信号谱分析论文-信号谱模型分析和实验检测

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1、信号谱分析课程论文中 国 地 质 大 学研究生课程论文课程名称 信号谱分析 教师姓名 * 研究生姓名 * 研究生学号 * 研究生专业 数 学 所在院系 数学与物理学院 类别: B.硕士 日期: 2016 年 1 月 5日 评 语对课程论文的评语:平时成绩：课程论文成绩：总 成 绩：评阅人签名：注：1、无评阅人签名成绩无效；2、必须用钢笔或圆珠笔批阅，用铅笔阅卷无效；3、如有平时成绩，必须在上面评分表中标出，并计算入总成绩。目录摘 要4一、发展背景5二、基本知识5三、主要模型83.1 自回归AR( p) 模型83.2 移动平均MA( q) 模型83.3 自回归移动平均ARMA( p, q)模型9

2、3.4 自回归综合移动平均ARIMA( p, d, q) 模型103.5 主要模型总结11四、模型预测134.1 平稳时间序列模型预测134.2 非线性时间序列模型预测14五、Matlab编程实现15六、总结19参考文献20附录21摘 要本文主要介绍了信号谱分析的一些常用基本理论和方法，并对几种常用的具体的模型进行分析和实验检测。信号谱分析是统计学中的一个非常重要的分支，是以概率论与数理统计为基础，计算机应用为技术支撑，迅速发展起来的一种应用性很强的科学方法。时间序列是变量按时间间隔的顺序而形成的随机变量序列，大量自然界，社会经济等领域的统计指标都依年，季，月或日统计其指标值，随着时间的推移，

3、形成了统计指标的时间序列，在金融经济、气象水文、信号处理、机械振动等众多领域有着广泛的应用。 本文以时间序列的线性模型和平稳序列的谱分析为主线，介绍时间序列的基本知识、常用模型（主要是AR模型和ARMA模型）和预测方法。在内容上强调平稳序列的频率特性，注重解释功率谱的统计含义。同时还对估计方法做了随机模拟计算，并介绍了随机模拟的基本方法。关键词：时间序列、AR模型、MA模型、ARMA 模型 一、发展背景早期的时间序列分析通常都是通过直观的数据比较或绘图观测,寻找序列中蕴含的发展规律,这种分析方法就称为描述性时序分析。古埃及人发现尼罗河泛滥的规律就是依靠这种分析方法。但随着研究领域的不断拓广,在

4、很多研究领域中随机变量的发展通常会呈现出非常强的随机性,人们发现依靠单纯的描述性时序分析已不能准确地寻找出随机变量发展变化的规律,为了更准确地估计随机序列发展变化的规律,从20世纪20年代开始,学术界利用数理统计学原理分析时间序列,研究的重心从表面现象的总结转移到分析序列值内在的相关关系上,由此开辟了一门应用统计学科时间序列分析。时间序列分析方法最早起源于1927 年数学家Yule 提出建立自回归模型( AR 模型) 来预测市场变化的规律。1931 年, 另一位数学家在AR 模型的启发下, 建立了移动平均模型( MA 模型) , 初步奠定了时间序列分析方法的基础。20 世纪60 年代后, 时间

5、序列分析方法迈上了一个新的台阶, 在工程领域方面的应用非常广泛。近几年, 随着计算机技术和信号处理技术的迅速发展, 时间序列分析理论和方法更趋完善。二、基本知识1、定义:即有大量的数据是按照时间顺序排列的，用数学方法来表述就是使用一组随机序列表示随机事件的时间序列，简记为。时间序列的一个显著特征就是记录的相依性。2、组成要素：趋势、季节变动、循环波动和不规则波动。趋势：是时间序列在长时期内呈现出来的持续向上或持续向下的变动。季节变动：是时间序列在一年内重复出现的周期性波动。它是诸如气候条件、生产条件、节假日或人们的风俗习惯等各种因素影响的结果。循环波动：是时间序列呈现出得非固定长度的周期性变动

6、。循环波动的周期可能会持续一段时间，但与趋势不同，它不是朝着单一方向的持续变动，而是涨落相同的交替波动。不规则波动：是时间序列中除去趋势、季节变动和周期波动之后的随机波动。不规则波动通常总是夹杂在时间序列中，致使时间序列产生一种波浪形或震荡式的变动。只含有随机波动的序列也称为平稳序列。3、平稳性：如果对时间序列满足：(1) 对任何的；(2) 对任何的；(3) 对任何的，就称是平稳时间序列，简称平稳序列。称实数列为的自协方差函数。4、随机过程：随机过程是概率空间上的一族随机变量,其中是参数，它属于某个指标集，称为参数集。Kolmogorv定理则是指若分布函数族满足对称性与相容性，则存在随机过程恰

7、好是的有限维分布族。5、平稳过程的特征及遍历性：设是一个取复数值的随机过程，其中指标集为整数或实数全体（分别称为离散指标和连续指标）。如果对任意的自然数及任意的的概率分布与的概率分布相同，则称为严平稳过程。如果二阶绝对矩，而且对任意的,均值（见数学期望）为常数，协方差（与无关），则称为宽平稳过程。称为的协方差函数。一个严平稳过程，如果它的二阶矩有穷，则一定也是宽平稳的（见矩）。设为一平稳过程，若或者，则称的均值有遍历性。6、线性差分方程：假定当前时期期的和另一个变量，及前一期的之间存在如下动态方程：，则此方程成为一阶线性差分方程。若动态系统中输出依赖于它的期滞后值以及输入变量：，则此方程称为阶

8、差分方程。7、数据的预处理：主要介绍时间序列数据的预处理。该预处理包括平稳性检验，正态性检验，独立性检验以及离群点的检验与处理。平稳性检验包括参数检验法，非参数检验法以及时序图检验法。独立性检验则主要有一个Bartlett公式需要注意一下。8、分类：时间序列按照平稳性来分，可以分为平稳序列和非平稳序列两大类。平稳序列中的各观察值基本上在某个固定的水平上波动，虽然在不同的时间段波动的程度不同，但不存在某种规律，而其波动可以看成是随机的。 非平稳序列包含趋势性、季节性或周期性的序列，可能含其中的一种成份，也可能是几种成份的组合。按照连续性来分，时间序列一般分为两类：一类是离散型的，一类是连续型的。

9、然而，为了研究和叙述的方便，我们考察的时间序列都是离散型随机过程和时间序列，即观测值是从相同时间间隔点上得到的。离散型时间序列可通过两种方法获得：一种是抽样于连续变化的序列，另一种是计算一定时间间隔内的累积值。时间序列分析的主要任务就是对时间序列的观测样本建立尽可能合适的统计模型，从而对相关的问题的预测，控制和诊断提供帮助。9、特点：时间序列的特点为任何时间序列形式都由时间和观察值两个基本要素组成。大量时间序列的观测样本都表现出趋势性、季节性和随机性，或者只表现出三者之中的其二或者其一。时间序列模型分为：自回归过程，移动平均过程和自回归移动平均过程。这三个过程在课程总结中都有概括。10、建模步

10、骤：时间序列建模基本步骤为：用观测、调查、统计、抽样等方法取得被观测系统时间序 列动态数据。根据动态数据作相关图，进行相关分析，求自相关函数。相关图能显示出变 化的趋势和周期，并能发现跳点和拐点。跳点是指与其他数据不一致的观测值。如果跳点是 正确的观测值,在建模时应考虑进去,如果是反常现象，则应把跳点调整到期望值。拐点则是 指时间序列从上升趋势突然变为下降趋势的点。如果存在拐点，则在建模时必须用不同的模 型去分段拟合该时间序列，例如采用门限回归模型。辨识合适的随机模型,进行曲线拟合, 即用通用随机模型去拟合时间序列的观测数据。对于短的或简单的时间序列，可用趋势模型 和季节模型加上误差来进行拟合

11、。对于平稳时间序列，可用通用 ARMA 模型（自回归滑动，平均模型）及其特殊情况的自回归模型、滑动平均模型或组合-ARMA 模型等来进行拟合。当观测值多于50 个时一般都采用 ARMA 模型。对于非平稳时间序列则要先将观测到的时间 序列进行差分运算，化为平稳时间序列，再用适当模型去拟合这个差分序列。时间序列分析主要用于：系统描述。根据对系统进行观测得到的时间序列数据，用曲 线拟合方法对系统进行客观的描述。系统分析。当观测值取自两个以上变量时，可用一个时间序列中的变化去说明另一个时间序列中的变化，从而深入了解给定时间序列产生的机理。预测未来。一般用 ARMA 模型拟合时间序列，预测该时间序列未来

12、值。决策和控制。根据时间序列模型可调整输入变量使系统发展过程保持在目标值上， 即预测到过程要偏离目标时便可进行必要的控制。 三、主要模型总结时间序列模型主要大致分为自回归模型（AR模型）和自回归滑动平均模型（ARMA模型）两大类。前者以其滞后变量为依据，推算其未来值，后者是以过去的误差项为依据，推算其未来值。有时需两者并用，便产生自回归移动平均模型。3.1 自回归AR( p) 模型仅通过时间序列变量的自身历史观测值来反映有关因素对预测目标的影响和作用, 不受模型变量相互独立的假设条件约束, 所构成的模型可以消除普通回归预测方法中由于自变量选择、多重共线性等造成的困难。“自回归过程AR(p)”主

13、要介绍自回归过程AR(p)。为零均值平稳序列，满足如下差分方程： 其中，为的依赖程度，为白噪声序列，满足，则称满足一阶自回归模型，常记做AR（1）。另外，如果与过去时期直到t-p期的自身取值相关，则需要使用包含在内的p阶自回归AR(P)模型的一般形式为 (1.1)这里说明当前期的随机干扰与过去的序列值无关。 (1.2)在AR模型中，序列的当前值由序列的当前值和序列的前一个长度为M的窗口内序列值决定。自回归过程是一个变量在时间的某一点的变化，相对于前期的变化是线性的。一般来说相关性随着时间呈指数下降，且在比较短的周期内消失。3.2 移动平均MA( q) 模型用过去各个时期的随机干扰或预测误差的线

14、性组合来表达当前预测值。AR( p) 的假设条件不满足时可以考虑用此形式。“移动平均过程MA(q)”主要介绍移动平均过程，即MA(q)。有些情况下，序列的记忆是关于过去外部干扰的记忆。在这种情况下，可以表示成过去干扰值和现在干扰值的线性组合，此类模型常称为序列的移动平均模型。如果一个随机过程可用下式表示。其中，是回归参数，是白噪声过程，满足则上式称为q阶移动平均模型，记为。 (1.3)这个式子说明序列的当前值由序列从当前值前推长度为N的窗口内序列值决定。在平均移动模型（MA）中，时间序列是一种未观测到的时间序列的平均移动的结果，如下： (1.4)e 为一个独立同分布的随即变量，c 为常数，且

15、c 1。在平均移动参数c上的限制保证了过程是可以转换的。表明未来事件不太可能影响现在的事件，而且此过程是稳定的；对于e的限制，如同 AR 过程中的e，是一个具有零均值和方差为r 的独立同分布随机变量。已观测到的时间序列C 是未来观测到随机时间序列平均移动的结果。由于平均移动过程，所有过去和短期记忆的结果存在一个线性的依赖。3.3 自回归移动平均ARMA( p, q)模型模型使用两个多项式的比率近似一个较长的AR 多项式, 即其中p+ q 个数比AR( p) 模型中阶数p 小。前二种模型分别是该种模型的特例。一个ARMA 过程可能是AR 与MA 过程、几个AR 过程、AR 与ARMA 过程的迭加

16、, 也可能是测度误差较大的AR 过程。“自回归移动平均过程ARMA(p,q)”主要介绍自回归移动平均过程。如果序列的当前值不仅与自身的过去值有关，而且还与其以前进入系统的外部干扰存在一定依存关系，则在用模型刻画这种动态特征时，模型中既包括自身的滞后项，也包括过去的外部干扰，这种模型叫做自回归滑动平均模型，即ARMA(p,q)模型。当表示为即为ARMA(p,q)模型的传递形式，或的Wold分解，称为Green函数，或Wold系数。称为ARMA(p,q)模型的逆转形式，称为模型的逆函数。ARMA由AR和MA两个部分组成，形式如下: （1.4）在ARMA模型中，序列的当前值由序列的当前值从当前值前推

17、长度为N的窗口内序列值以及序列的前一个长度为M的窗口内序列值一起决定。在自回归移动平均模型中，既存在自回归项，又有平均移动项： （1.5）此模型属于混合模型，称为 ARMA( p ，q)。p 为自回归项的个数，q为平均移动项的个数。对于一个 ARMA(2，0)过程，和 AR(2)一样，而一个 ARMA(0，2)过程又和 MA(2)一样，但是 ARMA 还是一个无记忆的过程。3.4 自回归综合移动平均ARIMA( p, d, q) 模型模型形式类似ARMA( p, q) 模型, 但数据必须经过特殊处理。特别当线性时间序列非平稳时, 不能直接利用ARMA( p, q) 模型, 但可以利用有限阶差分

18、使非平稳时间序列平稳化, 实际应用中d 一般不超过2。若时间序列存在周期性波动, 则可按时间周期进行差分, 目的是将随机误差有长久影响的时间序列变成仅有暂时影响的时间序列。即差分处理后新序列符合ARMA( p, q) 模型, 原序列符合ARIMA( p, d, q)模型。AR 和 ARMA 两个模型合并为一个更一般的过程，即齐次非平稳模型，也称为自回归集中移动平均模型。ARIMA 模型专门用于不稳定的时间序列，这些不稳定的过程在它们的均值和方差里，有一个不稳定的倾向，但是由于采用数据的累次差分，所以其结果是平稳的。例如，因为有了长期增长因素，价格序列就是不稳定的了，它可以任意无边界的增长，以至

19、于使价格自身不再倾向平均值。但是有效市场假说能接受的是价格或者收入的变化是稳定的。而且，一般价格的变化是用百分比表示的。在这种情况下，可以用对数差分表示，这是一阶差分的情况，在一些序列里，高阶差分可以让数据稳定。假定是一个ARMA(p,q)过程，那么被认为是(p,d,q)阶的整合ARIMA，其中，p是自回归项的个数，q是平均移动项的个数，d 是所需差分化运算的次数。如果是一个ARIMA( p,d,0)过程，那么是一个AR(p)过程，同样，如果是一个ARIMA(0,d,q)过程，则是一个MA(0,q)。典型的ARIMA(p,d,q)模型考虑整数差分。“自相关和偏自相关系数法”介绍了利用样本的自相

20、关系数和偏自相关系数，得到ARMA模型阶数的初步判定方法。具体做法如下：（1）如果样本自相关系数在最初的q阶明显大于2倍标准差范围，即2（1/）,而后几乎95%的样本自相关系数都落在2倍标准差范围之内，并且由非零样本自相关系数衰减为在零附近小值波动过程非常突然，这时通常视为自相关系数截尾，既可以初步判定相应的时间序列为MA（q）模型。（2）同样，样本偏自相关系数如果满足上述性质，则可以初步判定相应的时间序列为AR（p）模型。（3）对于样本的自相关系数和偏自相关系数，如果均有超过5%的值落入2倍标准差范围之外，或者由非零样本自相关系数和样本偏自相关系数衰减为在零附近小值波动的过程非常缓慢，这时都

21、视为不拖尾的，我们将初步判定时间序列为ARMA模型，那么这样的判断往往会失效，因为这时ARMA（p,q）模型的阶数p,q很难确定。3.5 主要模型总结关于本章AR,MA,ARMA模型的总结表格如下： 模型特征AR（p）MA（q）ARMA（p，q）模型方程平稳性条件无条件可逆性条件无条件逆转形式自相关系数拖尾q步截尾拖尾偏相关系数P步截尾拖尾拖尾“非平稳时间序列和季节序列模型”介绍了一些常见的非平稳时间序列模型。“均值非平稳”介绍了确定性趋势模型和随机趋势模型及其差分。对于非平稳序列的时变均值函数，最简单的处理方法就是考虑均值函数可以由一个时间的确定性函数来描述，这时可以用回归模型来描述。还有一

22、种使得均值函数非平稳的情况是自回归参数不满足平稳条件的ARMA的模型。时间序列的模型识别和时间序列模型参数的统计推断问题，给出了时间序列模型的矩估计，极大似然估计和最小二乘估计方法，以及模型的检验和模型选择问题。“自回归求和移动平均模型ARIMA”主要介绍一般的ARIMA模型与随机游动模型。如果时间序列的d阶差分是一个平稳的ARMA(p,q)序列，其中是整数，则称为具有阶p,d和q的回归求和移动平均(ARIMA)模型，记为。设时间序列有下列模型则称为随机游动序列。“方差和自协方差非平稳”主要介绍ARIMA模型的方差和自协方差非平稳以及将其变换为平稳的方法。“季节时间序列SARIMA模型”主要介

23、绍季节时间序列的定义以及模型的一般形式。在某些时间序列中，存在明显的周期性变化。这种周期是由于季节性变化（包括季度、月度、周度等变化） 或其他一些固有因素引起的。这类序列称为季节性序列。描述这类序列的模型之一是季节时间序列模型 (seasonal ARIMA model)，用SARIMA 表示。可以建立关于周期为s的P阶自回归Q阶移动平均季节时间序列模型。“F检验法”主要介绍了AR（p）模型定阶的F准则与ARMA(p,q)模型定阶的F准则。其中，AR（p）模型定阶的F统计量为，ARMA(p,q)模型定阶的F统计量为。“信息准则法”主要介绍了FPE准则法，AIC准则法和BIC准则法。FPE准则法

24、的基本思想是用模型一步预报误差的方法来判定自回归模型的阶数是否适用，一步预报误差的方差愈小，就认为模型拟合愈好。AIC准则法则考虑拟合模型对数据的接近程度，也考虑模型中所含待定参数的个数，适用于ARMA模型的检验。BIC准则函数定义如下：，若一阶数满足其中L是预先设定的模型阶数上限，则取为模型的最佳阶数。“ARMA(p.q)模型参数的矩估计”主要介绍自回归AR(p)模型参数的Yule-Walker估计，移动平均MA(q)模型参数的矩估计以及ARMA(p,q)模型参数的矩估计。自回归AR(p)模型参数的Yule-Walker估计为。移动平均MA(q)模型参数的矩估计为 。“ARMA(p.q)模型

25、参数的极大似然估计”主要介绍AR(p)序列的极大似然估计与ARMA(p,q)序列的极大似然估计。在AR(p)序列中，的条件极大似然估计为。在ARMA(p,q)序列中，的极大似然估计为，的最大似然估计为。“ARMA(p.q)模型参数的最小二乘估计”中，定义的的最小值点称为ARMA(p,q)模型的条件最小二乘估计。“ARMA(p.q)模型参数的诊断检验”中原假设和备择假设分别为：，构造的统计量为。“ARMA(p.q)模型参数的优化”主要介绍AIC准则和SBC准则。一般情况下，AIC准则拟合精度和参数个数的加权函数AIC=-2log（模型的极大似然函数值）+2（模型中参数个数）使得AIC的值达到最小

26、的模型被认为是最优模型。SBC准则的具体定义如下：SBC=-2log（模型的极大似然函数值）+log(T)(模型中参数的个数)，可以证明，SBC准则是最优模型的真实阶数的相合估计。四、模型预测4.1 平稳时间序列模型预测“最小均方误差预测”为：。“对AR模型的预测”中当当前时刻为t的步预测为。“MA模型预测”中，当预测步长有；当预测步长，有。MA(q)模型预测方差为： 。“ARMA模型的预测”为： “预测值的适时修正”中，介绍了所谓预测值的修正久是研究如何利用新的信息去获取精度更高的预测值。假如获得k个新的，则的修正预测值为。“ARIMA模型的分析方法”主要介绍ARIMA模型的结构，性质与建模

27、及其模型预测。ARIMA（p,d,q）模型为：而性质包括平稳性，方差齐性。ARIMA模型的预测步骤为：（1）根据时间序列的散点图、自相关函数和偏自相关函数图以ADF单位根检验其方差、趋势及其季节性变化规律，对序列的平稳性进行识别。一般来讲，经济运行的时间序列都不是平稳序列。（2）对非平稳序列进行平稳化处理。如果数据序列是非平稳的，并存在一定的增长或下降趋势，则需要对数据进行差分处理，如果数据存在异方差，则需对数据进行技术处理，直到处理后的数据的自相关函数值和偏相关函数值无显著地异于零。（3）根据时间序列模型的识别规则，建立相应的模型。若平稳序列的偏相关函数是截尾的，而自相关函数是拖尾的，可断定

28、序列适合AR模型；若平稳序列的偏相关函数是拖尾的，而自相关函数是截尾的，则可断定序列适合MA模型；若平稳序列的偏相关函数和自相关函数均是拖尾的，则序列适合ARMA模型。（4）进行参数估计，检验是否具有统计意义。（5）进行假设检验，诊断残差序列是否为白噪声。（6）利用已通过检验的模型进行预测分析。“季节时间序列模型分析方法”主要介绍季节时间序列的重要特征与季节时间序列模型。季节时间序列模型具有周期性。季节时间序列模型包括随机季节模型，乘积季节模型。季节性的SARIMA为。乘积季节模型为。4.2 非线性时间序列模型预测讨论非线性时间序列的一些常用模型，给出它们的统计性质，也就实际问题中非线性时间序

29、列的建模和预测问题。“非线性时间序列模型”主要介绍了参数非线性时间序列模型和非参数时间序列模型。当分割为，其中 l d p 为某个整数,称此模型为Self-exciting Threshold Autoregressive Model,其形式为 ,其中 - = r 1 r2 rl =t G1(t,j)=G(j+1-t); else G1(t,j)=G(t-j+1); end end end a1=G1(-1)*g1; a2(p,2:p+1)=a1; G2=zeros(q+1,1); for k=0:q for j=0:p for l=0:p G2(k+1)=G2(k+1)+a2(p,j+1)*

30、a2(p,l+1)*G(abs(k+j-l)+1); end end end G3=zeros(q); g2=zeros(q,1); for k=1:q g2(k)=G2(k+1); for t=1:q if kt G3(k,t)=G2(k-t+1); else G3(k,t)=G2(t-k+1); end end end b2=G3(-1)*g2; b3(q,2:q+1)=b2; b4=0; for k=1:q+1 b4=b4+b3(p,k)*G2(k); end T(p,q)=b4; endendAIC=zeros(5,5);for p=1:5 for q=1:5 AIC(p,q)=log

31、(T(p,q)+2*(p+q)/N; endendAIC=abs(AIC);p q=find(AIC=min(min(AIC);c=0;d=c;c1=c;d1=d;x=0:0.001:3;for t=2:q+1 c=c+b3(q,t)*exp(i*(t-1).*x);endfor t=2:q+1 d=d+b(t)*exp(i*(t-1).*x);endfor t=1:p c1=c1+a1(p,t)*exp(i*t.*x);endfor t=1:pd1=d1+a(t)*exp(i*t.*x);endy1=b4*abs(1+c).2./(2*pi*abs(1-c1).2);y2=abs(1+d).2./(2*pi*abs(1-d1).2);plot(x,y1)hold onplot(x,y2,-)24