平面向量数量积的坐标表示模

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1、2.4.2 平 面 向 量 数 量 积 的 坐 标 表 示 、 模 、 夹 角 2、 数 量 积 的 定 义 ： cos| baba 1、 向 量 夹 角 的 定 义 ： AOBbOBaOA 则, 0 ，共 起 点 ， 范 围与 ba cos|b 叫 做 方 向 上 的 投 影在 ab 规 定 0与 任 何 向 量 的 数 量 积 为 04、 数 量 积 的 几 何 意 义 ：ba 等 于 a的 长 度 |a 方 向 上 的 投 影在 ab 与cos|b 的 乘 积 。3、 投 影 ： 一 .复 习 回顾 5、 数 量 积 的 重 要 性 质设 ba 、 是 非 零 向 量 ， be 是 与

2、方 向 相 同 的单 位 向 量 ， ea 与是 的 夹 角 ， 则cos|)1( aeaae 0)2( baba |;|)3( bababa 同 向 时 ，与当 |;| bababa 反 向 时 ，与当特 别 地 ， 2|aaa aaa |或|)5( baba (判 断 两 向 量 垂 直 的 依 据 ) 平 面 向 量 的 数 量 积 复 习 回顾 3)123 a b b aa b a b a ba b c a c b c 运 算 律 ： = a b b c a ca b c a b c 错 （ 消 去 律 ）错 （ 结 合 律 ） 1、 平 面 向 量 数 量 积 的 坐 标 表 示如

3、图 ， 是 x轴 上 的 单 位 向 量 ， 是 y轴 上 的 单 位 向 量 ，由 于 所 以 i jcosbaba x ijy o B(x2,y2) ab A(x1,y1) ii jj ijji . . . 1 1 0 平 面 两 向 量 数 量 积 的 坐 标 表 示 1 1 2 2, , , ,a x y b x y a b 非 零 向 量 1 2 1 2a b x x y y 1 1a x i y j 2 2,b x i y j 1 1 2 2( )( )a b x i y j x i y j 2 21 2 1 2 2 1 1 2x x i x y i j x y i j y y j

4、 1,i i 1j j , 0i j j i 故 两 个 向 量 的 数 量 积 等 于 它 们 对 应坐 标 的 乘 积 的 和 。 即 ij x o B(x2,y2) A(x1,y1) ab y .2121 yyxxba 根 据 平 面 向 量 数 量 积 的 坐 标 表 示 ， 向 量的 数 量 积 的 运 算 可 转 化 为 向 量 的 坐 标 运 算 。 ；或 aaaaaa 2)1( 221221 2211 2222 2 ),(),2 ,),()1( yyxxAB yxByxA yxayxayxa （则 、（设 ） 两 点 间 的 距 离 公 式（ ；或则设 向 量 的 模 2、 向

5、 量 的 模 和 两 点 间 的 距 离 公 式 平 面 向 量 数 量 积 的 坐 标 表 示 、 模 、 夹 角例 1 ( 3,4), (6, 8), , , , .a b a b ab a b a b 已 知 求 5 10 50 75( ) ; ( ) a b c a b c1.设 a =(2,3)， b =(-1,-2)， c=(2,1)， 求练 习 2 ( 1) 3 ( 2) 8 ( ) 8 (2,1) ( 16, 8)b c ( 1) 2 ( 2) 1 4( ) 4 (2,3) ( 8, 12) a ba b ca b c解 ： 0 baba（ 1） 垂 直 0 ),(), 212

6、1 2211 yyxxba yxbyxa 则（设3、 两 向 量 垂 直 和 平 行 的 坐 标 表 示 0/ ),(), 1221 2211 yxyxba yxbyxa 则（设（ 2） 平 行 例 2 已 知 A(1， 2)， B(2， 3)， C(-2， 5)，试 判 断 ABC的 形 状 ， 并 给 出 证 明 .A(1,2)B(2,3)C(-2,5) x0y .ABC是 直 角 三 角 形三 角 形 )1,1()23,12(AB: 证 明 )3,3()25,12(AC 031)3(1ACAB ACAB 变 式 在 ABC中 ， =(2， 3)， =(1， k)，且 ABC的 一 个 内

7、 角 为 直 角 ， 求 k值 .AB AC当 B = 90时 ， = 0， AB BC = = (1， k3)BC AC AB 2 (1) +3 (k3) = 0 k = 311当 C = 90时 ， = 0， AC BC 1 + k(k3) = 0 k = 2133综 上 所 述 213331123 或或k解 ： 当 A = 90时 ， AB AC=0, 2 1+3 k=0 k = 23 4、 两 向 量 夹 角 公 式 的 坐 标 运 算ba baba cos 1800则 ） ，（的 夹 角 为与设 0.0 .cos)180(0 ),(), 22222121 22222121 21212

8、211 yxyx yxyx yyxxbayxbyxa ，其 中 则 ，夹 角 为与且（设 等 于 （ ） ？ 的 余 弦 值夹 角则，例 ： 已 知 babaa ,),18,3(2),34( 6516 o o o 2 34:已 知 =( 3 , )( 0), =(-2, )，3与 的 角 是 （ ）A 60 B 90 C 120 D 由 m的 取 值 确 定则 夹a m m m ba b A 平 面 向 量 数 量 积 的 坐 标 表 示 、 模 、 夹 角小 结 （ 1） 设 a =（ x， y） ， 则 或 |a |= .2|a 22 yx 22 yx 若 设 、 则 11,yxA 22,

9、yxB AB 212212 yyxx （ 2） 写 出 向 量 夹 角 公 式 的 坐 标 式 ， 向 量 平 行 和 垂 直 的 坐标 表 示 式 . 22222121 2121cos yxyx yyxx 1 2 2 1/ 0a b xy xy 1 2 1 2 0a b xx yy 两 个 向 量 的 数 量 积 等 于 它 们 对 应 坐 标 的 乘 积 的 和 ， 即2121 yyxxba 1.向 量 则 的 最 大 值 ， 最 小 值 分 别 是(cos ,sin ), ( 3, 1) a b|2 |a - b 4 , 02.已 知 0 0 1 3(cos ,sin )(0 360 )

10、, ( , )2 2 a b则 a+b与 a-b的 夹 角 为 2 平面向量应用举例平面几何的向量方法 平 面 几 何 中 的 向 量 方 法 向 量 概 念 和 运 算 ， 都 有 明 确 的 物 理 背 景 和几 何 背 景 。 当 向 量 与 平 面 坐 标 系 结 合 以 后 ， 向量 的 运 算 就 可 以 完 全 转 化 为 “ 代 数 ” 的 计 算 ，这 就 为 我 们 解 决 物 理 问 题 和 几 何 研 究 带 来 极 大的 方 便 。 由 于 向 量 的 线 性 运 算 和 数 量 积 运 算 具 有 鲜明 的 几 何 背 景 ， 平 面 几 何 的 许 多 性 质 ，

11、 如 平 移 、全 等 、 相 似 、 长 度 、 夹 角 都 可 以 由 向 量 的 线 性运 算 及 数 量 积 表 示 出 来 ， 因 此 ， 利 用 向 量 方 法可 以 解 决 平 面 几 何 中 的 一 些 问 题 。 问 题 ： 平 行 四 边 形 是 表 示 向 量 加 法 与 减 法 的几 何 模 型 。 如 图 ， 你 能 发 现 平 行 四 边 形 对 角线 的 长 度 与 两 条 邻 边 长 度 之 间 的 关 系 吗 ？,AC AB AD ,DB AB AD A B CD猜 想 ：2.类 比 猜 想 ， 平 行 四 边 形 有 相 似 关 系 吗 ？ 例 1、 证 明

12、 平 行 四 边 形 四 边 平 方 和 等 于 两 对 角 线 平 方 和A BD C已 知 ： 平 行 四 边 形 ABCD。求 证 ： 222222 BDACDACDBCAB bADaAB ,解 ： 设 ， 则 , , ;BC bDC a AC a bDB a b 分 析 ： 因 为 平 行 四 边 形 对 边 平 行 且 相等 ， 故 设 其 它 线 段 对 应 向量 用 它 们 表 示 。 bADaAB , )(2 222222 baDACDBCAB 2222 babaBDAC 22222222 2222 bababbaabbaa 222222 BDACDACDBCAB 你 能 总 结 一 下 利 用 向 量 法 解 决 平 面 几 何 问 题 的基 本 思 路 吗 ？（ 1） 建 立 平 面 几 何 与 向 量 的 联 系 ， 用 向 量 表示 问 题 中 涉 及 的 几 何 元 素 ， 将 平 面 几 何 问 题转 化 为 向 量 问 题 ；（ 2） 通 过 向 量 运 算 ， 研 究 几 何 元 素 之 间 的 关系 ， 如 距 离 、 夹 角 等 问 题 ；（ 3） 把 运 算 结 果 “ 翻 译 ” 成 几 何 元 素 。用 向 量 方 法 解 决 平 面 几 何 问 题 的 “ 三 步 曲” ：