统计学单个总体的假设检验

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1、1 本 章 教 学 目 标l 了 解 和 掌 握 统 计 推 断 中 的 另 一 个 基 本 问 题 ： 参假 设 检 验 及 其 在 经 济 管 理 中 的 应 用 ；l 掌 握 运 用 Excel 的 “ 数 据 分 析 ” 及 其 统 计 函 数功 能 求 解 假 设 检 验 问 题 。l 第 7章 单 个 总 体 的 假 设 检 验 2 本 章 主 要 内 容 ： 7.1 案 例 介 绍 7.2 假 设 检 验 的 基 本 原 理 7.3 单 个 正 态 总 体 均 值 的 检 验 7.4 单 个 正 态 总 体 方 差 的 检 验 7.5 大 样 本 单 个 总 体 比 例 的 检

2、验 7.6 单 个 总 体 的 假 设 检 验 小 结 7.7 软 件 实 现 SPSS/JMP本 章 重 点 ： 假 设 检 验 中 不 可 避 免 的 两 类 错 误 及 其应 用 Excel“数 据 分 析 ” 功 能 的 使 用 及 其 运 行 输 出 结果 分 析 。难 点 ： 假 设 检 验 中 不 可 避 免 的 两 类 错 误 及 其 应 用 。 3 【 案 例 1】 新 工 艺 是 否 有 效 ？ 某 厂 生 产 的 一 种 钢 丝 的 平 均 抗 拉 强 度 为 10560 (kg/cm2)。 现 采 用 新 工 艺 生 产 了 一 种 新 钢 丝 ， 随 机 抽 取 10

3、 根 ，测 得 抗 拉 强 度 为 ： 10512, 10623, 10668, 10554, 10776 10707, 10557, 10581, 10666, 10670 求 得 新 钢 丝 的 平 均 抗 拉 强 度 为 10631.4(kg/cm2)。 是 否 就 可 以 作 出 新 钢 丝 的 平 均 抗 拉 强 度 高 于 原 钢 丝 ，即 新 工 艺 有 效 的 结 论 ? 7.1 案 例 介 绍 4 某 台 加 工 缸 套 外 径 的 机 床 ， 正 常 状 态 下 所加 工 缸 套 外 径 的 标 准 差 应 不 超 过 0.02 mm。检 验 人 员 从 加 工 的 缸 套

4、 中 随 机 抽 取 9 个 ，测 得 外 径 的 样 本 标 准 差 为 S = 0.03 mm。问 ： 该 机 床 的 加 工 精 度 是 否 符 合 要 求 ?【 案 例 2】 机 床 加 工 精 度 是 否 符 合 要 求 ? 5 7.2 假 设 检 验 的 原 理一 、 什 么 是 假 设 检 验 事 先 对 总 体 参 数 或 分 布 形 式 做 出 某 种 假 设 ，然 后 利 用 样 本 信 息 来 判 断 原 假 设 是 否 成 立 。二 、 实 际 推 断 原 理 假 设 检 验 的 理 论 是 小 概 率 原 理 ， 又 称 为 实 际推 断 原 理 ， 其 具 体 内

5、容 是 ： 小 概 率 事 件 在 一 次 试验 中 是 几 乎 不 可 能 发 生 的 。三 、 假 设 检 验 推 理 的 思 想 方 法 假 设 检 验 推 理 的 思 想 方 法 是 某 种 带 有 概 率 性质 的 反 证 法 。 8 三 、 基 本 原 理 和 步 骤例 1： 统 计 资 料 表 明 ， 某 电 子 元 件 的 寿 命 X N(0 , 2 )， 其中 0 已 知 ， 2 未 知 。现 采 用 了 新 工 艺 生 产 ， 测 得 新 工 艺 生 产 的 n 个 元 件 寿 命 为 x1, x2, , xn。问 ：新 工 艺 生 产 的 元 件 期 望 寿 命 是 否

6、比 原 工 艺 的 元 件 期 望 寿 命 0 有 显 著 提 高 ?此 问 题 要 推 断 的 是 ： 是 否 0?这 可 用 假 设 检 验 的 方 法 解 决 ， 步 骤 如 下 ： 9 本 例 中 H0： = 02. 按 希 望 出 现 的 结 果 提 出 一 个 与 原 假 设 对 立 的 假 设 ，称 为 备 择 假 设 ， 记 为 H 1。 本 例 中 H1： 03. 构 造 一 个 能 用 来 检 验 原 假 设 H 0 的 统 计 量本 例 中 ， 要 检 验 的 是 总 体 均 值 ， 的 优 良是而 X当 H 0 为 真 时 ， X t (n-1) nSXt / 0估 计

7、 , 故 应 使 用 来 构 造 检 验 的 统 计 量 。统 计 量 1.提 出 一 个 希 望 推 翻 的 假 设 ,称 为 原 假 设 , 记 为 H 0 10 4. 给 定 一 个 小 概 率 ，称 为 显 著 性 水 平显 著 性 水 平 是 当 H0 为 真 时 ， 拒 绝 H0 的 概 率(即 犯 “ 弃 真 ” 错 误 的 概 率 )。 也 即 当 检 验 结 果 拒 绝 H0 时 ，不 犯 错 误 的 概 率 为 1-， 从 而 可 以 有 1- 的 可 信 度 接 受备 择 假 设 H1。5. 确 定 要 拒 绝 H 0 时 统 计 量 的 取 值 范 围 ， 称 为 拒

8、绝 域 ，拒 绝 域 的 边 界 点 称 为 临 界 值 。本 例 中 ， 由 于 H1： 0 而 当 H0 为 真 时 ，有 P t t ( n-1 ) = 1-可 知 当 统 计 量 t t(n-1) 时 ， 就 可 以 有 1- 的 把 握 判 定H0 不 真 (犯 错 误 的 概 率 仅 为 )， 故 此 时 应 拒 绝 H0。从 而 拒 绝 域 为 t t(n-1)， 临 界 值 为 t(n-1)。 (右 边 检 验 )， 11 t (n-1)0 f (x) x右 边 检 验 的 拒 绝 域本 例 中 ， 若 计 算 结 果 为 t t(n-1)，6. 计 算 统 计 量 t 的 值

9、 ， 并 作 出 检 验 结 论 则 拒 绝 H0，接 受 H1， 即 在 水 平 下 ， 认 为 显 著 高 于 0。若 t t(n-1) | H0 为 真 = 可 知 检 验 中 可 能 出 现 以 下 两 类 判 断 错 误 ：二 .检 验 中 可 能 犯 的 两 类 错 误第 一 类 错 误 当 H0 为 真 时 拒 绝 H0 的 错 误 ，即 “ 弃 真 ” 错 误 ， 犯 此 类 错 误 的 概 率 为 。第 二 类 错 误 当 H0 不 真 时 接 受 H0 的 错 误 ，即 “ 取 伪 ” 错 误 ， 记 犯 该 类 错 误 的 概 率 为 ， 即P tt(n-1) H0 不

10、真 = 由 于 H 0 不 真 时 与 H0 为 真 时 ， 统 计 量 t 的 分 布 是不 同 的 ， 故 1-。 Relationship Between a & a & 间 的 联 系 两 个 错 误 有 反 向 的 关系 14 由 图 可 知 ， 减 少 会 增 大 ， 反 之 也 然 。在 样 本 容 量 n 不 变 时 ， 不 可 能 同 时 减 小 犯 两 类 错 误 的 概 率 。应 着 重 控 制 犯 哪 类 错 误 的 概 率 ， 这 应 由 问 题 的 实 际 背 景 决 定 。n当 第 一 类 错 误 造 成 的 损 失 大 时 ， 就 应 控 制 犯 第 一 类 错

11、 误 的 概 率 (通 常 取 0.05， 0.01等 )；n反 之 ， 当 第 二 类 错 误 造 成 的 损 失 大 时 ， 就 应 控 制 犯 第 二 类 错 误的 概 率 。要 同 时 减 小 须 犯 两 类 错 误 的 概 率 ， 必 须 增 大 样 本 容 量 n。 x0H0： =0 t(n-1) H1： =1两 类 错 误 的 关 系 2/az 2/az 21 t (n -1) nSXt / 0 /2 /2 t/2(n-1)- t/2(n-1) 0f (x) x1- 设 X N( , 2 )， 2 未 知 ， X1, X2, , Xn 为 总 体X 的 样 本 ， 给 定 水 平

12、 ， 原 假 设 为 H0： =0 ( 0为 某 一 给 定 值 )当 H0 为 真 时 ， 统 计 量1. H 1： 0 (双 边 检 验 ) 当 H0 为 真 时 ，由 P-t/2 (n-1)tt/2 (n-1)=1- 可 得 ： 若 |t| t/2 (n-1) 就 拒 绝 H0， 接 受 H1；否 则 接 受 H0。 单 个 总 体 均 值 的 检 验 ( 2 未 知 ) 24 当 H0 为 真 时 ， 由 P t t ( n-1) =1-可 得 ： 若 t t ( n-1 ) 就 拒 绝 H0， 接 受 H1；否 则 就 认 为 并 不 显 著 高 于 0 。3. H 1： 0 (左

13、边 检 验 ) 由 P t -t (n-1) =1-可 得 ： 若 t 0 (右 边 检 验 ) 25 某 厂 生 产 的 一 种 钢 丝 抗 拉 强 度 服 从 均 值 为10560(kg/cm2)的 正 态 分 布 ， 现 采 用 新 工 艺 生产 了 一 种 新 钢 丝 ， 随 机 抽 取 10根 测 得 抗 拉 强度 为 ： 10512, 10623, 10668, 10554, 10776 10707, 10557, 10581, 10666, 10670 问 在 显 著 性 水 平 = 0.05下 ， 新 钢 丝 的 平 均抗 拉 强 度 比 原 钢 丝 是 否 有 显 著 提 高

14、 ? 案 例 1. 检 验 新 工 艺 的 效 果 26 案 例 1 解 答 ： ,4.10631xnSxt / 0说 明 新 工 艺 对 提 高 钢 丝 绳 的 抗 拉 强 度 是 有 显 著 效 果 的 。 本 案 例 为 右 边 检 验 问 题 ，设 新 钢 丝 的 平 均 抗 拉 强 度 为 ， 2 未 知 ， 故 使 用t 检 验 。 由 题 意 ，H0： =0， H1： 0由 所 给 样 本 数 据 ， 可 求 得 ： S = 81，n =10， =0.05， t0.05(9)=1.8331 t =2.7875 故 拒 绝 H0， 即 在 水 平 =0.05下 ， 显 著 高 于

15、0。10/81 105604.10631 7875.2t(n-1) = t0.05(9) =1.8331 27 在 案 例 1中 ， 若 取 = 0.01， 问 结 论 如 何 ?【 解 】 t0.01(9) = 2.8214， t =2.7875 P0 P 25%， 样 本 比 例 p = 112/400 = 0.28nPP PpZ /)1( 00 0 400/)25.01(25.0 25.028.0 3856.1 326.201.0 Z 34 设 H0： 2 = 02 (02为 某 一 给 定 值 )则 当 H0为 真 时 ， 统 计 量 与 前 面 分 析 完 全 类 似 地 ， 可 得 如 下 检 验 方 法 ：20 22 )1( Sn 统 计 量 H 1 拒 绝 域 20 22 )1( Sn 7.5 单 个 总 体 方 差 的 检 验 )1( 2 n 2 02 2 02 2 02 20 22 )1( Sn 故 拒 绝 H0， 即 该 机 床 加 工 精 度 已 显 著 下 降 。 应 立 即 停 工 检 修 ， 否 则 废 品 率 会 大 大 增 加 。 182 2020 0308 . .)1(2 n 【 案 例 2】 机 床 加 工 精 度 问 题)8( 2050 . 50715. 42 单 个 总 体 的 假 设 检 验 小 结