统计推断中常用的三个分布

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1、第 二 节 、 统 计 推 断 中 常 用 的三 个 分 布 一 、 分 布 2自 由 度 为 v的 分 布 的 概 率 密 度 为 （ 图 6.1） 2 1 - 2 22 1 e , 02 ( 2) 0 0.xx xf x x 若 ， 若 图 6.1 分 布 曲 线O xkf (x) v 2 V2 1、 分 布 的 数 字 特 征 ： EX=v, DX=2v 22、 变 量 的 典 型 模 式 独 立 标 准 正 态 随 机 变 量 的 平 方2 2和 服 从 分 布 ： 设 U1, U2 ,Uv是 相 互 独 立 的 标 准 正 态随 机 变 量 ， 则 随 机 变 量 服 从 自 由 度

2、 为 v的 分 布 自 由 度 v恰 好 是 形 成 变 量 2 2的 标 准 正 态 随 机 变 量 的 个 数 23. 变 量 可 加 性 2 2 2 21 2 1 2, , , ,m m 为 则2 2 21 2, , , m 若 相 互 独 立 ,且 都 服 从2应分 布 ,自 由 度 相 21 2 .m 从为服 自 由 度 的 分 布 分 布 的 分 位 数 统 计 推 断 常 要 用 到 4、 2 2分 布 的 上 侧 分 位 数 以 2, 表 示 自 由 度 为 v的 2 分 布 水 平 为 上 侧 分 位 数 (图 6.1)， 它 决 定 于如 下 等 式 ： 2,2 P附 表

3、5是 上 侧 分 位 数 2, 的 数 值 表 例 6.8 假 设 随 机 变 量 X服 从 自 由 度 为 n的 2分 布 ， 求 EX和 DX 解 设 U1, U2 ,Un是 独 立 标 准 正 态 分 布 随 机 变 量 ， 则服 从 自 由 度 为 n的 2 分 布 的 随 机 变 量 X可 以 表 示 为 ： 22221 nUUUX 2 (0,1) 0, 1( 1,2, , )i i i iU N U U U i n E D E 由 于 ， 可33de23e21de21 22223244 222 iuuui UuuuuuU EE 由 此 可 见 nUnX 21EE 2 4 2 21

4、3 ( 1) ( 2)n i i ji i jX U U U n n n n n E E E E；2 2 2 2( ) 2 2X X X n n n n D E E于 是 nXnX 2 DE ， 二 、 t 分 布 自 由 度 为 v的 t分 布 的 概 率 密 度 为 （ 图 6.2） )( 122 1)( 21 2 xxxf - O (x)f(x)2 ,t ,t 2 由 图 6.2可 见 t分 布 亦 称 “ 学 生 ” 分 布 t分 布 曲 线 与 标 准 正 态密 度 (x)曲 线 非 常 接 近 1、 t 分 布 数 字 特 征 )2( 2)1( 0 XX DE，2、 t 变 量 的

5、 典 型 模 式 设 变 量 UN(0,1)， 2 是 服 从 自 由 度为 V的 2 分 布 变 量 ， 且 与 U独 立 ， 则 随 机 变 量 2Ut 服 从 自 由 度 为 v的 t分 布 3、 t 分 布 的 分 位 数 自 由 度 为 的 分 布 水 平 双 侧 分 位 数 ,t （ 附 表 4） 决 定 于 ,| ttP其 中 t表 示 服 从 自 由 度 为 v的 t分 布 的 随 机 变 量 4、 t 分 布 的 极 限 分 布 当 自 由 度 v时 t分 布 的 极 限 分 布是 标 准 正 态 分 布 实 际 应 用 中 ， 当 v30时 即 可 用 标 准正 态 分 布

6、 逼 近 t分 布 例 6.10 设 随 机 变 量 X， Y 1 ， Y2相 互 独 立 且 都 服 从 标 准 正 态分 布 ， 求 随 机 变 量 22212 YY XZ 的 概 率 分 布 解 由 条 件 知 X， Y1 ， Y2相 互 独 立 且 都 服 从 标 准 正 态 分 布 随 机 变 量 22212 YY 作 为 两 个 独 立 标 准 正 态 随 机 变 量 的 平 方 和 ， 服 从 自 由 度为 2的 2 分 布 因 为 22 22221 XYY XZ 其 中 1 (0 1)X N（）、， 2 22 2 . （ ） 、 服 从 自 由 度 为 的 分 布2 2 21

7、23 X .Y Y （ ） 、 和 相 互 立所 以 由 服 从 t分 布 的 随 机 变 量 的 典 型 模 式 知 ， 随 机 变 量z服 从 自 由 度 为 2的 t分 布 独 三 、 F 分 布 自 由 度 为 (f1 , f2 )的 F分 布 的 概 率 密 度 为 （ 图 6.3） 1 ( )1 2 2 1( ) , 0B , 0 0,m n m m nf f x f f x xm nf x x 若 ， ， 若其 中 m= f1 /2,n= f2 /2 F分 布 亦 称 方 差 比 分 布 ， 因 为 方 差 相 等 的 两 个 正 态 总 体的 样 本 方 差 之 比 服 从 F

8、分 布 （ 参 见 6.3.3） ， 其 两 个 参数 (f 1 , f2 ) ， 分 别 称 做 第 一 自 由 度 和 第 二 自 由 度 1、 F 变 量 的 典 型 模 式 设 随 机 变 量 2 21 2 和相 互 独 立 ， 都 服 从 2 分 布 ， 自 由 度 分 别 为 f1 和 f2, 则 随 机 变 量 222 121 ffF 图 6.3 分 布 曲 线 和 分 位 数 xOf (x) u v 1 1 2 1 2, ,u F f f F f f .v 服 从 F分 布 ， 自 由 度 为 (f1 , f2 ) ， 故 f1 和 f2亦 分 别 称 做 分 子自 由 度 和

9、 分 母 自 由 度 2、 F 变 量 的 倒 数 由 (6.22)式 容 易 证 明 ， 若 变 量 F服 从 自 由度 为 (f1 , f2 )的 F分 布 ， 则 1/F服 从 自 由 度 为 (f2 , f1)的 F分 布 3、 F 分 布 的 分 位 数 附 表 6是 F分 布 的 上 侧 分 位 数 表 自 由度 为 (f1 , f2 )的 F分 布 水 平 上 侧 分 位 数 f (f1 , f2 )的 数 值 表 ，其 中 f (f1 , f2 )决 定 于 ： ),( 21 ffFFP而 F表 示 服 从 自 由 度 为 的 F分 布 的 随 机 变 量 对 于 不 同 的

10、自由 度 和 0.50， 可 以 利 用 如 下 关 系 式 求 出 分 位 数 ： ),( 1),( 12211 ffFffF 例 6.11 设 随 机 变 量 X服 从 的 t分 布 ， 求 2XY 的 概 率 分 布 解 服 从 自 由 度 为 f的 t分 布 的 随 机 变 量 X， 可 以 表 示 为fUX 2其 中 U服 从 标 准 正 态 分 布 ， 分 母 中 2 服 从 自 由 度 为f 的 2 分 布 ， 而 且 U和 2 相 互 独 立 由 于 2U服 从 自 由 度 为 1的 2 分 布 ， 因 此 由 服 从 F分 布 随 机变 量 的 典 型 模 式 ， 知 随 机 变 量 2XY 服 从 自 由 度 为 (1,f)的 F分 布