蒙特卡洛方法及排队论讲稿

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1、计 量 数 模 提 高 班 专 题 五蒙 特 卡 罗 仿 真 与 排 队 论 模 型柴 中 林 2011/4/16 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五 数 学 模 型 的 解 有 两 种精 确 解 近 似 解当 然 ， 对 解 的 近 似 程 度 以 及 求 解 的 复 杂 程 度 做 一 定 的 讨 论 对 建 模 来 讲 都 是 有 益 的 。求 解 问 题 ， 人 们 总 希 望 得 到 精 确 解 。 但 是 在 很 多 情 况 下 ， 精 确 解是 求 不 出 或 很 难 求 出 的 。 在 此 情 况 下 ， 求 得 问 题 的 近 似 解 就 是 必然 的 了 。 此 外 ，

2、 从 应 用 的 角 度 讲 ， 一 定 程 度 的 近 似 解 就 够 了 。 引 言 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五排 队 论 是 重 要 的 一 类 随 机 模 型 ， 而 蒙 特 拉 罗 方 法 则 是 基 于 随 机理 论 的 一 种 重 要 的 仿 真 模 拟 方 法 ， 它 们 都 与 不 确 定 现 象 相 关 。引 言 自 然 现 象 有 两 类确 定 性 现 象不 确 定 性 现 象 随 机 现 象模 糊 现 象 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五2、 能 用 蒙 特 卡 罗 方 法 编 程 求 解 问 题 ；1、 了 解 蒙 特 卡 罗 方 法 的 原 理 和

3、 适 用 范 围 ；3、 了 解 排 队 问 题 的 特 点 、 基 本 类 型 和 理 论 ；4、 能 对 简 单 的 排 队 问 题 编 程 求 解 。本 专 题 的 学 习 目 的 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五一 、 蒙 特 卡 罗 方 法 简 介 蒙 特 卡 罗 (Monte Carlo， 美 国 一 赌 城 的 名 称 )方 法 又称 统 计 模 拟 法 、 随 机 抽 样 技 术 ， 是 一 种 以 概 率 和 统 计理 论 方 法 为 基 础 的 基 于 随 机 模 拟 的 数 值 计 算 方 法 。 它将 所 求 解 的 问 题 同 一 定 的 概 率 模 型 相 联

4、 系 ， 用 计 算 机和 随 机 数 实 现 统 计 模 拟 或 抽 样 ， 再 根 据 统 计 理 论 获 得问 题 的 近 似 解 。 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五蒙 特 卡 罗 方 法 的 概 率 论 依 据 ： 1 设 A表 示 一 随 机 事 件 ， P(A)， fn(A)分 别 表 示 A发 生 的 概 率和 频 率 ， 则 当 n很 大 时 有 P(A)fn(A)。 2 设 X是 一 随 机 变 量 （ 总 体 ） , E(X)=, D(X)=2分 别 是 X 的期 望 和 方 差 ， X1, X2,Xn, 是 来 自 总 体 X的 一 个 样 本 ， 则 分 别 是

5、 和 2的 估 计 。 3 该 方 法 也 可 以 估 计 参 数 ， 如 （ ） 中 含 参 数 ， 利 用 的估 计 式 就 可 估 计 出 参 数 的 值 。 ni i XXn 1 22 )(11 ni i XXn 11 模 拟得 到模 拟 得 到 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五随 机 数 的 产 生rand 产 生 一 个 服 从 U(0,1)分 布 的 随 机 数rand(m,n) 产 生 mn个 服 从 U(0,1)分 布 的 随 机 数exprnd() 产 生 一 个 服 从 e()分 布 的 随 机 数poissrnd() 产 生 一 个 服 从 P()分 布 的 随

6、机 数binornd(n, p) 产 生 一 个 服 从 B(n, p)分 布 的 随 机 数normrnd(,2) 产 生 一 个 服 从 N(,2)分 布 的 随 机 数unifrnd(a,b) 产 生 一 个 服 从 U(a,b)分 布 的 随 机 数 其 他 一 些 随 机 变 量 可 利 用 U(0,1)分 布 通 过 适 当 数 学 方 法 得 到 （ 参 见 下 面例 子 ） 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五仿 真 与 模 拟 的 目 的 和 原 理 仿 真 和 模 拟 可 以 说 是 针 对 同 一 内 容 的 不同 角 度 的 看 法 描 述 ， 当 需 要 对 某 一

7、 问 题 观察 研 究 而 相 应 的 观 察 和 实 验 时 间 和 成 本 花费 太 高 时 ， 可 以 考 虑 用 一 个 模 型 代 替 原 型 ，用 模 型 的 研 究 达 到 原 型 的 研 究 的 目 的 （ 以节 约 时 间 和 成 本 ） ， 这 就 是 仿 真 ， 其 在 计算 机 上 等 的 实 现 过 程 也 称 为 模 拟 。 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五例 1： 中 子 穿 过 原 子 反 应 堆 屏 障 问 题 模 拟 原 子 反 应 堆 外 的 铅 屏 障 是 用 来 屏 障 原 子 反 应 堆中 逸 出 的 中 子 的 ， 以 免 给 人 类 造 成

8、 危 害 。 经 试 验 和分 析 ， 可 做 以 下 简 单 假 设 ： 每 一 个 进 入 屏 障 的 中 子在 撞 到 铅 原 子 前 行 进 的 距 离 为 D， 然 后 这 个 中 子 以随 机 方 向 弹 回 来 ， 并 且 在 它 的 下 一 次 撞 击 中 又 行 进距 离 D。 假 设 屏 障 厚 度 为 3D， 每 一 个 中 子 能 经 受 10次 撞 击 ， 问 进 入 的 中 子 能 以 多 大 的 比 例 穿 透 铅 屏 障 ？ 二 、 仿 真 例 子 与 分 析 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五 分 析 ： 该 问 题 显 然 难以 用 概 率 论 解 决

9、， 用 蒙特 卡 罗 方 法 却 很 容 易 。为 方 便 ， 不 妨 做 进 一 步假 设 ： 1 中 子 反 弹 回 反 应 堆后 认 为 不 能 穿 过 屏 障 。 2 与 铅 原 子 相 撞 后 任意 方 向 等 可 能 反 弹 。3 中 子 撞 击 十 次 后 毁 灭 。画 图 如 右 ， 模 拟 流 程 图如 下 x轴y轴 中 子屏 障 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五中 子 撞击 铅 屏模 拟 流程 图 初 始 化 系 统 状 态 产 生 一 个 新 中 子 的 初 试 方 向 和 运 行 终 点 中 子 回 到 反 应 堆 了 吗 求 频 率 ,结 束Y N 碰 撞 ，

10、产 生 新 方 向 和 运 行 终 点 模 拟 次 数 到 了 吗 NY 中 子 出 了 铅 屏 了 吗 碰 撞 次 数 到 了 吗N 频 数 增 加 YY N对 复 杂 的对 象 编 程 ，画 一 个 流程 图 是 很有 价 值 的 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五程 序 为 n=10000; % test number m=0; %frequency for i=1:n theta=unifrnd(-pi,pi); % initinal angle x=cos(theta); % only x needed for j=1:10 theta=2*pi*rand;%new angle

11、hitted x=x+cos(theta); if x3 m=m+1; break; end end end fn=m/n % rate 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五例 2： 计 算 定 积 分 分 析 ： 这 个 积 分 应 该 有 精 确 解 ， 因 为 原 函 数 的 缘 故这 个 积 分 不 易 求 得 ， 精 确 解 难 以 得 到 ， 故 求 一 个 近 似解 是 必 然 的 选 择 。 可 以 用 其 他 方 法 求 近 似 解 ， 这 里 用蒙 特 卡 罗 方 法 。 用 蒙 特 卡 罗 方 法 离 不 开 随 机 变 量 。 当问 题 本 身 具 有 随 机 性 时

12、 ， 随 机 变 量 的 选 取 与 这 个 随 机问 题 应 当 一 致 （ 如 上 例 ） ； 而 当 问 题 本 身 不 具 有 随 机性 时 （ 本 例 ） ， 就 要 引 入 随 机 变 量 ， 将 确 定 性 问 题 转化 为 不 确 定 问 题 ， 以 求 得 问 题 的 解 。 dxxI )exp( 30 2 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五 根 据 积 分 区 域 ， 引 入 随 机 变 量 X,且 X U(0,3),记 其密 度 含 函 数 为 (x) ， 又 记 f(x)=exp(-x2),且 在0,3上 记 Y=F(x)=f(x)/ (x)， 则 模 拟 结 果

13、为 0.8704,软 件 算 得 结 果 为 0.8862.YYEXFE dxxxFdxxxxfdxxfI )()( )()()()( )()( 303030 计 算 重积 分原 理相 同 ，且 更有 价值 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五例 3： 用 蒙 特 卡 罗 法 求 的 （ 近 似 ） 值 求 的 值 已 有 多 种 方 法 ， 而 且 要 多 精确 都 可 以 。 蒙 特 卡 罗 方 法 求 的 值 效 果并 不 好 ， 这 里 主 要 介 绍 原 理 。 本 问 题 相当 于 用 蒙 特 卡 罗 法 求 一 个 参 数 的 近 似 值 。 计 量 数 模 提 高 班 专 题

14、 五 可 以 根 据 圆 面 积 及 其 积 分如 上 构 造 模 型 ， 也 可 如 下 构 造 ：设 XU（ -1， 1） ， YU（ -1，1） ， 且 相 互 独 立 ， 则 （ X， Y）在 如 右 图 所 示 的 正 方 形 内 服 从均 匀 分 布 。 今 考 虑 事 件 X2+Y21，该 事 件 就 相 当 于 随 机 变 量 （ X，Y） 落 在 圆 周 内 。 利 用 均 匀 分布 的 特 征 容 易 得 到 ( ) 1 ( ) ( )1 4 ns P A P A f As 阴正 ， 即从 而 4fn(A)， 程 序 如 下 x轴y轴 11 -1-1 计 量 数 模 提 高

15、 班 专 题 五 n=10000; % test number m=0; for i=1:n x=unifrnd(-1,1); %generate the rand number of x y=unifrnd(-1,1); %generate the rand number of y if x2+y20)， 称 X服 从 参 数 为 的 泊 松 分 布 ，若 在 上 式 中 引 入 时 间 参 数 t， 即 令 t代 替 ， 则 有 ： 在 概 率 论 中 ， 我 们 曾 学 过 泊 松 分 布 ， 设 随 机 变量 为 X， 则 有 ： !neP X n n n=0,1,2, （ 1） 与

16、时 间 有 关 的 随 机 变 量 的 概 率 ， 是 一 个 随 机 过 程 ，即 泊 松 过 程 。 t0， n=0,1,2, （ 2） 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五)()(, 1221 ntNtNPttPn （ t2t1， n 0） 若 设 N(t)表 示 在 时 间 区 间 0,t)内 到 达 的 顾 客 数(t0),Pn(t1,t2)表 示 在 时 间 区 间 t1,t2)(t2t1)内 有n( 0)个 顾 客 到 达 的 概 率 。 即 ： 在 一 定 的 假 设 条 件 下 顾 客 的 到 达 过 程 就 是一 个 泊 松 过 程 。 当 Pn(t1,t2)符 合 下

17、述 三 个 条 件 时 ， 顾 客 到 达 过 程就 是 泊 松 过 程 (顾 客 到 达 形 成 普 阿 松 流 )。 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五 无 后 效 性 ： 各 区 间 的 到 达 相 互 独 立 ,即 Markov性 。 . . . . . . . t0 t1 t2 tn-1 tn |)(|)( 11112211 )()(,.,)(,)( nnnn xtxnxtxxtxxtxn ntxPntxP 也 就 是 说 过 程 在 t+ t所 处 的 状 态 与 t以 前 所 处 的 状态 无 关 。 平 稳 性 ： 即 对 于 足 够 小 的 t， 有 ：)()( tttt

18、tP ， 1 普 阿 松 流 具 有 如 下 特 性 ： 在 t,t+ t内 有 一 个 顾 客 到 达 的 概 率 与 t无 关 ,而 与 t成 正 比 。 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五 普 通 性 ： 对 充 分 小 的 t,在 时 间 区 间 （ t,t+ t）内 有 2个 或 2个 以 上 顾 客 到 达 的 概 率 是 一 高 阶 无 穷 小 . 由 此 知 ， 在 (t， t+ t)区 间 内 没 有 顾 客 到 达 的 概 率 为 ： )(1),(0 tottttP 令 t1=0,t2=t,则 P(t1,t2)=Pn(0,t)=Pn(t) 0 是 常 数 ， 它 表 示

19、 单 位 时 间 到 达 的 顾 客 数 ， 称为 概 率 强 度 。 2 )(),(n n totttP 即 P0+P1+P 2=1 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五 其 概 率 密 度 函 数 为 ： tTT edtdF)t(f t0 当 输 入 过 程 是 泊 松 流 时 ， 我 们 研 究 两 顾 客 相 继 到达 的 时 间 间 隔 的 概 率 分 布 。 设 T为 时 间 间 隔 ， 分 布 函 数 为 FT（ t） ， 则 ：FT（ t） =PT t 此 概 率 等 价 于 在 0， t） 区 间 内 至 少 有 1个 顾 客 到达 的 概 率 。 tT etPtF 1)(

20、1)( 0 t0tetP )(0 没 有 顾 客 到 达 的 概 率 为 ： (由 （ 5） 式 而 来 ) 间 隔 ： 间 隔 ： 间 隔 对 分 布 函数 微 分 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五 表 示 单 位 时 间 内 顾 客 平 均 到 达 数 。 1/ 表 示 顾 客 到 达 的 平 均 间 隔 时 间 。 可 以 证 明 ， 间 隔 时 间 T独 立 且 服 从 负 指 数 分 布 与顾 客 到 达 形 成 泊 松 流 是 等 价 的 。对 顾 客 的 服 务 时 间 ： 系 统 处 于 忙 期 时 两 顾 客 相 继 离开 系 统 的 时 间 间 隔 ， 一 般 地 也

21、 服 从 负 指 数 分 布 ， 设 ： 即 T服 从 负 指 数 分 布 ， 它 的 期 望 及 方 差 为 ： 1TE 21 TVar 接 受 服 务 ， 然 后 离 开服 务 时 间 的 分 布 ： 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五其 中 ： 表 示 单 位 时 间 内 能 被 服 务 的 顾 客 数 ， 即 平 均 服 务 率 。 1/ 表 示 一 个 顾 客 的 平 均 服 务 时 间 。tetF 1)( tetf )( ， 则令 ， 则 称 为 服 务 强 度 。一 般 的 ， 要 设 1（ 否 则 队 列 会 无 限 ，永 远 达 不 到 稳 态 ） 计 量 数 模 提 高

22、 班 专 题 五 对 排 队 模 型 ， 在 给 定 输 入 和 服 务 条 件 下 ， 主 要研 究 系 统 的 下 述 运 行 指 标 ： (1)系 统 的 平 均 队 长 Ls(期 望 值 )和 平 均 队 列 长Lq(期 望 值 )； (2)系 统 中 顾 客 平 均 逗 留 时 间 Ws与 队 列 中 平 均等 待 时 间 Wq； 本 节 只 研 究 M/M/1模 型 .4.5 M/M/1 模 型 研 究 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五（ M/M/1/ / /FCFS） 系 统 中 有n个 顾 客 在 任 意 时 刻 t， 状 态 为 n的 概 率 Pn(t)（ 瞬 态 概

23、率 ） ，它 决 定 了 系 统 的 运 行 特 征 。 已 知 顾 客 到 达 服 从 参 数 为 的 泊 松 过 程 ， 服 务 时间 服 从 参 数 为 的 负 指 数 分 布 。 现 仍 然 通 过 研 究 区 间t， t+ t） 的 变 化 来 求 解 。 在 时 刻 t+ t， 系 统 中 有 n个 顾 客 不 外 乎 有 下 列 四 种 情 况 （ t， t+ t） 内 到 达或 离 开 2个 以 上 没 列 入 ） 。 ？ 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五区 间 (t, t+ t) 情 况 时 刻 t的 顾 客 到 达 离 去 时 刻 t+ t的 顾 客 (t, t+ t

24、)的 概 率 0, t+ t的 概 率 A n n 1- t+O( t) 1- t+O( t) Pn(1- t+O( t) （ 1- t+O( t)） B n+1 n 1- t+O( t) t+O( t) Pn+1(1- t+O( t) （ t+O( t)） C n-1 n t+O( t) 1- t+O( t) Pn-1( t+O( t) （ 1- t+O( t)） D n n t+O( t) t+O( t) Pn( t+O( t) （ t+O( t)） 由 于 这 四 种 情 况 是 互 不 相 容 的 ， 所 以 Pn(t+ t)应是 这 四 项 之 和 ， 则 有 ： tttPtttPt

25、ttPttP nnnn )1)()()1)(1)()( 1)()1()(1 tOtttPn 所 有 的 高 阶 无穷 小 和 并 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五 t)t(P)t(P)t(O)t(Ott)(t(P nnn 11 )t(O)t(O)t(Pt)t(P)t(O)t(P nnn 111 )t(Ot)t(Pt)t(P)tt)(t(P nnn 111 t )t(O)t(P)()t(P)t(Pt )t(P)tt(P nnnnn 11 令 t 0， 得 关 于 Pn(t)的 微 分 差 分 方 程 ：)()()()()( 11 tPtPtPdttdP nnnn (1) 当 n=0时 ，

26、只 有 表 中 的 （ A） 、 （ B） 两 种 情 况 ，因 为 在 较 小 的 t内 不 可 能 发 生 （ D） （ 到 达 后 即 离去 ） ， 若 发 生 可 将 t取 小 即 可 。 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五)t()t)(t(P)t)(t(P)tt(P 11 100 )t(P)t(Pdt )t(dP 100 (2) 这 种 系 统 状 态 (n)随 时 间 变 化 的 过 程 就 是 生 灭 过程 （ Birth and Death Process） 。 方 程 (1)、 (2) 解 是 瞬 态 解 ,无 法 应 用 。 它 对 时间 的 导 数 为 0， 所 以

27、由 (1)、 (2)两 式 得 ：稳 态 时 ， Pn(t)与 时 间 无 关 , 可 以 写 成 Pn, 011 nnn P)(PP 010 PP (3) (4) 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五 由 此 可 得 该 排 队 系 统 的 状 态 转 移 图 ： 由 （ 4） 得 ： 001 PPP 其 中 服 务 强 度 将 其 代 入 （ 3） 式 并 令 n=1,2,(也 可 从 状 态 转 移图 中 看 出 状 态 平 衡 方 程 )得 ： 011 nnn P)(PP 010 PP (3) (4) 关 于 Pn的 差分 方 程 n-1 n n+1 2 0 1 状 态 转 移 图

28、计 量 数 模 提 高 班 专 题 五0120 P)(PP n=1 0020 P)(PP 020202 1 PP)(P)(P n=2 0 231 P)(PP 00230 P)(PP 0303022 23 1 PP)(P)(P 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五 以 此 类 推 ， 当 n=n时 ， 00)( PPP nnn (5)1 1 0 n nP 及 概 率 性 质 知 ： 111000 PP n n (数 列 的 极 限 为 ) 1110P nn )(P 1 (6) 否 则 排 队 无 限 远 系 统稳 态概 率 系 统 的 运 行 指 标 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五 (

29、1) 系 统 中 的 队 长 Ls（ 平 均 队 长 ） nnn ns nPnL 00 1 .)(n.)()()( n 113121 32 .nn. nn 143322 3322 132 . n (01)1 Ls 即 : (7) 期 望 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五(2) 队 列 中 等 待 的 平 均 顾 客 数 Lq nnn nq nPnL 11 1)1()1( n nn n)(n 11 11 1 2sL (8) (3) 顾 客 在 系 统 中 的 平 均 逗 留 时 间 Ws 顾 客 在 系 统 中 的 逗 留 时 间 是 随 机 变 量 ， 可 以 证明 ， 它 服 从 参

30、数 为 - 的 负 指 数 分 布 ， 分 布 函 数 11n n 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五 和 密 度 函 数 为 ： w)(e)w(F 1 w)(e)()w(f （ w 0） )WsLs( 1wEWs (4)顾 客 在 队 列 中 的 平 均 等 待 时 间 Wq 111WsWq )WqLq( 等 待 时间 顾 客 在 队 列 中 的 平 均 等 待 时 间 应 为 Ws减 去 平 均 服务 时 间 。 考 虑 LS与 WS的 关系 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五Ls LsLLq s 1 2WsLs WqLq 四 个 指 标 的 关 系 为 (Little 公 式 )

31、： 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五知 识 点 评 ： 从 上 述 分 析 可 以 看 出 ： 排 队 论 是 有 用的 ， 同 时 又 非 常 难 。 根 据 顾 客 的 到 来 ， 排队 方 式 和 服 务 方 式 可 以 存 在 很 多 排 队 模 型 。最 简 单 的 M/M/1模 型 就 这 么 复 杂 ， 何 况 其 他模 型 。 事 实 上 能 进 行 理 论 概 率 研 究 的 排 队模 拟 是 不 多 的 ， 而 这 些 模 型 多 少 还 有 些 理想 化 的 成 分 。 对 于 生 活 中 许 多 一 般 化 的 排队 问 题 ， 是 求 不 出 其 概 率 分 布

32、 ， 得 不 到 其平 均 队 长 、 等 待 时 间 等 标 志 性 参 数 的 ， 怎么 办 ？ 这 就 需 要 仿 真 和 模 拟 ， 而 蒙 特 卡 罗方 法 是 求 解 这 类 问 题 的 有 效 方 法 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五 此 外 ， 对 于 给 定 的 排 队 问 题 ， 若 给 出 了顾 客 到 达 和 服 务 时 间 的 分 布 类 型 ， 可 直接 模 拟 。 若 给 出 的 是 一 些 顾 客 到 达 和 服务 时 间 的 数 据 ， 则 要 根 据 数 据 特 点 判 断可 能 的 分 布 类 型 ， 再 进 行 分 布 类 型 的 检验 ， 以 得

33、 到 顾 客 到 达 和 服 务 时 间 的 分 布类 型 及 相 关 参 数 ， 再 进 行 模 拟 。 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五例 4： M/M/1模 型 及 其 模 拟 流 程 图 M/M/1排 队 模 型 即 是 顾 客 到 来 的 时 间间 隔 和 服 务 时 间 都 服 从 负 指 数 分 布 ， 只有 一 个 服 务 台 （ 员 ） ， 队 长 无 限 （ 来 了就 排 队 ） 。 我 们 先 分 析 排 队 和 服 务 的 特点 和 规 则 ， 再 给 出 模 拟 流 程 图 ， 而 后 用适 当 参 数 计 算 顾 客 的 平 均 等 待 时 间 和 平均 逗

34、留 时 间 。 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五排 队 过 程 分 析 因 为 Matlab需 要 ， 队 伍 中 至 少 要 有 两 个 人 （ 可虚 拟 ， 将 来 会 来 ） 。 假 设 有 一 个 顾 客 刚 开 始 服 务 ， 在 它 服 务 期 间 ， 顾 客 仍 会 来 。 当 他 服 务 结 束 后 ， 若 没 有 等 待 顾 客 ， 时 间 推 到下 一 个 顾 客 到 来 ， 等 待 时 间 不 增 加 。 若 有 等 待 顾 客 ， 则 第 一 个 顾 客 离 开 队 列 ， 开 始服 务 ， 所 有 等 待 的 顾 客 的 等 待 时 间 加 到 总 的 等待 时

35、 间 中 去 。 模 拟 结 束 后 ， 将 总 的 等 待 时 间 除 服 务 人 数 得 平均 等 待 时 间 。 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五M/M/1模 型流 程图 初 始 化 系 统 状 态 第 一 个 人 接 受 服 务 有 人 等 吗 计 算 相 关 结 果 结 束 时 间 推 到 该 人 服 务 结 束 同 时 他 离 开 系 统 Y 时 间 推 到 下 一 个 顾 客 到 来 服 务 人 数 到 了 吗 N 服 务 中 会 有 人 来 吗 产 生 新 到 达 顾 客NN YY 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五 当 模 拟 100次 得 Wq= 9.0459,

36、Ws= 12.5612,而 当 模 拟 10000次 得 Wq= 10.1294, Ws= 13.1731,而 从 理 论 上 应 该 是Ws=3/4/(1/3-1/4)=9, Wq=1/(1/3-1/4)=12，它 们 还 是 接 近 的 。 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五五 、 作 业 1 两 人 约 定 下 午 1-3点 在 某 处 见 面 ， 设 两 人 的 到 达 分 别 服 从 分 布 U(1,3)和 N(2,1)，且 一 人 最 多 等 另 一 人 15分 钟 ， 求 两 人 见 面 的 概 率 。2 编 程 模 拟 顾 客 到 达 服 从 负 指 数 分 布 （ =10

37、） ， 服 务 时 间 分 别 服 从 正 态 分 布（ 均 值 为 9， 方 差 为 4） 和 定 长 时 间 （ T=9） 的 排 队 过 程 ， 求 顾 客 平 均 等 待 时 间 和逗 留 时 间 。 3（ 选 做 ） 一 列 火 车 大 约 在 下 午 1点 离 开 A站 ， 规 律 如 下 ： 离 站 时 间 13： 00 13： 05 13： 10 概 率 0.7 0.2 0.1火 车 从 A到 B途 中 所 需 的 平 均 时 间 为 30分 ， 有 2分 钟 的 标 准 差 。 如 果 你 要 赶 的 是 这趟 火 车 的 下 一 站 B， 而 你 到 达 的 时 间 分 布 为 时 间 13： 28 13： 30 13： 32 13： 34 概 率 0.3 0.4 0.2 0.1问 你 能 赶 上 这 列 火 车 的 概 率 是 多 少 ？4 用 蒙 特 卡 罗 方 法 求 积 分 8.13.0 /sin xdxxI 计 量 数 模 提 高 班 专 题 五Thank you!