工程力学20j8b例题

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1、工程力学（C）(20(20)18.4 8.4 虚位移原理虚位移原理1.虚位移原理虚位移原理具有双面理想约束的质点系，在某一位置能继续具有双面理想约束的质点系，在某一位置能继续保持静止平衡的充要条件是：保持静止平衡的充要条件是：虚位移原理是分析（静）力学的基本原理。虚位移原理是分析（静）力学的基本原理。虚位移原理可用于求解刚体系统的静止平衡问题。虚位移原理可用于求解刚体系统的静止平衡问题。作用于质点系的主动力在该位置任何一组虚位作用于质点系的主动力在该位置任何一组虚位移上做的虚功之和等于零。即：移上做的虚功之和等于零。即：（8.32）虚功方程虚功方程2对于理想约束、且无弹簧连接的刚体系统对于理想

2、约束、且无弹簧连接的刚体系统：对于有弹簧连接的刚体系统或变形体：对于有弹簧连接的刚体系统或变形体：对于非理想约束，可将其约束力视为主动力。对于非理想约束，可将其约束力视为主动力。若系统全部为有势力作功时，虚功方程为若系统全部为有势力作功时，虚功方程为（8.33）3比较比较7 7 与与8 8：42.虚位移原理的应用虚位移原理的应用（8.32）虚功方程虚功方程（1）对自由度为）对自由度为k的系统（机构）的系统（机构）有有k个独立的广个独立的广 义坐标、义坐标、k个独立的广义虚位移个独立的广义虚位移虚功方程虚功方程（8.34）k个独立方程个独立方程已知平衡位置，求此时各主动已知平衡位置，求此时各主动

3、力之间关系力之间关系已知各主动力，求平衡时的位置已知各主动力，求平衡时的位置j=1,k5（2）对自由度为零的系统（静定结构）对自由度为零的系统（静定结构）求约求约 束处的约束力束处的约束力自由度为零，系统无虚位移自由度为零，系统无虚位移解除一个约束，代之以解除一个约束，代之以相应的待求约束力（视相应的待求约束力（视为未知大小的主动力）为未知大小的主动力）系统变为系统变为k=1的机构，的机构，按按(1)求解未知约束力求解未知约束力若求多个约束力，可依次解除相应约束，每次求出若求多个约束力，可依次解除相应约束，每次求出一个约束力一个约束力6解题指导解题指导解题指导解题指导（1）对系统，正确写出虚功

4、方程：）对系统，正确写出虚功方程：（8.32）是全部作功的力的虚功之和是全部作功的力的虚功之和 正确找出正确找出全部作功之力，全部作功之力，正确写出虚功正确写出虚功（2）虚功方程）虚功方程 中中的虚位移，必须表示为独立的虚位移的形式的虚位移，必须表示为独立的虚位移的形式（3）整理虚功方程，令虚功方程中各独立虚位移前）整理虚功方程，令虚功方程中各独立虚位移前面的系数为零。面的系数为零。7例例 题题 58 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题 杆杆OD、CE、CB、DB，弹簧，弹簧AB，刚度为，刚度为k，弹，弹簧未变形时簧未变形时 ，OA=AE=AD=AC=CB=DB=l,求求当当角为平衡位置时，角

5、为平衡位置时，P？8解：解：1.分析分析拆除弹簧拆除弹簧AB，用用 、表示弹簧对刚体系统的作用表示弹簧对刚体系统的作用系统为理想约束系统，各铰处的约束力不作功系统为理想约束系统，各铰处的约束力不作功。例例 题题 58 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题系统自由度为系统自由度为1，可，可选选为广义坐标。为广义坐标。2.列虚功方程列虚功方程系统中作功的力：系统中作功的力：主动力主动力 ，弹簧力，弹簧力，弹簧伸长量弹簧伸长量故弹簧力的大小为故弹簧力的大小为方法一方法一llllll9例例 题题 58 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题建立坐标系建立坐标系Oxy,各各力的虚功表示为：力的虚功表示为：xy

6、利用解析法建立虚位移的关系：利用解析法建立虚位移的关系：求变分求变分llllll10例例 题题 58 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题xyllllll系统的虚功方程为系统的虚功方程为即即由于由于11例例 题题 58 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题方法二方法二不拆除弹簧（弹簧包括在系统内，有内力作功）不拆除弹簧（弹簧包括在系统内，有内力作功）虚功方程为虚功方程为xyllllll由由同理可得同理可得12例例 题题 68 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题 AB、BC、CD为三根等为三根等长、等重的均质杆，与铅长、等重的均质杆，与铅垂墙壁连成正方形垂墙壁连成正方形ABCD，并用柔绳并用柔绳EH

7、拉住，拉住，E、H分别为分别为AB、BC的中点，各的中点，各杆重杆重Q，求柔绳的拉力。，求柔绳的拉力。13例例 题题 68 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题解：解：1.分析分析系统的自由度为系统的自由度为0,静定结构静定结构主动力：主动力：且且2.列虚功方程列虚功方程(几何法）几何法）G拆除绳拆除绳EH，自由度为，自由度为1，用，用表示绳索对结构的作用力。表示绳索对结构的作用力。14例例 题题 68 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题且且代入上式代入上式G此机构中，杆此机构中，杆AB，DC为定轴转动，杆为定轴转动，杆BC为平动，可为平动，可判断判断E，G，H各点的虚位移方向。各点的虚位移方向

8、。（拉力）（拉力）15例例 题题 78 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题 杆杆AB、CD由光滑铰由光滑铰链链C相连，在相连，在AB杆的杆的B端作用一铅垂力端作用一铅垂力 ，在，在CD杆上作用一力偶，其杆上作用一力偶，其力偶矩为力偶矩为M，不计杆重，不计杆重，求求A端的约束反力。端的约束反力。16例例 题题 78 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题解：系统的自由度为解：系统的自由度为0可依次拆除可依次拆除A端的端的几个约束，将相应几个约束，将相应约束力看作主动力约束力看作主动力求解。求解。17例例 题题 78 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题(1)求求去掉去掉A端的转动约束，端的转动约束，用

9、约束力偶矩用约束力偶矩MA代替。代替。系统的自由度为系统的自由度为1主动力：主动力：AB定轴转动，定轴转动，CD一般一般平面运动，瞬心为平面运动，瞬心为P，PAB的虚转角的虚转角CD的虚转角为的虚转角为则则18例例 题题 78 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题列虚功方程：列虚功方程：代入代入（）19例例 题题 78 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题(2)求求去掉去掉A端的水平约束，端的水平约束，用约束力用约束力FAx 代替。代替。系统的自由度为系统的自由度为1主动力主动力AB、CD只能作平动只能作平动20例例 题题 78 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题(3)求求 去掉去掉A端的铅垂约束

10、端的铅垂约束系统自由度为系统自由度为1主动力：主动力：AB平动，平动，CD瞬心为瞬心为PP设设CD的虚转角为的虚转角为则有则有列虚功方程：列虚功方程：21例例 题题 78 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题即即（）229.5 9.5 质点系平衡的广义力质点系平衡的广义力1.广义力广义力 以广义力表示的系统平衡条件以广义力表示的系统平衡条件虚功方程虚功方程各各 之间要满足约之间要满足约束条件，故不是独束条件，故不是独立的，可用广义虚立的，可用广义虚位移位移 表示为表示为称为广义坐标称为广义坐标 对应的广义力对应的广义力令令（8.35)23因此，虚功方程可写为因此，虚功方程可写为2.广义力的计算广

11、义力的计算由于各个由于各个 独立独立系统的平衡条件：系统的平衡条件：（8.36）分别计算分别计算k个广义力，个广义力，计算计算 时，选取一组特殊的时，选取一组特殊的广义虚位移，令广义虚位移，令但但而而这组虚位移下系统的虚功为：这组虚位移下系统的虚功为：则则j=1k (8.37)243.有势力场质点系的平衡问题有势力场质点系的平衡问题设系统的主动力全部为有势力，则系统存在势能设系统的主动力全部为有势力，则系统存在势能V或选取广义坐标或选取广义坐标与与 相应的广义力：相应的广义力：各有势力直角坐标下的各有势力直角坐标下的投影投影Fi与势能的关系与势能的关系则系统的元功则系统的元功选取直角坐标选取直

12、角坐标 xix2x1x3(xi1,xi2,xi3)25平衡条件：平衡条件：或或4.有势力场中质点系平衡的稳定性有势力场中质点系平衡的稳定性例如：考虑自重的例如：考虑自重的杆的平衡问题。杆的平衡问题。即对于保守系统，质点系的平衡位形一定出现在势即对于保守系统，质点系的平衡位形一定出现在势能取驻值（能取驻值（或或 ）的位形处。）的位形处。26以下仅讨论单自由度系统：以下仅讨论单自由度系统：设设在在处系统平衡。处系统平衡。将将在在处台劳展开处台劳展开当当q在在 附近时，略去二阶以上小量附近时，略去二阶以上小量注意到，因注意到，因 处于平衡位置，所以处于平衡位置，所以则则在平衡位置处势能取驻值包括以下

13、几种情况：在平衡位置处势能取驻值包括以下几种情况：(1)取极小取极小值值(2)取极大取极大值值(3)拐点拐点(4)不变不变化化27q对应的广义力对应的广义力则则(a)当当 时，有时，有势能势能V在在 处取极小值，广义力处取极小值，广义力Q与广义位移的增量与广义位移的增量 的符号相反。的符号相反。Q可使质点恢复到平衡位置。可使质点恢复到平衡位置。是质点系的稳定平衡位置。是质点系的稳定平衡位置。故当故当 时，时，28(b)当当 时，时，有有势能势能V在在 处取极大值，广义力处取极大值，广义力Q与广义位移的增量与广义位移的增量 的符号相同。的符号相同。Q可使质点离开平衡位置。可使质点离开平衡位置。q

14、对应的广义力对应的广义力(c)当当 时，需考察时，需考察V=V(q)更高阶导数更高阶导数(d)当当V=V(q0)=const时，广义力为零，随遇平时，广义力为零，随遇平衡衡是质点系的不稳定平衡位置。是质点系的不稳定平衡位置。故故 时，时，29稳定平衡稳定平衡不稳定不稳定平衡平衡随遇平衡随遇平衡在稳定的平衡位形处，质点系的总势能为在稳定的平衡位形处，质点系的总势能为在稳定的平衡位形处，质点系的总势能为在稳定的平衡位形处，质点系的总势能为最小，称为最小势能原理。最小，称为最小势能原理。最小，称为最小势能原理。最小，称为最小势能原理。30 三铰刚架受力如图，三铰刚架受力如图，求求C端的约束力。端的约

15、束力。例例 题题 88 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题31系统的自由度为系统的自由度为2。主动力：主动力：例例 题题 88 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题解：此为静定结构，自由解：此为静定结构，自由度为度为0，C端约束力有端约束力有 ，去掉，去掉C端约束，端约束，计算这两个广义坐标相应的广义力计算这两个广义坐标相应的广义力Q1和和Q2：取一组广义坐标取一组广义坐标:为为AB绕绕A点定轴转动的方位角点定轴转动的方位角为为BC相对于相对于AB绕绕B点定轴转动的方位角点定轴转动的方位角32例例 题题 88 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题计算系统的虚功：计算系统的虚功：(1)令令 此时此时

16、BC相对于相对于AB静止，整个系统绕静止，整个系统绕A定轴转动：定轴转动：yx33AB不动，不动，BC以以B点为点为基点定轴转动：基点定轴转动：例例 题题 88 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题yx（2）令）令系统的虚功为：系统的虚功为：34()()yx例例 题题 88 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题（3）广义力平衡条件）广义力平衡条件35例例 题题 118 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题OrOrrOrO放在固定半圆柱体上的均质半圆柱和均质半圆放在固定半圆柱体上的均质半圆柱和均质半圆柱薄壳（半径均为柱薄壳（半径均为r)，分析其平衡的稳定性。，分析其平衡的稳定性。(设物体接触面间有足够的静摩擦力）设物体接触面间有足够的静摩擦力）45rOrrOr解：设上面解：设上面物体重心为物体重心为C，m为其质量，为其质量，仅有重力作功，仅有重力作功，有势系统，存有势系统，存在势能在势能V：CC求导求导rC OOO为平衡位置为平衡位置时时例例 题题 118 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题(地面为零点地面为零点)46OrOrrrCCrC OOO例例 题题 118 8 虚位移原理虚位移原理 例题例题对半圆柱：对半圆柱：不稳定平衡！不稳定平衡！对半圆柱对半圆柱薄壳：薄壳：稳定平衡！稳定平衡！47