义在直

4、角坐标系中，设是一个随意角，终边上随意一点除了原点的坐标为，它与原点的距离为，那么1比值叫做的正弦，记作，即；2比值叫做的余弦，记作，即；3比值叫做的正切，记作，即；4比值叫做的余切，记作，即；说明：的始边与轴的非负半轴重合，的终边没有说明肯定是正角或负角，以及的大小，只说明与的终边一样的角所在的位置； 依据相像三角形的学问，对于确定的角，四个比值不以点在的终边上的位置的变更而变更大小；当时，的终边在轴上，终边上随意一点的横坐标都等于，所以无意义；同理当时，无意义；除以上两种状况外，对于确定的值，比值、分别是一个确定的实数，正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数

5、统称为三角函数。1商数关系： 2平方关系：1.3 诱导公式诱导公式一诱导公式二诱导公式三诱导公式四这四个可以总结为：函数名不变，符号看象限诱导公式五 诱导公式六 这两个总结为：函数正变余，符号看象限1.4 三角函数的图像与性质1函数y=sinx的图象第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2这一段分成n(这里n=12)等份.预备：取自变量x值弧度制下角与实数的对应.其次步：在单位圆中画出对应于角，,，2的正弦线正弦线等价于“列表 .把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，那么正弦线

6、的终点就是正弦函数图象上的点等价于“描点 . 第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x0，2的图象依据终边一样的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2，就得到y=sinx，xR的图象. 把角x的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，那么正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象. 2余弦函数y=cosx的图象 探究1：你能依据诱导公式，以正弦函数图象为根底，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象？依据诱导公式,可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移单位即得余弦函数y=cosx的图象.

7、课件第三页“平移曲线 正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线思索：在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？2用五点法作正弦函数和余弦函数的简图描点法：正弦函数y=sinx，x0，2的图象中，五个关键点是：(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)余弦函数y=cosx x0,2p的五个点关键是哪几个？(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1)周期函数定义：对于函数f (x)，假如存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期

8、。说明：1周期函数x定义域M，那么必有x+TM, 且假设T0那么定义域无上界；T0那么定义域无下界； 2“每一个值只要有一个反例，那么f (x)就不为周期函数如f (x0+t)f (x0) 3T往往是多值的如y=sinx 2p,4p,-2p,-4p,都是周期周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期有些周期函数没有最小正周期y=sinx, y=cosx的最小正周期为2p 一般称为周期1一般结论：函数及函数，其中 为常数，且，的周期；2假设，如：； ； ，那么这三个函数的周期又是什么？一般结论：函数及函数，的周期奇偶性：函数y=sinx是奇函数，函数y=cosx是偶函数。单调性：从ysinx，

9、x的图象上可看出：当x，时，曲线渐渐上升，sinx的值由1增大到1.当x，时，曲线渐渐下降，sinx的值由1减小到1.结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增大到1；在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1.余弦函数在每一个闭区间(2k1)，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增加到1；在每一个闭区间2k，(2k1)(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1.对称轴：1.5函数y=Asin(x+)的图象函数表示一个振动量时：A：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅.T：f ：称为“相位 . x=0时的相位，称为“初相.其次章

10、 平面对量平面对量的实际背景及根本概念向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。数量与向量有何区分？数量没有方向而向量有方向A(起点) B终点a1、数量与向量的区分：数量只有大小，是一个代数量，可以进展代数运算、比拟大小；向量有方向，大小，双重性，不能比拟大小. 2.向量的表示方法：用有向线段表示； 用字母、黑体，印刷用等表示；用有向线段的起点与终点字母：；向量的大小长度称为向量的模，记作|. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区分：1向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向一样，这两个向量就是一样的向量；2有向线段有起点

11、、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向一样，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是随意的. 留意0与0的含义与书写区分.长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：方向一样或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0与任一向量平行.说明：1综合、才是平行向量的完整定义；2向量、平行，记作.1、相等向量定义：长度相等且方向一样的向量叫相等向量.说明：1向量与相等，记作；2零向量与零向量相等；3随意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关.2、共线向量与平行

12、向量关系：平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同始终线上与有向线段的起点无关.说明：1平行向量可以在同始终线上，要区分于两平行线的位置关系；2共线向量可以相互平行，要区分于在同始终线上的线段的位置关系.共线向量肯定在同始终线上吗？不肯定2.2 平面对量的线性运算A BC向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.三角形法那么“首尾相接，首尾连平行四边形法那么当向量与不共线时， |+|+|；什么时候|+|=|+|，什么时候|+|=|，当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|，那么+的方向与一样，且|+|=|-|；假设|0时与方向一样；0时与方向相反；=0时=2.3 平面对量的根

13、本定理及坐标表示向量的夹角:两个非零向量、，作，那么AOB，叫向量、的夹角，当=0，、同向，当=180，、反向，当=90，与垂直，记作。平面对量的坐标表示 1正交分解：把向量分解为两个相互垂直的向量。 2思索：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数表示，平面内的每一个向量，如何表示呢？ 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向一样的两个单位向量、，由平面对量根本定理知，有且只有一对实数、，使得我们把叫做向量的直角坐标，记作其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为. 特殊地，.如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，那么点的位置由唯一确

14、定.设，那么向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面对量都是可以用一对实数唯一表示.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.平面对量数量积内积的定义：两个非零向量与，它们的夹角是，那么数量|a|b|cosq叫与的数量积，记作ab，即有ab = |a|b|cosq，.并规定0向量与任何向量的数量积为0.向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积.向量垂直的判定设，那么两向量夹角的余弦 cosq =平面内两点间的距离公式 2.5 平面对量的应用举例第三章 三角恒等变换两角和与差的正弦公式、余弦公式和正切公式 3.2 简洁的三角恒等变换