信号与系统课件郑君里版第二章

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1、第 二 章 连 续 系 统 的 时 域 分 析微分方程的经典解法0+和0-初始值零输入响应与零状态响应冲激响应和阶跃响应卷积积分 2.1 LTI连 续 系 统 的 响 应一 、 微 分 方 程 的 经 典 解 微 分 方 程 的 经 典 解 ：y(t)(完 全 解 ) = yh(t)(齐 次 解 ) + yp(t)(特 解 ）齐 次 解 是 齐 次 微 分 方 程y h(t)的 函 数 形 式 由 上 述 微 分 方 程 的 特 征 根 确 定 。 特 解 的 函 数 形 式与 激 励 函 数 的 形 式 有 关 。 齐 次 解 的 函 数 形 式 仅 与 系 统 本 身 的 特 性 有 关

2、，而 与 激 励 f(t)数 形 式 无 关 ， 称 为 系 统 的 固 有 响 应或 自 由 响 应 ； 特 解 的 函 数 形 式 由 激 励 确 定 ， 称 为 强 迫 响 应 。 全 响 应 齐 次 解 (自 由 响 应 ) 特 解 (强 迫 响 应 )w 齐 次 解 ： 写 出 特 征 方 程 ， 求 出 特 征 根 （ 自 然 频 率 或 固 有 频 率 ） 。根 据 特 征 根 的 特 点 ， 齐 次 解 有 不 同 的 形 式 。 一 般 形 式 （ 无 重根 ） ：w 特 解 ： 根 据 输 入 信 号 的 形 式 有 对 应 特 解 的 形 式 ， 用 待 定 系 数 法确

3、 定 。 在 输 入 信 号 为 直 流 和 正 弦 信 号 时 ， 特 解 就 是 稳 态 解 。w 用 初 始 值 确 定 积 分 常 数 。 一 般 情 况 下 ， n 阶 方 程 有 n 个 常 数 ，可 用 个 n 初 始 值 确 定 。 ni tih ieCtr 1)( i 例 2.1.1描 述 某 系 统 的 微 分 方 程 为 y” (t) + 5y (t) + 6y(t) = f(t)， 求 （ 1） 当 f(t) = 2 ， t 0； y(0)=2， y (0)= -1时 的 全 解 ； （ 2） 当 f(t) = ， t 0； y(0)= 1，y (0)=0时 的 全 解

4、 。 te 2te解 : (1) 特 征 方 程 为 + 5 + 6 = 0 其 特 征 根 1= 2， 2= 3。齐 次 解 为 2 tth eCeCty 2221)( 由 表 2-2可 知 ， 当 f(t) = 2 时 ， 其 特 解 可 设 为tttt ePePePe 26)(5将 其 代 入 微 分 方 程 得解 得 P=1于 是 特 解 为全 解 为 ： tp ety )( tp Pety )( tttph eeCeCtytyty 3221)()()( te 其 中 待 定 常 数 C1,C2由 初 始 条 件 确 定 。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2， y (0) = 2

5、C1 3C2 1= 1解 得 C1 = 3 ， C2 = 2最 后 得 全 解 ttt eeety 32 23)( （ 2） 齐 次 解 同 上 。 当 激 励 f(t)= 时 ， 其 指 数 与 特 征 根 之 一 相 重 。 由 表 知 ： 其 特 解 为 yp(t) = (P1t + P0) 代 入 微 分 方 程 可 得 P1 =te 2所 以 P1= 1 但 P0不 能 求 得 。 全 解 为 te 2te 2 te 2 ttt tttt teeCePC ePteeCeCty 232201 2023221 )()( 将 初 始 条 件 代 入 ， 得 ： y(0) = (C1+P0)

6、 + C2=1 ， y (0)= 2(C1+P0) 3C2+1=0解 得 C1 + P0 = 2 C2= 1 最 后 得 微 分 方 程 的 全 解 为 上 式 第 一 项 的 系 数 C1+P0= 2， 不 能 区 分 C1和 P0， 因 而 也 不能 区 分 自 由 响 应 和 强 迫 响 应 。 ttt teeety 2322)( 二 、 关 于 0- 和 0+ 初 始 值 1、 0 状 态 和 0 状 态w 0 状 态 称 为 零 输 入 时 的 初 始 状 态 。 即 初 始 值 是 由 系 统 的 储能 产 生 的 ；w 0 状 态 称 为 加 入 输 入 后 的 初 始 状 态

7、。 即 初 始 值 不 仅 有 系 统的 储 能 ， 还 受 激 励 的 影 响 。 从 0 状 态 到 0 状 态 的 跃 变w 当 系 统 已 经 用 微 分 方 程 表 示 时 ， 系 统 的 初 始 值 从 0 状 态 到 0 状 态 有 没 有 跳 变 决 定 于 微 分 方 程 右 端 自 由 项 是 否 包 含 (t)及其 各 阶 导 数 。 w 如 果 包 含 有 (t)及 其 各 阶 导 数 ， 说 明 相 应 的 0 状 态 到 0 状 态发 生 了 跳 变 。0 状 态 的 确 定w 已 知 0 状 态 求 0 状 态 的 值 ， 可 用 冲 激 函 数 匹 配 法 。w

8、 求 0 状 态 的 值 还 可 以 用 拉 普 拉 斯 变 换 中 的 初 值 定 理 求 出 。各 种 响 应 用 初 始 值 确 定 积 分 常 数 在 经 典 法 求 全 响 应 的 积 分 常 数 时 ， 用 的 是 0 状 态 初 始 值 。 在 求 系 统 零 输 入 响 应 时 ， 用 的 是 0 状 态 初 始 值 。 在 求 系 统 零 状 态 响 应 时 ， 用 的 是 0 状 态 初 始 值 ， 这 时 的 零状 态 是 指 0 状 态 为 零 。 2、冲激函数匹配法 目 的 ： 用 来 求 解 初 始 值 ， 求 （ 0 ） 和 （ 0 ） 时 刻 值 的 关 系 。

9、 应 用 条 件 ： 如 果 微 分 方 程 右 边 包 含 （ t） 及 其 各 阶 导 数 ， 那 么 （ 0 ） 时 刻 的 值 不 一 定 等 于 （ 0 ） 时 刻 的 值 。 原 理 ： 利 用 t 0时 刻 方 程 两 边 的 （ t） 及 各 阶 导 数 应 该 平 衡 的 原 理 来 求 解 （ 0 ） )(.)()()(.)()( )1(210)(10 tbtbtbbtyatyatya mmnn m n， 则 设 0)(.)()(. )(.)()( )(.)()( )1( )( 12)2()1( 01)1()( tyty Cty CtCtCty CtCtCty mn mmn

10、 mmn mmn mn， 则 设 1)1( 12)2()1( 01)1()( .)()(. )(.)()( )(.)()( nnmm mmn mmn CtCty CtCtCty CtCtCty 将 y(t)及 其 各 阶 导 数 带 入 原 方 程 ， 求 出 C 0.Cm ;对 y(t)及 各 阶 导 数 求 （ 0 ， 0 ） 的 积 分 . 例 2.1.2： 描 述 某 系 统 的 微 分 方 程 为 y” (t) + 3y (t) + 2y(t) = 2f (t) + 6f(t)， 已 知 y(0-)=2， y (0-)= 0，f(t)=u(t)， 求 y(0+)和 y (0+)。解

11、： 将 输 入 f(t)=u(t)代 入 上 述 微 分 方 程 得 y” (t) + 3y (t) + 2y(t) = 2 (t) + 6u(t) 列 式 得 ： 0)()( )()( ty aty btaty 代 入 原 方 程 得 a=2， b=0 由 上 可 见 ， 当 微 分 方 程 等 号 右 端 含 有 冲 激 函 数 （ 及 其 各阶 导 数 ） 时 ， 响 应 y(t)及 其 各 阶 导 数 中 ， 有 些 在 t=0处 将 发 生跃 变 。 但 如 果 右 端 不 含 时 ， 则 不 会 跃 变 。 20)0()0( 22)0()0( yy yy 0)0()0( 2)0()

12、0( yy yy从 0-到 0+积 分 得 ： 0)( 2)( 0)(2)( ty ty tty 得 ： 三 、 零 输 入 响 应 和 零 状 态 响 应1、 定 义 ：（ 1） 零 输 入 响 应 ： 没 有 外 加 激 励 信 号 的 作 用 ， 只 有 起 始状 态 所 产 生 的 响 应 。（ 2） 零 状 态 响 应 ： 不 考 虑 起 始 时 刻 系 统 储 能 的 作 用 ， 由系 统 外 加 激 励 信 号 所 产 生 的 响 应 。 LTI的 全 响 应 ： y(t) = y x(t) + yf(t) 2、 零 输 入 响 应（ 1） 即 求 解 对 应 齐 次 微 分 方

13、 程 的 解 特 征 方 程 的 根 为 n个 单 根 当 特 征 方 程 的 根 (特 征 根 )为 n个 单 根 (不 论 实 根 、虚 根 、 复 数 根 ) 1， 2， ， n时 ， 则 yx(t)的 通 解表 达 式 为 tnttx neCeCeCty .)( 21 21 特 征 方 程 的 根 为 n重 根 当 特 征 方 程 的 根 (特 征 根 )为 n个 重 根 (不 论 实 根 、虚 根 、 复 数 根 ) 1= 2= n时 ， yx(t)的 通 解 表 达 式为 : tnnttx netCteCeCty 121 .)( 21 （ 2） 求 yx(t)的 基 本 步 骤 求

14、 系 统 的 特 征 根 ， 写 出 yx(t)的 通 解 表 达 式 。 将 确 定 出 的 积 分 常 数 C1， C2， ， Cn代 入 通 解 表 达 式 ，即 得 y x(t)。 由 于 激 励 为 零 ， 所 以 零 输 入 的 初 始 值 ： 确 定 积 分 常 数 C1， C2， ， Cn)0()0( )()( ixix yy 3、 零 状 态 响 应（ 1） 即 求 解 对 应 非 齐 次 微 分 方 程 的 解（ 2） 求 yf(t)的 基 本 步 骤 求 系 统 的 特 征 根 ， 写 出 的 通 解 表 达 式 yfh(t)。 根 据 f(t)的 形 式 ， 确 定 特

15、 解 形 式 ， 代 入 方 程 解 得 特 解 yfp(t) 将 确 定 出 的 积 分 常 数 C1， C2， ， Cn代 入 全 解 表 达 式 ，即 得 。 求 全 解 ， 若 方 程 右 边 有 冲 激 函 数 （ 及 其 各 阶 导 数 ） 时 ，根 据 冲 激 函 数 匹 配 法 求 得 ， 确 定 积 分 常 数 C1，C2， ， Cn )0( )( ify 几 种 典 型 自 由 项 函 数 相 应 的 特 解 例 2.1.3： 描 述 某 系 统 的 微 分 方 程 为 y” (t) + 3y (t) + 2y(t) = 2f (t) + 6f(t),已 知 y(0-)=2

16、， y (0-)=0，f(t)=u(t)。 求 该 系 统 的 全 响 应 ， 零 输 入 响 应 和 零 状 态 响 应 。 解 ： （ 1）y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6u(t) 利 用 系 数 匹 配 法 分 析 列 式 得 ： y (t)=a (t) +b， y (t)=a ， y(t)=0 代 入 原 方 程 得 a=2， b=0 20)0()0( 22)0()0( yy yy 根 据 微 分 方 程 经 典 求 法 ：齐 次 解 ： 齐 次 解 形 式 为 ：特 解 ,根 据 特 解 形 式 得 到 : 解 得 B 3 解 得 全 响 应 为 ：

17、022 tth eCeCty 221)( Btyp )( 3)( 221 tt eCeCty 利 用 初 始 值 解 得 ：全 响 应 为 ： 0121 CC 3)( 2 tety 瞬 态 分 量 稳 态 分 量 （ 2） 零 输 入 响 应 yx(t), 激 励 为 0 ， yx(0+)= yx(0-)= y(0-)=2 yx (0+)= yx (0-)= y (0-)=0根 据 特 征 根 求 得 通 解 为 ： ttx eCeCty 221)(42 21 CC 解 得 系 数 为 代 入 得 0,42)( 2 teety ttx （ 3） 零 状 态 响 应 yf(t) 满 足 y”(t

18、) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6u(t) 利 用 系 数 匹 配 法 解 得 ： 00)0()0( 22)0()0( ff ff yy yy 对 t0时 ， 有 yf” (t) + 3yf (t) + 2yf(t) = 6其 齐 次 解 为 其 特 解 为 常 数 3 ，于 是 有根 据 初 始 值 求 得 : 41 21 CC tftffh eCeCty 221)( 3)( 221 tftff eCeCty 034)( 2 teety ttf， 自 由 响 应 强 迫 响 应(Natural+forced)零 输 入 响 应 零 状 态 响 应(Zero-input+

19、Zero-state)暂 态 响 应 +稳 态 响 应(Transient+Steady-state)四 系 统 响 应 划 分 相 互 关 系 零 输 入 响 应 是 自 由 响 应 的 一 部 分 ， 零 状 态 响 应 有 自 由 响应 的 一 部 分 和 强 迫 响 应 构 成 。 0)34()42()()( 3)( 222 teeeetyty ety ttttfx t，自由响应强迫响应零输入响应零状态响应 H t th一 冲 激 响 应 1 定 义 系 统 在 单 位 冲 激 信 号 (t) 作 用 下 产 生 的 零 状 态 响应 ， 称 为 单 位 冲 激 响 应 ， 简 称 冲

20、 激 响 应 ， 一 般 用 h(t)表示 。 2.2 冲 激 响 应 和 阶 跃 响 应 例 2.2.1 描 述 某 系 统 的 微 分 方 程 为 y” (t)+5y (t)+6y(t)=f(t)求 其 冲 激 响 应 h(t)。解 ： 根 据 h(t)的 定 义 有 h” (t) + 5h (t) + 6h(t) = (t) h (0-) = h(0-) = 0， 利 用 冲 激 函 数 匹 配 法 ， 设 ： h”(t) =a (t)+b h(t) =a h(t) =0 解 得 ： a=1, b=-5 h(0+)=h(0-)=0 h (0+) =1 + h (0-) = 1 微 分 方

21、 程 的 特 征 根 为故 系 统 的 冲 激 响 应 为代 入 初 始 条 件 求 得 C1=1,C2=-1, 所 以3221 )()()( 3221 tueCeCth tt )()()( 32 tueeth tt 对 t0时 ， h” (t) + 5h (t) + 6h(t) = 0， 故 系 统 的 冲 激 响 应为 齐 次 解 。 例 2.2.2 描 述 某 系 统 的 微 分 方 程 为 y” (t)+5y (t)+6y(t)= f” (t) + 2f (t) + 3f(t)， 求 其 冲 激 响 应 h(t)。解 ： 根 据 h(t)的 定 义 有h” (t) + 5h (t) +

22、 6h(t) = ” (t)+ 2 (t)+3 (t) (1)h (0-) = h(0-) = 0先 求 h (0+)和 h (0-)， 根 据 冲 激 函 数 匹 配 法 得 ： h” (t) = a ” (t) +b (t) +c (t)+ d h (t) = a (t) +b (t) + c h(t) = a (t) + b带 入 方 程 求 得 ： a =1 ， b = - 3， c = 12， d=-42 故 h(0+) = 3， h (0+) =12对 t0时 ， 有 h” (t) + 6h (t) + 5h(t) = 0微 分 方 程 的 特 征 根 为故 系 统 的 冲 激 响

23、 应 为 3221 )()()( 3221 tueCeCth tt 所 以 : h(t) = (t) + b h (t) = (t) - 3 (t) + c h” (t) = ” (t) - 3 (t) + 12 (t)+ d 代 入 初 始 条 件 h(0+) = 3， h (0+) =12求 得 C1=3， C2= 6, 所 以结 合 式 h(t) = (t) + b得 : )()63()( 32 tueeth tt )()63()()( 32 tueetth tt 系 统 的 输 入 e(t)=u(t) ， 其 响 应 为 r(t)=g(t) 。 系 统 方 程的 右 端 将 包 含 阶

24、 跃 函 数 u(t) ， 所 以 除 了 齐 次 解 外 ， 还 有 特 解 项 。 我 们 也 可 以 根 据 线 性 时 不 变 系 统 特 性 ， 利 用 冲 激 响 应 与 阶跃 响 应 关 系 求 阶 跃 响 应 。 二 阶 跃 响 应1 定 义 系 统 在 单 位 阶 跃 信 号 作 用 下 的 零 状 态 响 应 ， 称 为 单 位 阶 跃 响应 ， 简 称 阶 跃 响 应 ， 一 般 用 g(t)表 示 。H tu tg tt 0,对因果系统：积分，注意积分限：阶跃响应是冲激响应的2 阶 跃 响 应 与 冲 激 响 应 的 关 系线 性 时 不 变 系 统 满 足 微 、 积

25、 分 特 性 t tttu d)()( t tthtg d)()( 解 ： s由 1转 向 2后 ，列 写 回 路 方 程 ： R1 i(t)+vc(t)=e(t) vc(t)=L i L(t)+iL(t)R2列 写 结 点 方 程 ： i(t)=Cv c(t)+iL(t)例 2.2.4电 路 如 图 所 示 ， 求 电 流 i(t)对 激 励 e(t)=u(t)的 阶跃 响 应 ， t 0时 ， s由 1转 向 2。 整 理 得 到 ：i (t)+7i (t)+10i(t)=e (t)+6e (t)+e(t)阶 跃 响 应 满 足 ： )(4)(6)()(10)(7)( tutttgtgtg

26、 g(0+)=g(0-)=0 ,得0,)( 5221 tBeAeAtg tt 特 解 B代 入 得 ： 10B 4， B 2/5利 用 冲 激 函 数 匹 配 法 求 解 初 始 值 ，所 以 ： a=1,b=-1,c=1 得 ： g(0+)=g(0-)+1=1 g (0+)=g (0-)-1=-1得 到 ： A1+A2+2/5=1 -2A1-5A2=-1 解 得 ： A1=2/3, A2=-1/15得 ： )(5/2)15/1()3/2()( 52 tueetg tt 2.3 卷 积 积 分一 、 信 号 的 时 域 分 解1、 任 意 信 号 的 分 解 dtf ktkftftf nka

27、)()( )()()()( 10 )1()()()()( 10 ktuktukftftf nka )()( dthftyf2、 任 意 信 号 作 用 下 的 零 状 态 响 应3、 卷 积 积 分（ 1） 定 义 ： 已 知 定 义 在 区 间 （ ， ） 上 的 两 个函 数 f1(t)和 f2(t)， 则 定 义 积 分 21 )()( dtfftf tftftf 21)( )(*)()()( thtfdthftyf 记 为 ：任 意 信 号 的 零 状 态 响 应 即 为 ：（ 2） 卷 积 积 分 的 求 解 例 2.3.1求 卷 积 ： )()( tutue t dtuuetutu

28、e t )()()()( - )0( 1 0 te t )( 11 tue t 解 ： det 0 )(2 )(16 )()(*)()( dtuee dthfthtfty tf例 2.3.2：解 ： )( ),()16()(),(,)( 2ty tuethtetf f tt求 t tf deety )(2 16)( ttttt eeee 32 2 （ b） 卷 积 积 分 的 图 解 ：卷 积 过 程 可 分 解 为 四 步 ：（ 1） 换 元 ： t换 为 得 f1( )， f2( )（ 2） 反 转 平 移 ： 由 f2( )反 转 f2( )右 移 t f2(t- )（ 3） 乘 积 ：

29、 f1( ) f2(t- )（ 4） 积 分 ： 从 到 对 乘 积 项 积 分 。 例 2.3.3 f (t) ,h(t) 如 图 所 示 ， 求 yf(t)= h(t) * f (t) 。 解 ： 例 2.3.4： f1(t)、 f2(t)如 图 所 示 ， 已 知 f(t) = f2(t)* f1(t)， 求 f(2) . 解 ： 1221 )2()()()()2( dfftftfy 三 、 卷 积 积 分 的 性 质1、 卷 积 的 代 数 性 质w交 换 律 ： 1(t)2(t)=2(t)1(t)w分 配 律 ：1(t)2(t)+3(t)=1(t)2(t)+1(t)3(t)w结 合

30、律 ： 1(t)2(t)3(t)=1(t)2(t)3(t) 2、 主 要 性 质 ：w 微 分 性 质 ： )()()()()( 2121 tftftftftf )()()()()( 2)1(1)1(21)1( tftftftftf w 积 分 性 质 ： )()()()()( )1(212)1(1 tftftftftf w 微 积 分 性 质 ：注 ： 应 用 (1),(3) 性 质 的 条 件 是 )()( 11 tfdft 必 须 成 立0)()(lim 11 ftft即 必 须 有 ； 否 则 不 能 应 用 。)()()()( )()()( )()()( )1(2121 )(2)(1

31、)( 21 tftftftf tftftf tftftf jiji 特例：若 f(t)与 阶 跃 函 数 的 卷 积 ： dftutf t )()()( f(t)与 冲 激 函 数 的 卷 积 ： (t)(t)=f(t) (t)(t-t0)= (t-t0) (t-t1)(t-t2)= (t-t1-t2) (t-t1)(t-t2)= (t-t1-t2)f(t)与 冲 激 偶 函 数 的 卷 积 ： (t)(t)= f(t)(t)= (t) (t)(t)=(t) dfdtfttutf ttt )()()()( 000 时 移 性 质若 1(t)2(t)=(t)，则 有 1(t-t1)2(t-t2)

32、=(t-t1-t2) 利 用 卷 积 积 分 的 性 质 来 计 算 卷 积 积 分 ， 可 使 卷 积 积 分 的 计 算 大 大 简 化 ， 下 面 举 例 说 明 。 例 2.3.6 计 算 下 列 卷 积 积 分 ： )2()1()2( )2()1()1( tttu tutu 解 ：(1) 先 计 算 u(t)*u(t)。 因 为 u(- )=0， 故 可 应 用 卷 积 运 算 的微 积 分 性 质 求 得 根 据 时 移 特 性 得 )()()( ttututu )1()1()2()1( tuttutu (2) 利 用 卷 积 运 算 的 分 配 律 和 时 移 性 质 ， 可 将

33、 给 定 的 卷 积 计算 式 表 示 为 )()()*()()( ttttutttu )3()3()2()1( tttttu 3)()()()( )2()1()1()2()1( )2()1()1()1( )2()1( tttttuttu ttutttu ttuttu tttu )()(*)()()( tttuttu 例 2.3.7： 解 ： 通 常 复 杂 函 数 放 前 面 ， 代 入 定 义 式 得 )(*)(),()(,1)( 2121 tftftuetftf t求 1 )()(*)( 0 012 e deduetftf注 意 ： 套 用显 然 是 错 误 的 。 0)(*0)(*)(

34、)(*)( )1(2)1(2121 tftftftftf 例 2.3.8求 图 所 示 两 函 数 的 卷 积 积 分 。 t tfdftftfty )()()()()( 2121 解 ： t tttde0 )3()1(3)(22 = )3()1(3)(2)()22( ttttUe t = )3(22)1(223)()22(2 )3()1( tUetUetUe ttt= 例 2.3.9已 知 求 f1(t) 。 解 : 将 原 式 等 号 两 端 同 时 求 一 阶 导 数 得 )1(1)()1()(*)( )1(1 tuetuetuetf ttt 本 章 总 结 ：1、 LTI连 续 系 统

35、 的 响 应 ：全 响 应 齐 次 解 (自 由 响 应 ) 特 解 (强 迫 响 应 )2、 关 于 0-和 0+初 始 值 当 系 统 已 经 用 微 分 方 程 表 示 时 ， 如 果 包 含 有 (t)及 其 各 阶 导 数 ，说 明 相 应 的 0 状 态 到 0 状 态 发 生 了 跳 变 。 冲 激 函 数 匹 配 法 : mi mmn mmn Cty CtCtCty CtCtCty )( )(.)()( )(.)()()( 12)2()1( 01)1()( 3、 零 输 入 响 应 和 零 状 态 响 应 y(t) = yx(t) + yf(t) 自 由 响 应 强 迫 响 应

36、 ； 暂 态 响 应 +稳 态 响 应 ； 零 输 入 响 应 零状 态 响 应4、 冲 激 响 应 和 阶 跃 响 应5、 卷 积 积 分 卷 积 过 程 可 分 解 为 四 步 ： （ 1） 换 元 ： t换 为 得 f1( )， f2( ) （ 2） 反 转 平 移 ： 由 f2( )反 转 f2( )右 移 t f2(t- ) （ 3） 乘 积 ： f1( ) f2(t- ) （ 4） 积 分 ： 从 到 对 乘 积 项 积 分 。 6、 卷 积 积 分 的 性 质 dtffdtfftftftftf )()()()()(*)()(*)( 12211221 )(*)()(*)()()(*)( 3121321 tftftftftftftf dftfdftfdff ttt )()()()(* 1221211(t)2(t)3(t)=1(t)2(t)3(t) dttdftfdttdftftftfdtd )()()()()()( 122121 )( tft）t）f )( )( tft）tft）t）f dft）Ut）f t )( )( 212211 TTty）Ttf）Ttf