经济数学-一阶微分方程在经济中的应用

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1、一 、 微 分 方 程 在 经 济 中 的 应 用 二 、 小 结 第 三 节 一 阶 微 分 方 程 在 经 济 学 中 的 综 合 应 用 分 析 商 品 的 市 场 价 格 与 需 求 量 (供 应 量 )之 间 的 函 数 关 系解 d ln3dp x px p 由 已 知一 、 微 分 方 程 在 经 济 中 的 应 用 d ln3dx xp 即分 离 变 量 解 此 微 分 方 程 d ln3dx px 两 边 积 分 得 Cpx ln3lnln 3lnpCex 12001200,0 Cxp 得 ，再 由 px 31200 )(400312001 1 公 斤 的 需 求 量 为元

2、时 ， 市 场 上 对 该 商 品当 价 格 为 x 解 d ( )dp D St 由 已 知d ( d ) ( ) ( )dp c p a bp a c b d pt 即 d ( ) ( )dp b d p a ct 即 ( )d ( )d( ( ) d )p t t p t tp e q t e t c 其 通 解 为 )()(),()( catqdbtp 这 里 tdbtdbtdb eedb cacep )()()( )( )( 所 以 0 pcedb cace tdbtdb )()( ppcpp 00)0( 代 入 上 式 ， 得由 的 函 数 关 系 为与 时 间故 所 求 价 格

3、tp peppp tdb )(0 )( ., 即 价 格 趋 于 平 衡 价 格显 然 当 ppt 解 ： 程据 题 意 ， 可 建 立 微 分 方d ( ) ( )( ( ),dx t kx t x t kt 其 中 为 比 例 因 子d ( ): d( )( ( )x t k tx t x t 分 离 变 量 0 txa 1 1 1 d ( ) d( ) ( ) x t k tx t x t )()()(ln 11 为 任 意 常 数CCkttxa tx )()()( 221 为 任 意 常 数CeCetxtx ktCkt 从 而 可 得 通 解 为 )(11)( 22 为 任 意 常 数

4、CCeeCeCtx ktktkt 例 4 在 某 池 塘 内 养 鱼 ， 由 于 条 件 限 制 最 多 只 能 养 1000 条 .在 时 刻 t 的 鱼 数 y 是 时 间 t 的 函 数 y=y(t)， 其 变 化 率 与 鱼 数 y 和 1000-y 的 乘 积 成 正 比 .现 已 知 池 塘 内 放 养 鱼 100 条 ， 3 个 月 后 池 塘 内 有 鱼 250 条 ， 求 t 月 后 池 塘 内 鱼 数 y(t)的 公 式 .问 6 个 月 后 池 塘 中 有 鱼 多 少 ？ 解 ： 0 3d (1000 ), 100, 250d t ty ky y y yt 由 已 知解

5、此 微 分 方 程 分 析 产 量 、 收 入 、 成 本 及 利 润 之 间 的 函数 关 系 ktceyy 10001000 代 入 得将 250,100 30 tt yy kcec 300025010002501001000100 30003ln,91 kC解 得 关 系 为月 后 鱼 数 与 时 间 的 函 数即 t 33911000 tyy 3 339 31000 t ty 即 个 月 后 鱼 塘 中 鱼 数当 放 养 6 )(50039 31000 2 2 条y 解 ： 00d ( )d XL k A LxL L 由 题 意 列 出 方 程d d ,L k xA L 分 离 变 量

6、 两 边 积 分 )1(,ln)ln( 11 CCCeLACkxLA kx 其 中kxCeAL 000 LACLL x 解 得由 初 始 条 件 函 数 关 系 为所 以 纯 利 润 与 广 告 费 的 kxeLAAL )( 0 例 6 某 商 场 销 售 成 本 y 和 存 储 费 用 s 均 是 时 间 t 的 函 数 ， 随 时 间 t 的 增 长 ,销 售 成 本 的 变 化 率 等 于 存 储 费 用 的 倒 数 与 常 数 5 的 和 ； 而 存 储 费 用 的 变 化 率 为 存 储 费 用 的 31 ， 若 当 t=0 时 ， 销 售 成 本 y=0， 存 储 费 用 S=10

7、.试 求 销 售 成 本 与 时 间 t 的 函 数 关 系 及 存 储 费 用 与 时 间 t 的 函 数 关 系 . 解 ： d 1 5dd 1d 3yt SS St 由 已 知 )2( )1(得解 )2( 10100.3 cStceS t 解 出时由 的 函 数 关 系 为于 是 存 储 费 用 与 时 间 t 310 teS 得将 上 式 代 入 方 程 )1( 3d 1 5d 10 ty et 解 此 方 程 得 000,5103 113 cytctey t 解 出时由 的 函 数 关 系 为即 销 售 成 本 与 时 间 t.5103 3 tey t 解 ： 1 1 d,10 3

8、dyS y I t 由 已 知 1 1 d10 3 dyS I y t 当 有 关 于 国 民 收 入 、 储 蓄 与 投 资 关 系 解 此 微 分 方 程 得 550103 cytcey t 得时由 tey 1035即 国 民 函 数 为 为而 储 蓄 函 数 和 投 资 函 数 teIS 10321 解 ： d 1d 10yt 由 已 知 cty 101所 以 得 国 民 收 入 函 数 关 于 国 民 收 入 与 国 民 债 务 问 题 ， 于 是 国 民 收 入 函 数 为得时由 550 cyt 5101 ty d 1 1 1( 5)d 20 20 10D y tt 又 由 已 知

9、12 414001 cttD 解 此 方 程 得 ， 故 国 民 债 务 函 数 为得时由 1.01.00 1 cDt 101414001 2 ttD 关 于 流 动 收 入 、 流 动 消 费 和 流 动 投 资 问 题 解 ： yyyyy 10 ,5,3且于 是 流 动 函 数 为 teyyyy )(0 )( te )14131(21)53(5 te 24525 11 1 1 1 1 1 1d1 1 1, , ( )3 4 d 2yC y I y C I yt )(751.410 亿 元时 ， 则 流 动 收 入 yt )(5 亿 元时 ， 流 动 收 入显 然 当 yt )7128.2(

10、 e这 里 取 )(2949.45, 亿 元时 ， 则 流 动 收 入若此 题 中 yt 解 ： d ( )dx A xt 由 解 此 微 分 方 程 得 关 于 商 品 存 储 过 程 中 的 基 本 衰 减 问 题d dx tA x tA x Ce 即 ACxt 代 入 得时 ， 00 的 函 数 关 系 为腐 败 数 量 与 时 间 t )1( teAx 解 ： 2d 2 81dy yx x x 由 已 知 在 其 他 方 面 的 应 用 2d 2 81dy yx x x 改 写 为代 入 通 解 公 式2 2d d281( d )x xx xy e e x Cx )27( 3ln2 C

11、xey x 即 ： )27( 32 Cxx 227 Cxx 215.271 Cyx ， 解 出时又 由 的 函 数 关 系 为与 大 修 的 时 间 间 隔即 总 维 修 成 本 xy 22127 xxy 30272 xxxy 解 得令 .3,0154 3 有 最 小 值时 ，故因 yxxy . 3最 低 成 本年 大 修 一 次 可 使 总 维 修即 每 辆 汽 车 解 ： d 2dd 1d 3yt SS St 由 已 知 )2( )1( 得解 微 分 方 程 )2( 5.45.40,3 CStCeS t ， 得时由 的 函 数 关 系 为与 时 间汽 车 转 卖 值 tS 35.4 teS

12、 得将 此 式 代 入 方 程 )1(3d 4d 9 ty et 解 此 方 程 得 1334 Cey t 得时由 00 yt 341 C 的 函 数 关 系 为与 时 间即 汽 车 运 行 成 本 ty ).1(34 3 tey 例 13 关 于 消 费 者 的 收 入 与 消 费 需 求 的 关 系 问 题 ： xy， 消 费 者 的 收 入 为设 消 费 者 的 需 求 量 为d d( ) , ( )d dy x yyx xx y xx 即 入 的 弹 性 为则 需 求 量 对 消 费 者 的 收 d ( ) ( )d , ( )y x xx xy x x 于 是 有 称 为 平 均 弹

13、 性d ( )dy x xy 则解 此 微 分 方 程 得 ： 为 定 常 数若 平 均 弹 性 )( x xcey 为 定 常 数若 弹 性 函 数 )(x d: dy xy x则 有.cxy 解 此 微 分 方 程 得 ： .3, 15.0 .时 的 消 费 需 求 量人 收 入 为数 关 系 ， 并 求 消 费 者 个 之 间 的 函与 个 人 收 入求 消 费 需 求 量费 需 求 量 时 ， 消， 且 当 消 费 者 收 入 为比 的 平 均 弹 性 为 率 之对 消 费 者 个 人 收 入 增 长测 算 ： 消 费 需 求 增 长 率 经有 关费 者 的 个 人 收 入条 件 下

14、， 需 求 量 只 与 消 时 ， 发 现 在 价 格 稳 定 的量如 某 地 区 研 究 消 费 需 求 xyey xxy 解 ： 0.5d 0.5d , xy x y cey 由 有 ,c1 eeyx 有 ：时 ，由 :的 函 数 关 系 为与 个 人 收 入即 需 求 量 xy xeey 5.0 4.7,3 5.1 eeyx 时当 .4.73时 ， 消 费 需 求 约 为即 当 消 费 者 个 人 收 入 为 二 、 小 结1.理 解 函 数 关 系 ；2.建 立 微 分 方 程 ；3.确 定 初 始 条 件 ；4.求 解 .掌 握 一 类 经 济 问 题 建 立 数 学 模 型 的 方

15、 法 ： 练 习 题 练 习 题 答 案 ；万 元， )(125)10(2520.5 ;100.4 4)63sin3263(cos)(.3 )3( ;)1()()2( ;)()1.(2 32.1)3.0(,4543.1 max222 31333318 2 yxxy eP ttetP P ePPtP baP PeP Qte kbteet t xtt tt tt t eyea xex yety eyDDeyy eyey 3.11;1000.10 63200)10(),1(10,9 )(66.4)2(,4)(.8 )1(,.7 )(15.83)5(,3.6 10ln 105 21.0 000 353 2 亿 元亿 元