有限元技术基础及其应用总结

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1、 有 限 元 法 及 应 用 总 结串 讲 1.有 限 元 的 作 用 是 什 么 ？l 1） 减 少 模 型 试 验 的 数 量 ； 计 算 机 模 拟 允 许 对 大 量 的 假 设 情 况 进 行 快 速 而 有 效 的试 验 。l 2） 模 拟 不 适 合 在 原 型 上 试 验 的 设 计 ； 例 如 ： 器官 移 植 ， 比 如 人 造 膝 盖 。l 3） 节 省 费 用 ， 降 低 设 计 与 制 造 、 开 发 的 成 本 ；l 4） 节 省 时 间 ， 缩 短 产 品 开 发 时 间 和 周 期 ；l 5） 创 造 出 更 可 靠 、 高 品 质 的 设 计 。 2.有 限

2、元 的 基 本 概 念u有 限 元 ： 通 俗 的 讲 就 是 对 一 个 真 实 的 系 统用 有 限 个 单 元 来 描 述 。 l 有 限 元 法 ： 把 求 解 区 域 看 作 由 许 多 小 的 在 节 点处 相 互 连 接 的 单 元 （ 子 域 ） 所 构 成 ， 其 模 型 给出 基 本 方 程 的 分 片 （ 子 域 ） 近 似 解 ， 由 于 单 元（ 子 域 ） 可 以 被 分 割 成 各 种 形 状 和 大 小 不 同 的尺 寸 ， 所 以 它 能 很 好 地 适 应 复 杂 的 几 何 形 状 、复 杂 的 材 料 特 性 和 复 杂 的 边 界 条 件 。l 再 加

3、 上 它 有 成 熟 的 大 型 软 件 系 统 支 持 ， 使 其 已成 为 一 种 非 常 受 欢 迎 的 、 应 用 极 广 的 数 值 计 算方 法 。 有 限 元 模 型 与 有 限 元 分 析l 有 限 元 模 型 ： 它 是 真 实 系 统 理 想 化 的 数 学抽 象 。 由 一 些 简 单 形 状 的 单 元 组 成 ， 单 元之 间 通 过 节 点 连 接 ， 并 承 受 一 定 载 荷 。l 有 限 元 分 析 ： 是 利 用 数 学 近 似 的 方 法 对 真实 物 理 系 统 （ 几 何 和 载 荷 工 况 ） 进 行 模 拟 。并 利 用 简 单 而 又 相 互 作

4、 用 的 元 素 ， 即 单 元 ，就 可 以 用 有 限 数 量 的 未 知 量 去 逼 近 无 限 未知 量 的 真 实 系 统 。 3.有 限 单 元 法 的 特 点 有 哪 些 ？u 1） 把 连 续 体 划 分 成 有 限 个 单 元 ， 把 单 元 的 交 界 结 点 （ 节 点 ）作 为 离 散 点 ；u 2） 不 考 虑 微 分 方 程 ， 而 从 单 元 本 身 特 点 进 行 研 究 。u 3） 理 论 基 础 简 明 ， 物 理 概 念 清 晰 ， 且 可 在 不 同 的 水 平 上 建立 起 对 该 法 的 理 解 。u 4） 具 有 灵 活 性 和 适 用 性 ， 适

5、 应 性 强 。 （ 它 可 以 把 形 状 不 同 、性 质 不 同 的 单 元 组 集 起 来 求 解 ， 故 特 别 适 用 于 求 解 由 不 同构 件 组 合 的 结 构 ， 应 用 范 围 极 为 广 泛 。 它 不 仅 能 成 功 地 处理 如 应 力 分 析 中 的 非 均 匀 材 料 、 各 向 异 性 材 料 、 非 线 性 应力 、 应 变 以 及 复 杂 的 边 界 条 件 等 问 题 ， 且 随 着 其 理 论 基 础和 方 法 的 逐 步 完 善 ， 还 能 成 功 地 用 来 求 解 如 热 传 导 、 流 体力 学 及 电 磁 场 领 域 的 许 多 问 题 。

6、 ） u 5） 在 具 体 推 导 运 算 过 程 中 ， 广 泛 采 用 了 矩 阵 方 法 。 4.有 限 元 法 涉 及 的 内 容 有 哪 些 ？l 有 限 元 法 在 数 学 和 力 学 领 域 所 依 据 的 理 论 ；l 单 元 的 划 分 原 则 ；l 形 状 函 数 的 选 取 及 协 调 性 ；l 有 限 元 法 所 涉 及 的 各 种 数 值 计 算 方 法 及 其 误差 、 收 敛 性 和 稳 定 性 ；l 计 算 机 程 序 设 计 技 术 ；l 向 其 他 各 领 域 的 推 广 。 5.有 限 元 法 的 分 类 有 限 元 法 可 以 分 为 两 类 ， 即 线

7、 弹 性 有 限 元法 和 非 线 性 有 限 元 法 。 其 中 线 弹 性 有 限 元法 是 非 线 性 有 限 元 法 的 基 础 ， 二 者 不 但 在分 析 方 法 和 研 究 步 骤 上 有 类 似 之 处 ， 而 且后 者 常 常 要 引 用 前 者 的 某 些 结 果 。 线 弹 性 有 限 元l 线 弹 性 有 限 元 是 以 理 想 弹 性 体 为 研 究 对 象 的 ，所 考 虑 的 变 形 建 立 在 小 变 形 假 设 的 基 础 上 。 在这 类 问 题 中 ， 材 料 的 应 力 与 应 变 呈 线 性 关 系 ，满 足 广 义 胡 克 定 律 ； 应 力 与 应

8、 变 也 是 线 性 关 系 ，线 弹 性 问 题 可 归 结 为 求 解 线 性 方 程 问 题 ， 所 以只 需 要 较 少 的 计 算 时 间 。 如 果 采 用 高 效 的 代 数方 程 组 求 解 方 法 ， 也 有 助 于 降 低 有 限 元 分 析 的时 间 。l 线 弹 性 有 限 元 一 般 包 括 线 弹 性 静 力 学 分 析 与 线弹 性 动 力 学 分 析 两 方 面 。 非 线 性 有 限 元l 非 线 性 问 题 与 线 弹 性 问 题 的 区 别 ：l 1） 非 线 性 问 题 的 方 程 是 非 线 性 的 ， 一 般 需 要 迭 代求 解 ；l 2） 非 线

9、 性 问 题 不 能 采 用 叠 加 原 理 ；l 3） 非 线 性 问 题 不 总 有 一 致 解 ， 有 时 甚 至 没 有 解 。l 以 上 三 方 面 的 因 素 使 得 非 线 性 问 题 的 求 解 过 程 比线 弹 性 问 题 更 加 复 杂 、 费 用 更 高 和 更 具 有 不 可 预知 性 。 1） 材 料 非 线 性 问 题l 有 限 元 求 解 非 线 性 问 题 可 分 为 以 下 三 类 ：l 1） 材 料 非 线 性 问 题l 材 料 的 应 力 和 应 变 是 非 线 性 的 ， 但 应 力 与 应 变 却 很 微 小 ，此 时 应 变 与 位 移 呈 线 性

10、关 系 ， 这 类 问 题 属 于 材 料 的 非 线 性问 题 。 由 于 从 理 论 上 还 不 能 提 供 能 普 遍 接 受 的 本 构 关 系 ，所 以 ， 一 般 材 料 的 应 力 与 应 变 之 间 的 非 线 性 关 系 要 基 于 试验 数 据 ， 有 时 非 线 性 材 料 特 性 可 用 数 学 模 型 进 行 模 拟 ， 尽管 这 些 模 型 总 有 他 们 的 局 限 性 。l 在 工 程 实 际 中 较 为 重 要 的 材 料 非 线 性 问 题 有 ： 非 线 性 弹 性（ 包 括 分 段 线 弹 性 ） 、 弹 塑 性 、 粘 塑 性 及 蠕 变 等 。 2）

11、 几 何 非 线 性 问 题l 几 何 非 线 性 问 题 是 由 于 位 移 之 间 存 在 非 线性 关 系 引 起 的 。l 当 物 体 的 位 移 较 大 时 ， 应 变 与 位 移 的 关 系是 非 线 性 关 系 。 研 究 这 类 问 题 一 般 都 是 假定 材 料 的 应 力 和 应 变 呈 线 性 关 系 。 它 包 括大 位 移 大 应 变 及 大 位 移 小 应 变 问 题 。 如 结构 的 弹 性 屈 曲 问 题 属 于 大 位 移 小 应 变 问 题 ，橡 胶 部 件 形 成 过 程 为 大 应 变 问 题 。 3） 非 线 性 边 界 （ 接 触 问 题 ）l 在

12、 加 工 、 密 封 、 撞 击 等 问 题 中 ， 接 触 和 摩 擦 的作 用 不 可 忽 视 ， 接 触 边 界 属 于 高 度 非 线 性 边 界 。l 平 时 遇 到 的 一 些 接 触 问 题 ， 如 齿 轮 传 动 、 冲 压成 型 、 轧 制 成 型 、 橡 胶 减 振 器 、 紧 配 合 装 配 等 ，当 一 个 结 构 与 另 一 个 结 构 或 外 部 边 界 相 接 触 时通 常 要 考 虑 非 线 性 边 界 条 件 。l 实 际 的 非 线 性 可 能 同 时 出 现 上 述 两 种 或 三 种 非线 性 问 题 。 *6.有 限 元 的 基 础 理 论 包 括 哪

13、 几 部 分 ？l 1.加 权 余 量 法l 加 权 余 量 法 ： 是 指 采 用 使 余 量 的 加 权 函 数 为 零求 得 微 分 方 程 近 似 解 的 方 法 称 为 加 权 余 量 法 。（ Weighted residual method WRM）l 加 权 余 量 法 是 求 解 微 分 方 程 近 似 解 的 一 种 有 效的 方 法 。l 显 然 ， 任 何 独 立 的 完 全 函 数 集 都 可 以 作 为 权 函数 。 按 照 对 权 函 数 的 不 同 选 择 得 到 不 同 的 加 权余 量 计 算 方 法 ， 主 要 有 ： 配 点 法 、 子 域 法 、 最小

14、 二 乘 法 、 力 矩 法 和 伽 辽 金 法 。 其 中 伽 辽 金 法的 精 度 最 高 。 里 兹 方 法 ： 如 果 微 分 方 程 具 有 线 性 和 自 伴 随 的性 质 ， 那 么 它 不 仅 可 以 建 立 它 的 等 效 积 分 形 式 ，并 利 用 加 权 余 量 法 求 其 近 似 解 ， 而 且 还 可 以 建立 与 之 相 等 效 的 变 分 原 理 ， 从 而 得 到 的 另 一 种近 似 求 解 方 法 。 自 然 变 分 原 理 ： 原 问 题 的 微 分 方 程 和 边 界 条 件 的 等 效积 分 的 伽 辽 金 法 等 效 于 它 的 变 分 原 理 ，

15、 即 原 问 题 的 微分 方 程 和 边 界 条 件 等 效 于 泛 函 的 变 分 为 零 ， 亦 即 泛 函取 驻 值 。 反 之 ， 如 果 泛 函 取 驻 值 则 等 效 于 满 足 问 题 的微 分 方 程 和 边 界 条 件 。 而 泛 函 可 以 通 过 原 问 题 的 等 效积 分 的 伽 辽 金 法 而 得 到 ， 我 们 称 这 样 得 到 的 变 分 原 理为 自 然 变 分 原 理 。2. 里 兹 方 法 对 于 具 有 线 性 、 自 伴 随 性 质 的 微 分 方 程 在 得 到与 它 相 等 效 的 变 分 原 理 以 后 ， 可 以 用 来 建 立 求近 似

16、解 ， 这 一 过 程 即 里 兹 方 法 。 它 的 实 质 是 从一 族 假 定 解 中 寻 求 满 足 泛 函 变 分 的 “ 最 好 的 ”解 。 显 然 ， 近 似 解 的 精 度 与 试 探 函 数 （ 形 函 数或 试 函 数 ） 的 选 择 有 关 ， 如 果 知 道 所 求 解 的 一般 性 质 ， 那 么 可 以 通 过 选 择 反 映 此 性 质 的 试 探函 数 来 改 进 近 似 解 ， 提 高 近 似 解 的 精 度 。2. 里 兹 方 法 （ 续 ） 3.虚 功 原 理 平 衡 方 程 和 几 何 方 程 的 等 效 积 分 “ 弱 ” 形式 虚 功 原 理 包

17、含 虚 位 移 原 理 和 虚 应 力 原 理 ， 是 虚 位移 原 理 和 虚 应 力 原 理 的 总 称 。 他 们 都 可 以 认 为 是与 某 些 控 制 方 程 相 等 效 的 积 分 “ 弱 ” 形 式 。 虚 功原 理 ： 变 形 体 中 任 意 满 足 平 衡 的 力 系 在 任 意 满 足协 调 条 件 的 变 形 状 态 上 作 的 虚 功 等 于 零 ， 即 体 系外 力 的 虚 功 与 内 力 的 虚 功 之 和 等 于 零 。 虚 位 移 原 理 是 平 衡 方 程 和 力 的 边 界 条 件 的 等 效 积分 的 “ 弱 ” 形 式 ； 虚 应 力 原 理 是 几

18、何 方 程 和 位 移 边 界 条 件 的 等 效 积分 “ 弱 ” 形 式 。 虚 位 移 原 理 的 力 学 意 义 ： 如 果 力 系 是 平 衡 的 ，则 它 们 在 虚 位 移 和 虚 应 变 上 所 作 的 功 的 总 和 为零 。 反 之 ， 如 果 力 系 在 虚 位 移 （ 及 虚 应 变 ） 上所 作 的 功 的 和 等 于 零 ， 则 它 们 一 定 满 足 平 衡 方程 。 所 以 ， 虚 位 移 原 理 表 述 了 力 系 平 衡 的 必 要而 充 分 条 件 。 一 般 而 言 ， 虚 位 移 原 理 不 仅 可 以 适 用 于 线 弹 性问 题 ， 而 且 可 以

19、 用 于 非 线 性 弹 性 及 弹 塑 性 等 非线 性 问 题 。 但 是 否 适 用 所 有 的 问 题 呢 ？3.虚 功 原 理 （ 续 ） 平 衡 方 程 和 几 何 方 程 的 等 效 积 分 “ 弱 ”形 式 虚 应 力 原 理 的 力 学 意 义 ： 如 果 位 移 是 协 调 的 ， 则 虚 应力 和 虚 边 界 约 束 反 力 在 他 们 上 面 所 作 的 功 的 总 和 为 零 。反 之 ， 如 果 上 述 虚 力 系 在 他 们 上 面 所 作 的 功 的 和 为 零 ，则 它 们 一 定 是 满 足 协 调 的 。 所 以 ， 虚 应 力 原 理 表 述 了位 移

20、协 调 的 必 要 而 充 分 条 件 。 虚 应 力 原 理 可 以 应 用 于 线 弹 性 以 及 非 线 性 弹 性 等 不 同的 力 学 问 题 。 但 是 必 须 指 出 ， 无 论 是 虚 位 移 原 理 还 是 虚 应 力 原 理 ，他 们 所 依 赖 的 几 何 方 程 和 平 衡 方 程 都 是 基 于 小 变 形 理论 的 ， 他 们 不 能 直 接 应 用 于 基 于 大 变 形 理 论 的 力 学 问题 。3.虚 功 原 理 （ 续 ） 平 衡 方 程 和 几 何 方 程 的 等 效 积 分 “ 弱 ”形 式 4.最 小 位 能 原 理 和 最 小 余 能 原 理 明

21、确 ： 最 小 位 能 原 理 是 建 立 在 虚 位 移 原 理 基 础 上的 ， 而 最 小 余 能 原 理 建 立 在 虚 应 力 原 理 基 础 上 。 最 小 位 能 原 理 是 指 在 所 有 可 能 位 移 中 ， 真 实 位 移使 系 统 总 位 能 取 最 小 值 。 总 位 能 是 指 弹 性 体 变 形 位 能 和 外 力 位 能 之 和 。 最 小 余 能 原 理 是 指 在 所 有 的 应 力 中 ， 真 实 应 力 使系 统 的 总 余 能 取 最 小 值 。 总 余 能 是 指 弹 性 体 余 能 和 外 力 余 能 总 和 。 一 般 而 言 ， 利 用 最 小

22、 位 能 原 理 求 得 位 移 近 似 解的 弹 性 变 形 能 是 精 确 解 变 形 能 的 下 界 ， 即 近 似的 位 移 场 在 总 体 上 偏 小 ， 也 就 是 说 结 构 的 计 算模 型 显 得 偏 于 刚 硬 ； 而 利 用 最 小 余 能 原 理 求 得的 应 力 近 似 解 的 弹 性 余 能 是 精 确 解 余 能 的 上 界 ，即 近 似 的 应 力 解 在 总 体 上 偏 大 ， 结 构 的 计 算 模型 偏 于 柔 软 。 当 分 别 利 用 这 两 个 极 值 原 理 求 解 同 一 问 题 时 ，我 们 将 获 得 这 个 问 题 的 上 界 和 下 界

23、， 可 以 较 准确 地 估 计 所 得 近 似 解 的 误 差 ， 这 对 工 程 计 算 具有 实 际 意 义 。4.最 小 位 能 原 理 和 最 小 余 能 原 理 （ 续 ） *7.单 元 划 分 原 则 是 什 么 ? 梁 、 杆 单 元 划 分 的 原 则 两 个 节 点 之 间 的 杆 构 成 一 个 单 元 ， 节 点 可 按 以下 原 则 划 分 ： 1） 杆 件 的 交 点 一 定 要 选 为 节 点(梯 子 ） ； 2） 阶 梯 形 杆 截 面 变 化 处 一 定 取 为 节点 （ 阶 梯 轴 ） ； 3） 支 撑 点 与 自 由 端 要 选 为 节点 （ 悬 臂 梁

24、） ； 4） 集 中 载 荷 作 用 处 最 好 选 为节 点 ； 5） 欲 求 位 移 的 点 要 选 为 节 点 ； 6） 单 元长 度 最 好 基 本 相 同 。 平 面 单 元 划 分 原 则 1.单 元 形 状 ： 常 用 单 元 形 状 有 三 角 形 单 元 、 矩 形 单 元 和 等参 数 单 元 。 他 们 的 特 点 是 单 元 的 节 点 数 越 多 ， 其 计 算 精度 越 高 ， 三 角 形 单 元 与 等 参 数 单 元 可 适 应 任 意 边 界 。 2.划 分 原 则 ： 1） 划 分 单 元 的 个 数 ， 视 计 算 机 要 求 的 精 度 和 计 算 机

25、容 量而 定 ， 单 元 分 得 越 多 ， 块 越 小 其 精 度 越 高 ， 但 需 要 的 计算 机 容 量 越 大 ， 因 此 ， 须 根 据 实 际 情 况 而 定 。 2） 划 分 单 元 的 大 小 ， 可 根 据 部 位 不 同 有 所 不 同 ， 在 位移 或 应 力 变 化 大 的 部 位 取 得 单 元 要 小 ； 在 位 移 或 应 力 变化 小 的 部 位 取 得 单 元 要 大 ， 在 边 界 比 较 平 滑 的 部 位 ， 单元 可 大 。 3） 划 分 单 元 的 形 状 ， 一 般 均 可 取 成 三 角 形 或等 参 元 。 对 于 平 直 边 界 可 取

26、成 矩 形 单 元 ， 有 时也 可 以 将 不 同 单 元 混 合 使 用 ， 但 要 注 意 ， 必 须节 点 与 节 点 相 连 ， 切 莫 将 节 点 与 单 元 的 边 相 连 。4） 单 元 各 边 的 长 不 要 相 差 太 大 ， 否 则 将 影 响求 解 精 度 。 5） 尽 量 把 集 中 力 或 集 中 力 偶 的 作 用 点 选 为 节点 。 6） 尽 量 利 用 对 称 性 ， 以 减 少 计 算 量 （ 有 限 元法 的 最 大 优 点 在 于 使 用 了 矩 阵 的 方 法 ） 。平 面 单 元 划 分 原 则 （ 续 ） *8.有 限 元 法 分 析 过 程 有

27、 限 元 法 分 析 过 程 大 体 可 分 为 ： 前 处 理 、 分 析 、后 处 理 三 大 步 骤 。 对 实 际 的 连 续 体 经 过 离 散 化 后 就 建 立 了 有 限 元分 析 模 型 ， 这 一 过 程 是 有 限 元 的 前 处 理 过 程 。在 这 一 阶 段 ， 要 构 造 计 算 对 象 的 几 何 模 型 ， 要划 分 有 限 元 网 格 ， 要 生 成 有 限 元 分 析 的 输 入 数据 ， 这 一 步 是 有 限 元 分 析 的 关 键 。 有 限 元 分 析 过 程 主 要 包 括 ： 单 元 分 析 、 整 体 分 析 、载 荷 移 置 、 引 入 约

28、 束 、 求 解 约 束 方 程 等 过 程 。 这 一过 程 是 有 限 元 分 析 的 核 心 部 分 ， 有 限 元 理 论 主 要 体现 在 这 一 过 程 中 。 有 限 元 法 包 括 三 类 ： 有 限 元 位 移 法 、 有 限 元 力 法 、有 限 元 混 合 法 。 在 有 限 元 位 移 法 中 ， 选 节 点 位 移 作 为 基 本 未 知 量 ； 在 有 限 元 力 法 中 ， 选 节 点 力 作 为 未 知 量 ； 在 有 限 元 混 合 法 中 ， 选 一 部 分 基 本 未 知 量 为 节 点 位移 ， 另 一 部 分 基 本 未 知 量 为 节 点 力 。*8

29、.有 限 元 法 分 析 过 程 （ 续 ） 有 限 元 位 移 法 计 算 过 程 的 系 统 性 、 规 律 性 强 ， 特别 适 宜 于 编 程 求 解 。 一 般 除 板 壳 问 题 的 有 限 元 应用 一 定 量 的 混 合 法 外 ， 其 余 全 部 采 用 有 限 元 位 移法 。 因 此 ， 一 般 不 做 特 别 声 明 ， 有 限 元 法 指 的 是有 限 元 位 移 法 。 有 限 元 分 析 的 后 处 理 主 要 包 括 对 计 算 结 果 的 加 工处 理 、 编 辑 组 织 和 图 形 表 示 三 个 方 面 。 它 可 以 把有 限 元 分 析 得 到 的 数

30、 据 ， 进 一 步 转 换 为 设 计 人 员直 接 需 要 的 信 息 ， 如 应 力 分 布 状 态 、 结 构 变 形 状态 等 ， 并 且 绘 成 直 观 的 图 形 ， 从 而 帮 助 设 计 人 员迅 速 的 评 价 和 校 核 设 计 方 案 。*8.有 限 元 法 分 析 过 程 （ 续 ） 9.有 限 元 法 的 收 敛 性 概 念 与 收 敛 条 件 有 限 元 法 是 一 种 数 值 分 析 方 法 ， 因 此 应考 虑 收 敛 性 问 题 。 有 限 元 法 的 收 敛 性 是 指 ： 当 网 格 逐 渐 加密 时 ， 有 限 元 解 答 的 序 列 收 敛 到 精

31、确 解 ；或 者 当 单 元 尺 寸 固 定 时 ， 每 个 单 元 的 自由 度 数 越 多 ， 有 限 元 的 解 答 就 越 趋 近 于精 确 解 。 有 限 元 的 收 敛 条 件 包 括 如 下 四 个 方 面 ： 1） 单 元 内 ， 位 移 函 数 必 须 连 续 。 多 项 式 是 单 值 连 续 函数 ， 因 此 选 择 多 项 式 作 为 位 移 函 数 ， 在 单 元 内 的 连 续性 能 够 保 证 。 2） 在 单 元 内 ， 位 移 函 数 必 须 包 括 常 应 变 项 。 每 个 单 元的 应 变 状 态 总 可 以 分 解 为 不 依 赖 于 单 元 内 各

32、点 位 置 的常 应 变 和 由 各 点 位 置 决 定 的 变 量 应 变 。 当 单 元 的 尺 寸足 够 小 时 ， 单 元 中 各 点 的 应 变 趋 于 相 等 ， 单 元 的 变 形比 较 均 匀 ， 因 而 常 应 变 就 成 为 应 变 的 主 要 部 分 。 为 反映 单 元 的 应 变 状 态 ， 单 元 位 移 函 数 必 须 包 括 常 应 变 项 。9.有 限 元 法 的 收 敛 性 概 念 与 收 敛 条 件（ 续 ） 3） 在 单 元 内 ， 位 移 函 数 必 须 包 括 刚 体 位 移 项 。 一 般 情况 下 ， 单 元 内 任 一 点 的 位 移 包 括

33、形 变 位 移 和 刚 体 位 移两 部 分 。 形 变 位 移 与 物 体 形 状 及 体 积 的 改 变 相 联 系 ，因 而 产 生 应 变 ； 刚 体 位 移 只 改 变 物 体 位 置 ， 不 改 变 物体 的 形 状 和 体 积 ， 即 刚 体 位 移 是 不 产 生 变 形 的 位 移 。空 间 一 个 物 体 包 括 三 个 平 动 位 移 和 三 个 转 动 位 移 ， 共有 六 个 刚 体 位 移 分 量 。 由 于 一 个 单 元 牵 连 在 另 一 些 单 元 上 ， 其 他 单 元 发 生 变形 时 必 将 带 动 单 元 做 刚 体 位 移 ， 由 此 可 见 ，

34、为 模 拟 一个 单 元 的 真 实 位 移 ， 假 定 的 单 元 位 移 函 数 必 须 包 括 刚体 位 移 项 。9.有 限 元 法 的 收 敛 性 概 念 与 收 敛 条 件（ 续 ） 4） 位 移 函 数 在 相 邻 单 元 的 公 共 边 界 上 必 须 协调 。 对 一 般 单 元 而 言 ， 协 调 性 是 指 相 邻 单 元 在公 共 节 点 处 有 相 同 的 位 移 ， 而 且 沿 单 元 边 界 也有 相 同 的 位 移 ， 也 就 是 说 ， 要 保 证 不 发 生 单 元的 相 互 脱 离 开 裂 和 相 互 侵 入 重 叠 。 要 做 到 这 一点 ， 就 要

35、求 函 数 在 公 共 边 界 上 能 由 公 共 节 点 的函 数 值 唯 一 确 定 。 对 一 般 单 元 ， 协 调 性 保 证 了相 邻 单 元 边 界 位 移 的 连 续 性 。 但 是 ， 在 板 壳 的 相 邻 单 元 之 间 ， 还 要 求 位 移 的一 阶 导 数 连 续 ， 只 有 这 样 ， 才 能 保 证 结 构 的 应变 能 是 有 界 量 。9.有 限 元 法 的 收 敛 性 概 念 与 收 敛 条 件（ 续 ） 总 的 说 来 ， 协 调 性 是 指 在 相 邻 单 元 的 公 共 边 界上 满 足 连 续 性 条 件 。 前 三 条 又 叫 完 备 性 条 件

36、 ， 满 足 完 备 条 件 的 单 元叫 完 备 单 元 ； 第 四 条 是 协 调 性 要 求 ， 满 足 协 调性 的 单 元 叫 协 调 单 元 ； 否 则 称 为 非 协 调 单 元 。完 备 性 要 求 是 收 敛 的 必 要 条 件 ， 四 条 全 部 满 足 ，构 成 收 敛 的 充 分 必 要 条 件 。 在 实 际 应 用 中 ， 要 使 选 择 的 位 移 函 数 全 部 满 足完 备 性 和 协 调 性 要 求 是 比 较 困 难 的 ， 在 某 些 情况 下 可 以 放 松 对 协 调 性 的 要 求 。9.有 限 元 法 的 收 敛 性 概 念 与 收 敛 条 件（

37、 续 ） 需 要 指 出 的 是 ， 有 时 非 协 调 单 元 比 与 它 对 应 的 协 调 单 元还 要 好 ， 其 原 因 在 于 近 似 解 的 性 质 。 假 定 位 移 函 数 就 相当 于 给 单 元 施 加 了 约 束 条 件 ， 使 单 元 变 形 服 从 所 加 约 束 ，这 样 的 替 代 结 构 比 真 实 结 构 更 刚 一 些 。 但 是 ， 这 种 近 似结 构 由 于 允 许 单 元 分 离 、 重 叠 ， 使 单 元 的 刚 度 变 软 了 ，或 者 形 成 了 （ 例 如 板 单 元 在 单 元 之 间 的 绕 度 连 续 ， 而 转角 不 连 续 时 ，

38、 刚 节 点 变 为 铰 接 点 ） 对 于 非 协 调 单 元 ， 上述 两 种 影 响 有 误 差 相 消 的 可 能 ， 因 此 利 用 非 协 调 单 元 有时 也 会 得 到 很 好 的 结 果 。 在 工 程 实 践 中 ， 非 协 调 元 必 须通 过 “ 小 片 试 验 后 ” 才 能 使 用 。9.有 限 元 法 的 收 敛 性 概 念 与 收 敛 条 件（ 续 ） 10.应 力 的 单 元 平 均 或 节 点 平 均 处 理 方 法 ? 最 简 单 的 处 理 应 力 结 果 的 方 法 是 取 相 邻 单 元 或围 绕 节 点 各 单 元 应 力 的 平 均 值 。 1.

39、取 相 邻 单 元 应 力 的 平 均 值 这 种 方 法 最 常 用 于 3节 点 三 角 形 单 元 中 。 这 种最 简 单 而 又 相 当 实 用 的 单 元 得 到 的 应 力 解 在 单元 内 是 常 数 。 可 以 将 其 看 作 是 单 元 内 应 力 的 平均 值 ， 或 是 单 元 形 心 处 的 应 力 。 由 于 应 力 近 似解 总 是 在 精 确 解 上 下 振 荡 ， 可 以 取 相 邻 单 元 应力 的 平 均 值 作 为 此 两 个 单 元 合 成 的 较 大 四 边 形单 元 形 心 处 的 应 力 。 如 2单 元 的 情 况 下 ， 取 平 均 应 力

40、可 以 采 用 算 术 平均 ， 即 平 均 应 力 =（ 单 元 1的 应 力 +单 元 2的 应 力 ） /2。 也 可 以 采 用 精 确 一 些 的 面 积 加 权 平 均 ， 即 平 均 应 力 =单 元 1应 力 单 元 1的 面 积 +单 元 2应 力 单 元 2面 积 /（ 单 元 1面 积 +单 元 2面 积 ） 当 相 邻 两 单 元 面 积 相 差 不 大 时 ， 两 者 的 结 果 基 本相 同 。 在 单 元 划 分 时 应 避 免 相 邻 两 单 元 的 面 积 相差 太 多 ， 从 而 使 求 解 的 误 差 相 近 。10.应 力 的 单 元 平 均 或 节 点

41、 平 均 处 理 方 法 ?（ 续 ） 一 般 而 言 ， 3节 点 三 角 形 单 元 的 最 佳 应 力 点 是单 元 的 中 心 点 ， 此 点 的 应 力 具 有 1阶 的 精 度 。 2.取 围 绕 节 点 各 单 元 应 力 的 平 均 值 首 先 计 算 围 绕 该 节 点 （ i） 周 围 的 相 关 单 元 在 该节 点 出 的 应 力 值 ， 然 后 以 他 们 的 平 均 值 作 为该 节 点 的 最 后 应 力 值 ， 即 其 中 ， 1m是 围 绕 在 i节 点 周 围 的 全 部 单 元 。 取平 均 值 时 也 可 进 行 面 积 加 权 。ei i me eii

42、 m 11 10.应 力 的 单 元 平 均 或 节 点 平 均 处 理 方 法 ?（ 续 ） *11.有 限 元 法 求 解 问 题 的 基 本 步 骤 )11( )()()( eee kF1.结 构 离 散 化对 整 个 结 构 进 行 离 散 化 ， 将 其 分 割 成 若 干个 单 元 ， 单 元 间 彼 此 通 过 节 点 相 连 ； 2.求 出 各 单 元 的 刚 度 矩 阵 )(eK 是 由 单 元 节 点 位 移 量 求 单 元节 点 力 向 量 的 转 移 矩 阵 ， 其 关 系式 为 )(eK )(e )(eF 3.集 成 总 体 刚 度 矩 阵 K并 写 出 总 体 平

43、衡 方 程 ： 总 体 刚 度 矩 阵 K是 由 整 体 节 点 位 移 向 量 求 整 体 节 点 力 向 量 的 转 移 矩 阵 ， 其 关系 式 为 ， 此 即 为 总 体 平 衡方 程 。 F KF 4.引 入 支 撑 条 件 ， 求 出 各 节 点 的 位 移 节 点 的 支 撑 条 件 有 两 种 ： 一 种 是 节 点 n沿某 个 方 向 的 位 移 为 零 ， 另 一 种 是 节 点 n沿某 个 方 向 的 位 移 为 一 给 定 值 。 5.求 出 各 单 元 内 的 应 力 和 应 变 。 12.单 元 刚 度 矩 阵 的 特 性 单 元 刚 度 矩 阵 无 论 在 局 部

44、 坐 标 系 中 还 是 在 整体 坐 标 系 中 都 具 有 相 同 的 三 个 特 性 ： 1） 对 称 性 由 材 料 力 学 中 的 位 移 互 等 定 理 可 知 ， 对 一 个构 件 ， 作 用 在 点 j的 力 引 起 点 i的 绕 度 等 于 有同 样 大 小 而 作 用 于 点 i的 力 引 起 的 点 j的 绕 度 ，即 ， 表 明 单 元 刚 度 矩 阵 是 一 个 对 称矩 阵 。 )()( eijeij kk 2） 奇 异 性 无 逆 阵 的 矩 阵 就 叫 做 奇 异 矩 阵 ， 其 行 列式 的 值 为 0， 即 ， 这 一 点 可 以 从 例题 直 接 得 到

45、验 证 。 其 物 理 意 义 是 引 入 支撑 条 件 之 前 ， 单 元 可 平 移 。 0)( ek12.单 元 刚 度 矩 阵 的 特 性 （ 续 ） 3） 分 块 性 有 前 面 所 讲 的 内 容 可 以 看 出 ， 矩 阵 可 以用 虚 线 分 成 四 块 ， 因 此 可 写 成 如 下 的 分 块 形式 ， 式 中 局 部 坐 标 系 中 单 元 (e)按 局 部 码标 记 的 节 点 m、 n之 间 的 刚 度 子 矩 阵 。 )(ek )(21)(2221 1211)(21 eee kk kkff )(emnk 12.单 元 刚 度 矩 阵 的 特 性 （ 续 ） *13.

46、求 图 中 所 示 刚 架 中 各 单 元 在 整 体 坐 标 系 中的 单 元 刚 度 矩 阵 (1)。 设 两 杆 的 长 度 与 截 面 尺 寸 彼 此 相 等 。（ 空 心 杆 ） 其 中 ，L=200cm,D=5cm,d=4cm,E=2 107N/cm2。 *13： 求 图 所 示 结 构 的 节 点 位 移 向 量 。 已 知 节 点 1处 承 受 外 载 ， 其 余条 件 同 前 例 。 NcmM 51 105 *14.刚 架 结 构 中 非 节 点 载 荷 的 处 理 的 方 法 在 刚 架 结 构 以 及 其 他 较 复 杂 的 结 构 上 ， 他 们 所 受的 载 荷 可

47、以 直 接 作 用 在 节 点 上 ， 又 可 以 不 直 接 作用 在 节 点 上 而 作 用 于 单 元 节 点 间 的 其 他 位 置 上 。后 一 种 情 况 下 的 载 荷 称 为 非 节 点 载 荷 。 有 限 元 分析 时 ， 总 体 刚 度 方 程 中 所 用 到 的 力 向 量 是 节 点力 向 量 。 因 此 在 进 行 整 体 分 析 前 应 当 进 行 载 荷 的移 植 ， 将 作 用 于 单 元 上 的 力 移 植 到 节 点 上 。 移 植时 按 静 力 等 效 的 原 则 进 行 。 F 处 理 非 节 点 载 荷 一 般 可 直 接 在 整 体 坐 标系 内 进

48、 行 ， 其 过 程 为 ： 1） 将 各 杆 单 元 看 成 一 根 两 端 固 定 的 梁 ，分 别 求 出 两 个 固 定 端 的 约 束 反 力 。 其 结果 可 直 接 利 用 材 料 力 学 的 公 式 求 得 ； 2） 将 各 固 定 端 的 约 束 反 力 变 号 ， 按 节 点进 行 集 成 ， 获 得 各 节 点 的 等 效 载 荷 *14.刚 架 结 构 中 非 节 点 载 荷 的 处 理 的 方 法（ 续 ） *15.总 体 刚 度 矩 阵 的 集 成 法 使 用 刚 度 矩 阵 获 得 的 方 法 获 得 总 体 刚 度 矩阵 。 在 此 将 其 扩 展 到 由 整

49、体 坐 标 系 中 的 单元 刚 度 矩 阵 的 子 矩 阵 集 成 总 体 刚 度 矩 阵 。步 骤 如 下 ： 1） 对 一 个 有 n个 节 点 的 结 构 ， 将 总 体 刚 度矩 阵 K划 分 为 n n各 子 区 间 ， 然 后 按 节 点总 码 的 顺 序 进 行 编 号 ； 2） 将 整 体 坐 标 系 中 单 元 刚 度 矩 阵 的 各 子矩 阵 根 据 其 下 标 的 两 个 总 码 对 号 入 座 ，写 在 总 体 刚 度 矩 阵 相 应 的 子 区 间 ； 3） 同 一 子 区 间 内 的 子 矩 阵 相 加 ， 成 为 总体 刚 度 矩 阵 中 的 相 应 的 子 矩

50、 阵 。 *15.总 体 刚 度 矩 阵 的 集 成 法 （ 续 ） 16.总 体 刚 度 矩 阵 的 特 性 1） 对 称 性 ： 因 为 由 此 特 性 ， 在 计 算 机 中 只 需 存 储 其上 三 角 部 分 ； 2） 奇 异 性 ： 物 理 意 义 仍 为 在 无 约 束 的 情 况 下 ， 整 个结 构 可 做 刚 体 运 动 ； 3） 稀 疏 性 ： K中 有 许 多 零 子 矩 阵 ， 而 且 在 非 零 子 矩阵 中 还 有 大 量 的 零 元 素 ， 这 种 矩 阵 称 为 稀 疏 矩 阵 。 大型 结 构 的 总 体 刚 度 矩 阵 一 般 都 是 稀 疏 矩 阵 ；

51、4） 分 块 性 ： 这 个 性 质 已 经 利 用 过 ， 在 此 不 再 叙 述 。 了 解 刚 度 矩 阵 的 这 些 特 性 非 常 有 用 ， 它 可 以 大 大 减 少计 算 机 的 内 存 和 计 算 工 作 量 。 *17.平 面 问 题 离 散 化 时 的 规 定 1） 单 元 之 间 只 在 节 点 处 相 连 ； 2） 所 有 的 节 点 都 为 铰 接 点 ； 3） 单 元 之 间 的 力 通 过 节 点 传 递 ； 4） 外 载 荷 都 要 移 植 到 节 点 上 ； 5） 在 节 点 位 移 或 某 一 分 量 可 以 不 计 之 处 ， 就 必 须在 该 节 点

52、安 置 一 个 铰 支 座 或 相 应 的 连 杆 支 座 。 通 过 以 上 的 规 定 来 建 立 平 面 有 限 元 分 析 模 型 。 *18.平 面 离 散 化 的 一 些 定 性 的 规 律 1） 结 构 对 称 性 的 利 用 2） 对 称 结 构 的 网 格 布 局 3） 划 分 网 格 要 兼 顾 精 度 和 经 济 性 4） 不 连 续 出 的 自 然 分 割 5） 几 何 形 状 的 近 似 与 过 渡 圆 角 的 处 理 6） 单 元 形 态 的 选 择 7） 边 界 条 件 的 确 定 8） 单 元 和 节 点 编 号 19.结 构 对 称 性 的 利 用 规 律 一

53、 般 来 说 ， 作 用 在 对 称 结 构 上 的 载 荷 系 统 分 为 对 称 的 、反 对 称 的 和 一 般 的 三 种 情 况 。 1.结 构 对 称 ， 载 荷 对 称 或 反 对 称 这 种 情 况 下 ， 对 称 面 上 的 边 界 条 件 可 按 一 下 规 则 确 定 ： A.在 不 同 的 对 称 面 上 ， 将 位 移 分 量 区 分 为 对 称 分 量 和反 对 称 分 量 ； B.将 载 荷 也 按 不 同 的 对 称 面 分 别 区 分 为 对 称 分 量 和 反对 称 分 量 ； C.对 于 同 一 个 对 称 面 ， 如 载 荷 是 对 称 的 ， 则 对

54、称 面 上位 移 的 反 对 称 分 量 为 零 ， 如 载 荷 是 反 对 称 的 ， 则 对 称面 上 位 移 的 对 称 分 量 为 零 。 结 构 对 称 ， 载 荷 一 般 的 情 况 如 果 所 分 析 的 结 构 对 称 ， 但 载 荷 是 不对 称 的 ， 也 不 是 反 对 称 的 ， 这 时 可 以将 这 种 结 构 系 统 简 化 成 载 荷 为 对 称 和 /或 反 对 称 情 况 的 组 合 ， 仍 可 以 简 化 分析 过 程 ， 提 高 分 析 的 综 合 效 率 。 如 图 a所 示 ， 结 构 对 称 ， 载 荷 一 般 ， 可将 其 载 荷 分 解 为 图

55、b和 图 c的 组 合 。 图 b为 对 称 结 构 ， 载 荷 对 x、 y轴 均 为 对 称 ，图 c为 结 构 对 称 ， 载 荷 对 x轴 反 对 称 、对 y轴 对 称 ， 此 时 可 取 相 同 的 四 分 之 一进 行 研 究 ， 分 别 施 加 对 称 面 上 节 点 的边 界 条 件 ， 进 行 两 次 分 析 计 算 ， 并 将计 算 结 果 迭 加 起 来 ， 即 可 得 到 原 结 构四 分 之 一 的 解 答 ， 进 而 得 出 整 个 结 构的 解 答 。 对 称 性 利 用 中 的 特 殊 问 题 利 用 结 构 的 对 称 性 取 某 一 部 分 建 立 有 限

56、 元 模 型 时 ， 往往 会 产 生 约 束 不 足 现 象 。 例 如 ， 若 取 上 例 中 图 c的 四 分 之 一 建 立 有 限 元 时 ， 根 据上 述 分 析 ， 在 两 对 称 面 上 应 加 水 平 放 置 的 滚 动 铰 支 座 ，因 此 模 型 在 垂 直 方 向 存 在 刚 体 位 移 。 对 这 种 约 束 不 足问 题 ， 利 用 有 限 元 分 析 时 ， 必 须 增 加 附 加 约 束 ， 以 消除 模 型 的 刚 体 位 移 。 在 本 例 中 ， 垂 直 方 向 可 以 用 刚 度很 小 的 杆 单 元 或 边 界 弹 簧 单 元 连 接 到 模 型 某

57、节 点 上 ，使 得 既 消 除 了 模 型 的 刚 体 位 移 ， 又 不 致 于 因 附 加 的 杆单 元 或 边 界 弹 簧 单 元 刚 度 太 大 而 影 响 结 构 原 有 的 变 形状 态 。 20.单 元 形 态 的 选 择 原 则 单 元 形 态 包 括 单 元 形 状 、 边 中 节 点 的 位 置 、 细 长 比 等 ，在 结 构 离 散 化 过 程 中 必 须 合 理 选 择 。 一 般 来 说 ， 为 了保 证 有 限 元 分 析 的 精 度 ， 必 须 是 单 元 的 形 态 尽 可 能 的规 则 。 对 于 三 角 形 单 元 ， 三 条 边 长 尽 量 接 近 ，

58、 不 应 出 现 大 的钝 角 、 大 的 边 长 。 这 是 因 为 根 据 误 差 分 析 ， 应 力 和 位移 的 误 差 都 和 单 元 的 最 小 内 角 的 正 弦 成 反 比 。 因 而 ，等 边 三 角 形 单 元 的 形 态 最 好 ， 它 与 等 腰 直 角 三 角 形 单元 的 误 差 之 比 为 sin45 :sin60 =1:1.23。 但 是 为 了 适 应弹 性 体 边 界 ， 以 及 单 元 由 小 到 大 逐 渐 过 渡 ， 不 可 能 是所 有 的 三 角 形 单 元 都 接 近 等 边 三 角 形 。 实 际 上 ， 常 常使 用 等 腰 直 角 三 角

59、形 。 对 于 矩 形 单 元 来 说 ， 细 长 比 不 宜 过 大 。 细 长 比 是 指 单元 最 大 尺 寸 和 最 小 尺 寸 之 比 。 最 优 细 长 比 在 很 大 程 度上 取 决 于 不 同 方 向 上 位 移 梯 度 的 差 别 。 梯 度 较 大 的 方向 ， 单 元 尺 寸 要 小 些 ， 梯 度 小 的 方 向 ， 单 元 尺 寸 可 以大 一 些 ； 如 果 各 方 向 上 位 移 梯 度 大 致 相 同 ， 则 细 长 比越 接 近 1， 精 度 越 高 。 有 文 献 推 荐 ， 一 般 情 况 下 ， 为 了得 到 较 好 的 位 移 结 果 ， 细 长 比

60、 不 应 超 过 7； 为 了 获 得 较好 的 应 力 结 果 ， 细 长 比 不 应 超 过 3。 一 般 情 况 下 ， 正 方形 单 元 的 形 态 最 好 。 对 于 一 般 的 四 边 形 单 元 应 避 免 过 大 的 边 长 比 ， 过 大 的边 长 比 会 导 致 病 态 的 方 程 组 。20.单 元 形 态 的 选 择 原 则 （ 续 ） *21.边 界 条 件 的 确 定 确 定 边 界 条 件 是 建 立 有 限 元 模 型 的 重 要 一 环 ， 合 理 确定 有 限 元 模 型 的 边 界 条 件 是 成 功 地 进 行 结 构 有 限 元 分析 的 基 本 要

61、求 。 一 般 情 况 下 ， 建 模 对 象 的 边 界 条 件 是 明 确 的 。 根 据 力学 模 型 的 边 界 条 件 可 以 很 容 易 确 定 其 有 限 元 模 型 的 边界 条 件 。 例 如 电 线 杆 插 入 地 基 的 一 端 为 固 定 端 ， 桥 梁一 端 为 固 定 铰 支 座 ， 另 一 端 为 滚 动 较 支 座 。 但 是 ， 在 机 械 工 程 中 ， 建 模 对 象 往 往 是 整 个 结 构 中 的一 部 分 ， 在 建 立 有 限 元 模 型 ， 确 定 其 边 界 条 件 时 ， 必须 考 虑 其 余 部 分 的 影 响 。 这 方 面 主 要 考

62、 虑 如 下 两 类 问题 。 1.边 界 位 置 的 确 定 在 建 立 连 续 弹 性 体 局 部 区 域 的 有 限 元 模 型 时 ， 往往 取 该 局 部 区 域 为 隔 离 体 ， 取 其 隔 离 边 界 条 件 为零 位 移 约 束 ， 并 通 过 试 探 校 正 确 定 零 位 移 边 界 条件 的 位 置 。 例 如 ， 进 行 齿 轮 齿 有 限 元 分 析 时 ， 取一 个 轮 齿 的 局 部 区 域 为 隔 离 体 ， 如 图 所 示 ， 设 定PQRS的 边 界 条 件 为 零 位 移 约 束 ， 通 过 改 变 边 界深 度 PQ和 边 界 宽 度 PS研 究 边

63、界 位 置 对 齿 根 最 大拉 应 力 的 影 响 ， 最 后 确 定 合 理 的 边 界 条 件 。 2.边 界 条 件 的 确 定 有 些 分 析 对 象 的 边 界 位 置 是 零 部 件 的 连 接 部 位 。在 建 立 有 限 元 模 型 时 ， 必 须 研 究 如 何 给 定 边 界位 置 上 的 边 界 条 件 ， 以 反 映 相 连 接 结 构 的 影 响 。确 定 这 种 问 题 的 边 界 条 件 是 用 简 单 支 撑 连 杆 替代 相 连 接 结 构 的 作 用 ， 使 替 代 后 结 构 的 系 统 刚度 等 价 于 原 结 构 的 系 统 刚 度 。 如 分 析

64、机 床 主 轴和 传 动 轴 时 ， 可 以 利 用 等 刚 度 的 杆 单 元 替 代 轴承 和 支 座 的 作 用 ， 使 轴 的 分 析 中 包 含 有 轴 承 和支 座 的 影 响 。 *22.单 元 和 节 点 编 号 规 则 当 利 用 整 体 刚 度 矩 阵 的 带 状 特 征 进 行 存 贮 和 求解 方 程 组 时 ， 单 元 节 点 编 号 直 接 影 响 系 统 整 体刚 度 矩 阵 的 半 带 宽 ， 也 就 是 影 响 在 计 算 机 中 存贮 信 息 的 多 少 、 计 算 时 间 和 计 算 费 用 。 因 而 ，要 求 合 理 的 节 点 编 号 使 带 宽 极

65、 小 化 。 半 带 宽 的计 算 公 式 ： 半 带 宽 d=（ 单 元 节 点 号 的 最 大 差 值 +1） 节 点自 由 度 由 此 ， 进 行 网 格 节 点 编 号 时 应 使 网 格 中 单 元 节点 号 的 最 大 差 值 最 小 ， 这 样 才 能 保 证 半 带 宽 最小 。 试 比 较 下 图 。 图 所 示 网 格 的 四 种 编 号方 案 中 ， 单 元 节 点 标 号的 最 大 差 值 分 别 为 5， 3，5， 9。 显 然 ， 图 2方 案 要合 理 。 由 此 得 出 结 论 ：沿 着 短 边 方 向 按 列 -列 -列-列 地 顺 序 编 号 比 沿 着 长

66、度 方 向 按 行 -行 -行 -行 地顺 序 要 合 理 （ 半 带 宽 小 ）*22.单 元 和 节 点 编 号 规 则 （ 续 ） 然 而 ， 对 于 具 有 中 间 节 点 的 单 元 或 空 间 问 题 ，须 借 助 于 带 宽 极 小 化 的 优 化 程 序 来 对 节 点 重 新编 号 ， 先 进 的 有 限 元 程 序 包 一 般 都 配 备 有 这 样的 程 序 。 对 单 元 的 编 号 只 影 响 整 体 刚 度 矩 阵 的 装 配 时 间 。由 于 这 一 时 间 在 有 限 元 运 算 时 间 中 只 占 很 小 的比 例 ， 因 而 对 于 单 元 的 编 号 并 无 特 殊 的 要 求 。*22.单 元 和 节 点 编 号 规 则 （ 续 ） *23.掌 握 分 析 三 角 形 单 元 的 位 移 模式 求 解 方 法 如 图 所 示 ， 在 局 部 坐 标 系 中 ， 三 角 形 平面 单 元 的 三 个 节 点 分 别 为 1、 2、 3， 其编 号 按 逆 时 针 方 向 进 行 ， 节 点 坐 标 分 别为 332211 , yxyxyx 、 24