历年考研数学真题及解析

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1、 历年考研数学真题及解析 一.选择题 1. 若则= A0 B1 C2 D3 2. 设是一阶线性非齐次微分方程的两个特解，若常数使是该方程的解，是该方程对应的齐次方程的解，则 A B C D 3. 设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且若是g(x)的极值，则f(g(x))在取极大值的一个充分条件是 A B C D 4设则当x充分大时有 Ag(x)

2、向量组，下列命题正确的是： A若向量组I线性无关，则 B若向量组I线性相关，则r>s C若向量组II线性无关，则 D若向量组II线性相关，则r>s 6. 设A为4阶实对称矩阵，且，若A的秩为3，则A相似于 A B C D 7. 设随机变量X的分布函数，则P（X=1)= A0 B C D 8. 设为标准正态分布概率密度，为[-1,3]上均匀分布的概率密度，若为概率密度，则a,b满足： A2a+3b=4 B3a+2b=4 Ca+b=1 Da+b=2 二.填空题 9. 设可导函数y

3、=y(x),由方程确定，则 10. 设位于曲线下方，x轴上方的无界区域为G，则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为____________ 11. 设某商品的收益函数R(p),收益弹性为，其中p为价格，且R(1)=1,则R(p)=________________ 12. 若曲线有拐点(-1,0),则b=_____________ 13. 设A，B为3阶矩阵，且，则 14. 设 三.解答题 15. 求极限 16. 计算二重积分，其中D由曲线与直线。 17. 求函数u=xy+2yz在约束条件下的最大值和最小值。 18. （1） 比较的大小，说明理由。 （2） 记,求极限

4、 19. 设f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且 （1） 证明：存在 （2） 证明：存在 20 . 21. 设，正交矩阵Q使得为对角矩阵，若Q的第一列为，求a、Q. 22. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为求常数A及条件概率密度 23. 箱中装有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为1，2，3个。现从箱中随机地取出2个球，记X为取出的红球个数，Y为取出的白球个数。 （1） 求随机变量（X,Y）的概率分布； （2） 求Cov（X,Y）. 2010年考研数学三之答案与解析 答案：CAB

5、C ADCA 9. -1 10. 11 12.3 13.3 14. 三解答题 15. 解： 16. 解: 17.解： 18. 19. 20.解： 21 22. 23. 解： （1） 随机变量（X，Y）的概率分布为： X Y 0 1 2 0 1/5 2/5 1/15 1 1/5 2/15 0 (2) 2011年考研数学三试题

6、及解析 一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．) (1) 已知当时，与是等价无穷小，则( ) (A) . (B) . (C) . (D) . (2) 已知函数在处可导，且，则=( ) (A) 2. (B) . (C) . (D) . (3) 设是数列，则下列命题正确

7、的是( ) (A) 若收敛，则收敛. (B) 若收敛，则收敛. (C) 若收敛，则收敛. (D) 若收敛，则收敛. (4) 设，，，则的大小关系是( ) (A) ． (B) ． (C) ． (D) ． (5) 设为3阶矩阵，将的第2列加到第1列得矩阵，再交换的第2行与第3行得单位矩阵，记，，则( ) (A) ． 　　 (B) ． 　　 (C) ． (D) ． (6) 设为矩阵，是非齐次线性方程组的个线性无关的解，为任意常数，则的通

8、解为( ) (A) ． (B) ． (C) ． (D) ． (7) 设，为两个分布函数，其相应的概率密度，是连续函数，则必为概率密度的是( ) (A) ． 　　 (B) ． (C) ． 　　(D) ． (8) 设总体服从参数为的泊松分布，为来自总体的简单随机样本，则对应的统计量 ( ) (A) ，． (B) ，． (C) ，． (D) ，． 二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上．) (9) 设，则 .

9、(10) 设函数，则 . (11) 曲线在点处的切线方程为 . (12) 曲线，直线及轴所围成的平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积为 . (13) 设二次型的秩为1，的各行元素之和为3，则在正交变换下的标准形为 ． (14) 设二维随机变量服从正态分布，则= ． 三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) (15) (本题满分10分) 求极限． (16) (本题满分10分) 已知函数具有连续的二阶偏导数，是的极值，，求. (17) (本题

10、满分10分) 求. (18) (本题满分10分) 证明恰有2实根. (19) (本题满分10分) 设函数在有连续导数，，且, ，求的表达式. (20) (本题满分11分) 设向量组，不能由向量组，，线性表示． (I) 求的值； (II) 将由线性表示． (21) (本题满分11分) 为三阶实对称矩阵，的秩为2，即，且． (I) 求的特征值与特征向量； (II) 求矩阵． (22) (本题满分11分) 设随机变量与的概率分布分别为 1 且． (Ｉ)求二维随机变量的概率分布； (II)求的概率分布；

11、 (III)求与的相关系数． (23) (本题满分11分) 设二维随机变量服从区域上的均匀分布，其中是由与所围成的区域． (I)求边缘概率密度； (II)求条件密度函数． 2011年考研数学三试题答案 一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．) (1)【答案】(C)． 【解析】因为 ． 所以，故答案选(C). (2)【答案】(B)． 【解析】 ． 故答案选(B).

12、 (3)【答案】(A). 【解析】方法1：数项级数的性质：收敛级数任意添加括号后仍收敛，故(A)正确. 方法2：排除法，举反例． 选项(B)取，这时收敛，但发散，故选项(B)错误； 选项(C)取，这时收敛，但发散，故选项(C)错误； 选项(D)取，这时收敛，但发散，故选项(D)错误．故正确答案为(A). (4)【答案】(B)． 【解析】因为时， ， 又因是单调递增的函数，所以． 故正确答案为(B)． (5)【答案】 (D)． 【解析】由于将的第2列加到第1列得矩阵，故 ， 即，． 由于交换的第2行和第3行得单位矩阵，故 ， 即故．因此，，故选(D)． (6)

13、【答案】(C)． 【解析】由于是的3个线性无关的解，所以是的两个线性无关的解，即的基础解系中至少有2个线性无关的解，所以可排除(A)、(B)选项． 又因为，所以是的解，不是的解，故排除(D)选项，因此选(C)． 事实上，由于是的三个线性无关的解，所以是的两个线性无关的解，即的基础解系中至少有2个线性无关的解，亦即，故．由于，所以，故．这样，的基础解系中正好有2个线性无关的解，由此知是的一个基础解系． 因为是的解，所以，因此，所以是的一个特解． 由非齐次线性方程组解的结构，可知的通解为 ． (7)【答案】(D)． 【解析】选项(D)

14、 ． 所以为概率密度. (8)【答案】(D)． 【解析】因为， 所以，，从而有 ． 因为，所以． 又因为 ． ． 由于当时， ，所以． 二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上．) (9)【答案】. 【解析】因为， 所以，. (10)【答案】. 【解析】, ,， 所以，，， 从而 或. (11)【答案】. 【解析】方程的两端对求导，有 ， 将代入上式，有，解得， 故切线方程为：. (12) 【答案】. 【解析】如图２所示： x 2 y 1 0

15、． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图２ (13)【答案】． 【解析】因为的各行元素之和为3，所以，故3为矩阵的特征值． 由知矩阵有两个特征值为零，从而． 由于二次型在正交变换下标准形前面的系数即为二次型所对应矩阵的特征值，所以二次型在正交变换下的标准形为． (14)【答案】． 【解析】根据题意，二维随机变量服从．因为，所以由二维正态分布的性质知随机变量独立，所以．从而有 ． 三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) (15) (本题满分10分) 【解析】 (16)

16、 (本题满分10分) 【解析】 由于为的极值，故， 所以， (17) (本题满分10分) 【解析】令，则,，所以 (18) (本题满分10分) 【解析】设， 则 ， 令，解得驻点. 所以，当时，，故单调递减；当时，，故单调递增；当时，，故单调递减. 又当时，且，故时只有一个零点； 又，，由零点定理可知，存在，使； 所以，方程恰有两实根. (19) (本题满分10分) 【解析】， 由题设有 ， 上式两端求导，整理得 ， 为变量可分离微分方程，解得， 带入，得. 所以，. (20) (本题满分11分)

17、 【解析】(I)由于不能由线性表示，对进行初等行变换： ． 当时，，此时，不能由线性表示，故不能由线性表示． (II)对进行初等行变换： ， 故，，． (21) (本题满分11分) 【解析】(I)由于，设，则 ，即，而，知的特征值为，对应的特征向量分别为，． 由于，故，所以． 由于是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设对应的特征向量为，则 即 解此方程组，得，故对应的特征向量为． (II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化： ． 令，则，

18、． (22) (本题满分11分) 【解析】(I)因为，所以． 即 ． 利用边缘概率和联合概率的关系得到 ； ； ． -1 0 1 0 1/3 0 1 0 1/3 0 1/3 即的概率分布为 (II)的所有可能取值为． ． ． ． 的概率分布为 Z -1 0 1 P 1/3 1/3 1/3 (III)因为， 其中 ，． 所以，即，的相关系数． (23) (本题满分11分) 【解析】二维连续型随机变量的概率密度为 (Ｉ)当时，． 当时，． 的边缘概率密度为

19、 (II)当时，的边缘概率密度为． 当时，有意义，条件概率密度 2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）曲线渐近线的条数为（） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （2）设函数，其中为正整数，则 （A） （B） （C） （D） （3）设函数连续，则二次积分=（ ） （A） （B） （C） （D） （4）已知级数绝对收敛，条件收敛，则范围为（ ） （A）

20、（B） （C） （D） （5）设其中为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ） （A） （B） （C） （D） （6）设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且，，则（ ） （A） （B） （C） （D） （7）设随机变量与相互独立，且都服从区间上的均匀分布，则（ ） （A） （B） （C） （D） （8）设为来自总体的简单随机样本，则统计量的分布（ ） （A） （B） （C） （D） 二、填空

21、题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）________。 （10）设函数，求________。 （11） 函数满足，则 （12） 由曲线和直线及在第一象限中所围图形的面积为？ （13）设为3阶矩阵，,为的伴随矩阵，若交换的第一行与第二行得到矩阵,则________。 （14）设是随机事件，互不相容，,,则________。 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 计算 （16）（本题满分10分） 计算二重积分，其中D为由曲线与所围

22、区域。 （17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x（件）和（y件），且固定两种产品的边际成本分别为（万元/件）与（万元/件）。 1）求生产甲乙两种产品的总成本函数(万元) 2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本。 3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。 （18）（本题满分10分） 证明： （19）（本题满分10分）已知函数满足方程及 1）求表达式 2）求曲线的拐点 （20）（本题满分10分） 设， （

23、Ⅰ）求 （Ⅱ）已知线性方程组有无穷多解，求，并求的通解。 （21）（本题满分10分）三阶矩阵，为矩阵的转置，已知，且二次型。 1）求 2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。 （22）（本题满分10分） 已知随机变量以及的分布律如下表所示， X 0 1 2 P 1/2 1/3 1/6 Y 0 1 2 P 1/3 1/3 1/3 XY 0 1 2 4 P 7/12 1/3 0 1/12 求：（1）； （2）与. （23）（本题满分10分） 设随机变量和相互独立，且均服从参数为的指数分

24、布，. 求（1）随机变量的概率密度； （2） . 2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题解析 一、 选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）【答案】： 【解析】：，所以为垂直的 ，所以为水平的，没有斜渐近线 故两条选 （2） 【答案】： （3） 所以 （3）【答案】：（B） 【解析】：由解得的下界为，由解得的上界为.故排除答案（C）（D）. 将极坐标系下的二重积分化为型区域的二重积分得到被积函数为，故选（B）. （4）【答案】：（

25、D） 【解析】：考察的知识点是绝对收敛和条件收敛的定义及常见的级数的收敛性结论. 绝对收敛可知；条件收敛可知，故答案为（D） （5）【答案】：（C） 【解析】：由于，可知线性相关。故选（C） （6）【答案】：（B） 【解析】：，则， 故 故选（B）。 （7）【答案】：（D） 【解析】：由题意得， ，其中表示单位圆在第一象限的部分，被积函数是，故根据二重积分的几何意义，知，故选（D）. （8）【答案】：（B） 【解析】：从形式上，该统计量只能服从分布。故选。 具体证明如下：，由正态分布的性质可知，与均服从标准正态分布且相互独立，可知。 二、填空题：9-14小题，每小

26、题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）【答案】： 【解析】： = = = = = 所以= （10）【答案】： 【解析】： 由的表达式可知，可知 （11）【答案】： 【解析】：由题意可知分子应为分母的高阶无穷小，即， 所以，，故 （12） 【答案】： 【解析】：被积函数为1的二重积分来求，所以 （13）【答案】：-27 【解析】：由于，故， 所以，. （14）【答案】： 【解析】：由条件概率的定义，， 其中， ，由于互不相容，即，，又 ，得，代入得，故. 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解

27、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）【解析】： （16）（本题满分10分） y O 1 x 解析】：由题意知，区域，如图所示所以 （17）【解析】：1）设成本函数为，由题意有：， 对x积分得，， 再对y求导有，， 再对y积分有， 所以， 又，故，所以 2）若，则，代入到成本函数中，有 所以，令，得，这时总成本最小 3）总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本为，表示在要求总产量为50件时，在甲产品为24件，这时要改变一个单位的产量，成本会发生32万元的改变。 （18）【解析】：令，可得 当时，有，，

28、所以， 故，而，即得 所以。 当，有，，所以， 故，即得 可知， （19）【解析】： 1）特征方程为，特征根为，齐次微分方程的通解为.再由得，可知。 故 2）曲线方程为，则， 令得。为了说明是唯一的解，我们来讨论在和时的符号。 当时，，可知；当时，，可知。可知是唯一的解。 同时，由上述讨论可知曲线在左右两边的凹凸性相反，可知点是曲线唯一的拐点。 （20）【解析】：（Ⅰ） （Ⅱ） 可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有及，可知。 此时，原线性方程组增广矩阵为，进一步化为行最简形得 可知导出组的基础解系为，非齐次方程的特解为，故其通解为 线性方程组存在2个不同

29、的解，有. 即：，得或-1. 当时, ，显然不符，故. （21）【解析】：1）由可得， 2） 则矩阵 解得矩阵的特征值为： 对于得对应的特征向量为： 对于得对应的特征向量为： 对于得对应的特征向量为： 将单位化可得： ，， （22）【解析】： X 0 1 2 P 1/2 1/3 1/6 Y 0 1 2 P 1/3 1/3 1/3 XY 0 1 2 4 P 7/12 1/3 0 1/12 （1） （2） ， 其中 , 所以，，，,. （23）【解析】： （1）概率密度为分布函

30、数为和同分布. 由，， 而独立，故上式等于 故 （2）同理，的概率密度为： ，， 所以. 2013年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）当时，用表示比高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A） （B） （C） （D） （2）函数的可去间断点的个数为（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3

31、 （3）设是圆域位于第象限的部分，记，则（ ） （A） （B） （C） （D） （4）设为正项数列，下列选项正确的是（ ） （A）若收敛 （B）收敛，则 （C）收敛，则存在常数,使存在 （D）若存在常数，使存在，则收敛 （5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若 （A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 （D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价 （6）矩阵与相似的充分必要条件为 （A） （B） （C） （D） （7）设是随机变量，且, 则（

32、） （A） （B） （C） （D） （8）设随机变量X和Y相互独立，则X和Y的概率分布分别为， 则 ( ) （A） （B） （C） （D） 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）设曲线和在点处有公共的切线，则________。 （10）设函数由方程确定，则________。 （11）求________。 （12）微分方程通解为________。 （13）设是三阶非零矩阵，为A的行列式，为的代数余子式，若 （14）设随机变量X服从标准正态分布,则= ________。 三、解答题：15—23小题，

33、共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 当时，与为等价无穷小，求与的值。 （16）（本题满分10分） 设是由曲线，直线及轴所围成的平面图形，分别是绕轴，轴旋转一周所得旋转体的体积，若，求的值。 （17）（本题满分10分） 设平面内区域由直线及围成.计算。 （18）（本题满分10分） 设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为，（P是单价，单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该商品的边际利润。 （2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。 （3）使得利润

34、最大的定价P。 （19）（本题满分10分） 设函数在上可导，，证明 （1）存在，使得 （2）对（1）中的，存在使得 （20）（本题满分11分） 设，当为何值时，存在矩阵使得，并求所有矩阵。 （21）（本题满分11分） 设二次型，记。 （I）证明二次型对应的矩阵为； （II）若正交且均为单位向量，证明二次型在正交变化下的标准形为二次型。 （22）（本题满分11分） 设是二维随机变量，的边缘概率密度为，在给定的条件下，的条件概率密度 （1） 求的概率密度； （2） 的边缘概率密度. （23）（本题满分11分） 设总体的概率密度为其中为未知参数且大于零，为来自总体的简

35、单随机样本. （1）求的矩估计量； （2）求的最大似然估计量. 2013年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）当时，用表示比高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】，故D错误。 （2）函数的可去间断点的个数为（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】C 【解析】由题意可知的间断点为。又 故的可去间断点有2

36、个。 （3）设是圆域位于第象限的部分，记，则（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】令，则有 故当时，，此时有故正确答案选B。 （4）设为正项数列，下列选项正确的是（ ） （A）若收敛 （B）收敛，则 （C）收敛，则存在常数,使存在 （D）若存在常数，使存在，则收敛 【答案】D 【解析】根据正项级数的比较判别法，当时，，且存在，则与同敛散，故收敛. （5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若，且可逆，则（ ） （A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 （C）矩阵C的行

37、向量组与矩阵B的行向量组等价 （D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价 【答案】（B） 【解析】由可知C的列向量组可以由A的列向量组线性表示，又B可逆，故有，从而A的列向量组也可以由C的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（B）。 （6）矩阵与相似的充分必要条件为 （A） （B） （C） （D） 【答案】(B) 【解析】由于为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而与相似的充分必要条件为的特征值为。 又，从而。 （7）设是随机变量，且, 则（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】（A） 【解析】由知， ， ，故. 由根

38、据及概率密度的对称性知，，故选（A） （8）设随机变量X和Y相互独立，则X和Y的概率分布分别为， 则 ( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】（C） 【解析】，又根据题意独立，故 ，选（C）. 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）设曲线和在点处有公共的切线，则________。 【答案】 【解析】在处的导数是，故， （10）设函数由方程确定，则________。 【答案】 【解析】原式为左右两边求导得： 得 （11）求________。 【答案】 【解析】 （12）微分方程

39、通解为________。 【答案】 【解析】特征方程为，所以通解为 （13）设是三阶非零矩阵，为A的行列式，为的代数余子式，若 【答案】 【解析】 （14）设随机变量X服从标准正态分布,则= ________。 【答案】 【解析】由及随机变量函数的期望公式知 . 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 当时，与为等价无穷小，求与的值。 【解析】因为当时，与为等价无穷小 所以 又因为： 即 所以 且 （16）（本题满分10分） 设是由曲

40、线，直线及轴所围成的平面图形，分别是绕轴，轴旋转一周所得旋转体的体积，若，求的值。 【解析】由题意可得： 因为： 所以 （17）（本题满分10分） 设平面内区域由直线及围成.计算。 【解析】 （18）（本题满分10分） 设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为，（P是单价，单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该商品的边际利润。 （2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。 （3）使得利润最大的定价P。 【解析】（I）设利润为，则 边际利润 （II）当时，边际利润为20， 经济意义为：当时，销量每增

41、加一个，利润增加20 (III)令，此时 （19）（本题满分10分） 设函数在上可导，，证明 （1）存在，使得 （2）对（1）中的，存在使得 【答案】（I）证明：， 上连续，根据连续函数介值定理，存在 （II）在上连续且可导，根据拉格朗日中值定理， ， 故 （20）（本题满分11分） 设，当为何值时，存在矩阵使得，并求所有矩阵。 【解析】 由题意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设，则由可得线性方程组： （1） 由于方程组（1）有解，故有，即从而有 ，故有 从而有 （21）（本题满分11分） 设二次型，记。 （I）证明二次型对应的矩阵

42、为； （II）若正交且均为单位向量，证明二次型在正交变化下的标准形为二次型。 【答案】(1) （2），则1,2均为A的特征值，又由于，故0为A的特征值，则三阶矩阵A的特征值为2,1,0，故f在正交变换下的标准形为 （22）（本题满分11分） 设是二维随机变量，的边缘概率密度为，在给定的条件下，的条件概率密度 （3） 求的概率密度； （4） 的边缘概率密度. 【答案】（1） （2） （23）（本题满分11分） 设总体的概率密度为其中为未知参数且大于零，为来自总体的简单随机样本. （1）求的矩估计量； （2）求的最大似然估计量. 【答案】(1)，令，故

43、矩估计量为. (2) 当时， 令， 得，所以得极大似然估计量=. 2014年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）设且则当n充分大时有（ ） （A） （B） （C） （D） （2）下列曲线有渐近线的是（ ） （A） （B） （C） （D） （3）设 ，当 时

44、，若 是比x3高阶的无穷小，则下列试题中错误的是 （A） （B） （C） （D） （4）设函数具有二阶导数，，则在区间上（ ） （A）当时， （B）当时， （C）当时， （D）当时， （5）行列式 （A） （B） （C） （D） （6）设均为3维向量，则对任意常数，向量组线性无关是向量组线性无关的 （A）必要非充分条件 （B）充分非必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分也非必要条件 （7）设随机事件A与B相互独立，且P（B）=0.5，P(A-B)=0.3，求P（B-A）=（ ） （A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D

45、）0.4 （8）设为来自正态总体的简单随机样本，则统计量服从的分布为 （A）F（1,1） （B）F（2,1） （C）t(1） （D）t(2) 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）设某商品的需求函数为（P为商品价格），则该商品的边际收益为_________。 (10)设D是由曲线与直线及y=2围成的有界区域，则D的面积为_________。 (11)设，则 (12)二次积分 （13）设二次型的负惯性指数为1，则的取值范围是_________ （14）设总体的概率密度为，其中是未知参数, 为来自总体X的简单样本，若

46、 是的无偏估计，则c = _________ 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 求极限 （16） （本题满分10分） 设平面区域，计算 （17）（本题满分10分） 设函数具有2阶连续导数，满足，若，求的表达式。 （18） （本题满分10分） 求幂级数的收敛域及和函数。 （19） （本题满分10分） 设函数在区间上连续，且单调增加，，证明： （I） （II） （20）（本题满分11分）设，为3阶单位矩阵。 ①求方程组的一个基础解系； ②求满足的所有

47、矩阵 （21）（本题满分11分）证明阶矩阵与相似。 （22）（本题满分11分） 设随机变量X的概率分布为P{X=1}=P{X=2}=，在给定的条件下，随机变量Y服从均匀分布 （1）求Y的分布函数 （2）求EY （23）（本题满分11分） 设随机变量X与Y的概率分布相同，X的概率分布为且X与Y的相关系数 （1） 求（X，Y）的概率分布 （2）求P{X+Y1} 2014年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ACD

48、CBABC 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） （10） （11） （12） （13）[-2,2] （14） 三、解答题：（15）【答案】 （16） 【答案】 （17）【答案】 令， 则， 故 由得 （18）【答案】 由，得 当时，发散，当时，发散， 故收敛域为。 时， 。 时，，故和函数， 17. 【答案】 证明：1）因为，所以有定积分比较定理可知，，即 。 2）令 由1）可知， 所以。 由是单调递增，可知 由因为，所以，单调递增，所以，得证。

49、 （20）【答案】① ② （21）【答案】利用相似对角化的充要条件证明。 （22）【答案】（1） （2） （23）【答案】（1） Y X 0 1 0 1 （2） 2015年考研数学三真题与解析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1．设是数列，则下列命题中不正确的是（ ） （A）若，则（B）若，则 （C）若，则 (D) 若，则 2．设函数在上连续，其二阶导数的图形如右图所示，则曲线在的拐点个数为

50、 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 3．设，函数在D上连续，则 （A） （B） （C） （D） 4．下列级数发散的是（ ） （A） （B） （C） （D） ５．设矩阵，若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件是 （A） （B） （C） （D） 6．设二次型在正交变换下的标准形为，其中，若，则在下的标准形为 （A） （B） （C）

51、 （D） 7．若为任意两个随机事件，则（ ） （A） （B） （C） （D） 8．设总体为来自总休的简单随机样本，为样本均值，则 （A） （B） （C） （D） 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9． 10．设函数连续，，若，则 ． 11．若函数由方程确定，则 ． 12．设函数是微分方程的解，且在处取极值，则 ． 13．设三阶矩阵的特征

52、值为，，其中为三阶单位矩阵，则行列式 ． 14．设二维随机变量服从正态分布，则 ． 三、解答题 15．（本题满分10分）设函数，在时为等价无穷小，求常数的取值． 16．（本题满分10分） 计算二重积分，其中 17．（本题满分10分） 为了实现利润最大休，厂商需要对某商品确定其定价模型，设为该商品的需求量，为价格，为边际成本，为需求随意性． （1）证明定价模型为； （2）若该商品的成本函数为，需

53、求函数，试由（1）中的定价模型确定此的价格． 18．（本题满分10分） 设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的，曲线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求的表达式． 19．（本题满分10分） （1）设函数都可导，利用导数定义证明； （2）设函数都可导，，写出的求导公式． 20．（本题满分11分） 设矩阵，且． （1）求的值； （2）若矩阵满足，其中为三阶单位矩阵，求X．

54、 21．（本题满分11分） 设矩阵相似于矩阵． （1）求的值； （2）求可逆矩阵，使为对角矩阵． 22．（本题满分11分）设随机变量X的概率密度为 对X进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记为次数． 求的分布函数； （1） 求的概率分布； （2） 求数学期望 23．（本题满分11分） 设总体的概率密度为 其中为未知参数，是来自总体的简单样本． （1）求参数的矩估计量； （2）求参数的最大似然估计量． 试题

55、解析 一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1)【答案】(D) 【解析】答案为D, 本题考查数列极限与子列极限的关系. 数列对任意的子列均有,所以A、B、C正确； D错(D选项缺少的敛散性),故选D (2) 【答案】(C) 【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是不存在的点或的点处产生.所以有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导函数符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知，拐点个数为2，故选C. (3) 【答案】(B) 【解析】根据图可得，在极坐标系下该二重

56、积分要分成两个积分区域 所以， 故选B. (4) 【答案】(C) 【解析】A为正项级数，因为，所以根据正项级数的比值判别法收敛；B为正项级数，因为，根据级数收敛准则，知收敛；C，，根据莱布尼茨判别法知收敛， 发散，所以根据级数收敛定义知，发散；D为正项级数，因为，所以根据正项级数的比值判别法收敛，所以选C. (5)【答案】(D) 【解析】， 由，故或，同时或.故选（D） (6) 【答案】(A) 【解析】由，故. 且. 又因为 故有 所以.选（A） (7) 【答案】(C) 【解析】由于，按概率的基本性质，我们有且，从而，选(C) . (8) 【答案】(B)

57、 【解析】根据样本方差的性质，而，从而，选(B) . 二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 【答案】 【解析】原极限 (10)【答案】 【解析】因为连续，所以可导，所以； 因为，所以 又因为，所以 故 (11)【答案】 【解析】当，时带入，得. 对求微分，得 把，，代入上式，得 所以 (12)【答案】 【解析】的特征方程为，特征根为，，所以该齐次微分方程的通解为，因为可导，所以为驻点，即 ，，所以，，故 (13)【答案】 【解析】的所有特征值为的所有特征值为 所以. (14)【答案】 【解析】

58、由题设知，，而且相互独立，从而 . 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)【答案】 【解析】法一： 因为，， 则有，， 可得：，所以，． 法二： 由已知可得得 由分母，得分子，求得c； 于是 由分母，得分子 ，求得； 进一步，b值代入原式 ，求得 (16)【答案】 【解析】 (17)(本题满分10分) 【答案】(I)略(II) . 【解析】(I)由于利润函数,两边对求导，得 . 当且仅

59、当时，利润最大，又由于,所以, 故当时，利润最大. (II)由于,则代入(I)中的定价模型，得,从而解得. (18)【答案】 【解析】曲线的切线方程为，切线与轴的交点为 故面积为：. 故满足的方程为,此为可分离变量的微分方程, 解得，又由于，带入可得，从而 (19)【答案】 【解析】（I） （II）由题意得 (20) 【答案】 【解析】(I) (II)由题意知 ， (21) 【答案】 【解析】(1)

60、的特征值 时的基础解系为 时的基础解系为 A的特征值 令， (22) 【答案】(I)， ； (II). 【解析】(I) 记为观测值大于3的概率，则， 从而， 为的概率分布； (II) 法一:分解法: 将随机变量分解成两个过程,其中表示从到次试验观测值大于首次发生，表示从次到第试验观测值大于首次发生. 则，(注：Ge表示几何分布) 所以. 法二:直接计算 记，则， ， ， 所以， 从而. (23) 【答案】(I) ； (II). 【解析】(I) ， 令，即，解得为的矩估计量 ； (II)似然函数， 当时，，则. 从而，关于单调增加， 所

61、以为的最大似然估计量. 2016考研数学三真题及超详细答案解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）设函数在内连续，其导数如图所示，则（ ） （A）函数有2个极值点，曲线有2个拐点 （B）函数有2个极值点，曲线有3个拐点 （C）函数有3个极值点，曲线有1个拐点 （D）函数有3个极值点，曲线有2个拐点 【答案】（B） 【解析】【解析】由图像易知选B 2、已知函数，则 （A） （B） （C） （D） 【答案】（D） 【解析】 ，所以

62、（3）设，其中，，则 （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】由积分区域的性质易知选B. （4）级数为，（K为常数） （A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）收敛性与K有关 【答案】A 【解析】由题目可得， 因为，由正项级数的比较判别法得，该级数绝对收敛。 （5）设是可逆矩阵，且与相似，则下列结论错误的是（ ） （A）与相似 （B）与相似 （C）与相似 （D）与相似 【答案】（C） 【解析】此题是找错误的选项。由与相似可知，存在可逆矩阵使得，则 此外，在（C）中，对于，若，则，而未必等于，故（C）符合题意。综上可知

63、，（C）为正确选项。 （6）设二次型的正负惯性指数分别为，则（ ） （A） （B） （C） （D）或 【答案】（C） 【解析】考虑特殊值法，当时，， 其矩阵为，由此计算出特征值为，满足题目已知条件，故成立，因此（C）为正确选项。 7、设为随机事件，若则下面正确的是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】（A） 【解析】根据条件得 8、设随机变量独立，且，则为 （A）6 （B）8 （C）14 （D）15 【答案】（C） 【解析】因为独立， 则 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答

64、案写在答题纸指定位置上. (9)已知函数满足，则 【答案】6 【解析】因为 所以 (10)极限． 【答案】 【解析】 (11)设函数可微，有方程确定，则． 【答案】 【解析】两边分别关于求导得 ，将代入得， (12) （13）行列式____________. 【答案】 【解析】 14、设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回的取球，每次取1个，直到三种颜色的球都取到为止，则取球次数恰为4的概率为 【答案】 【解析】 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 （本题

65、满分10分）求极限 【解析】 16、（本题满分10分） 设某商品的最大需求量为1200件，该商品的需求函数，需求弹性，为单价（万元） (1)求需求函数的表达式 (2)求万元时的边际收益，并说明其经济意义。 【解析】（1）由弹性的计算公式得 可知 分离变量可知 两边同时积分可得 解得 由最大需求量为1200可知 ，解得 故 （2）收益 边际收益： 已知 经济学意义是需求量每提高1件，收益增加8000万元. （17） （本题满分10分） 设函数求，并求的最小值。 【解析】当时， 当时， 则 由导数的定义可知， 故 由于是偶函

66、数，所以只需求它在上的最小值。 易知 可知的最小值为。 （18） （本题满分10分）设函数连续，且满足，求 【解析】令，则 代入方程可得 两边同时求导可得 由于连续，可知可导，从而也可导。 故对上式两边再求导可得 在(1)式两边令可得 解此微分方程可得 （19）（本题满分10分）求 幂级数的收敛域和和函数。 【解析】令 两边同时求导得 两边同时求导得 两边积分可得 由可知， 两边再积分可知 易知，的收敛半径为1， 且当时级数收敛，可知幂级数的收敛域为[-1,1] 因此，，[-1,1] （20）（本题满分11分）设矩阵，且方程组无解， （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求方程组的通解 【解析】 （Ⅰ）由方程组无解，可知，故这里有，或。由于当时，，而当时，。综上，故符合题目。 （Ⅱ）当时，，故 ， 因此，方程组的通解为,其中为任意实数。 （21）（本题满分11分） 已知矩阵. （Ⅰ）求； （Ⅱ）设3阶矩阵，满足，记，将分别表示为的线性组合。 【解析】 （Ⅰ）利用相似对角化。 由，可得的特征值为