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1、3.2 中值定理中值定理1问题问题：研究函数研究函数 y=f(x)的增量的增量与与 x 的关系的关系,给出一个等号成立的简单表达式给出一个等号成立的简单表达式设设 y=f(x),如果存在如果存在 x0 的邻域的邻域 N(x0),使对任意的使对任意的 有有则称则称 f(x)在在 x0 处有处有极小值极小值(或或极大值极大值),极大值、极小值统极大值、极小值统称为称为极值极值,极大值点、极小值点统称为极大值点、极小值点统称为极值点极值点 f(x)的的极小值点极小值点(或或极大值点极大值点).而而 x0 称为称为 1说明说明:(1)几何解释几何解释:是极大值点是极大值点是极小值点是极小值点(2)一个
2、函数可能有多个极值一个函数可能有多个极值,而且极大值并不一而且极大值并不一定大于极小值定大于极小值 2问题问题:极值点是什么样的点极值点是什么样的点?定理定理(费马定理费马定理)若若 x0 是是 y=f(x)的极值点的极值点,则当则当存在时存在时,必有必有证明证明 不妨设不妨设 x0 是极小值点是极小值点,使使则根据定义则根据定义,存在存在 N(x0)3说明说明:(1)定理说明定理说明:在存在导数的极值点处在存在导数的极值点处,必必有水平切线有水平切线(2)我们把使我们把使 的点的点 x0 称为称为驻点驻点(稳定点稳定点)(3)驻点未必是极值点驻点未必是极值点(反例反例:处处)不可微点也可能是
3、极值点不可微点也可能是极值点(反例反例:处处)(4)临界点临界点:驻点和不可微点统称为驻点和不可微点统称为临界点临界点 定理定理(局部极值点的必要条件局部极值点的必要条件)注意注意:临界点不一定是极值点临界点不一定是极值点函数函数 y=f(x)的极值点必定是它的驻点的极值点必定是它的驻点或或不可微点不可微点420 中值定理中值定理定理定理(罗尔定理罗尔定理)设设 y=f(x)Ca,b,在在(a,b)上上 可导可导,且且 f(a)=f(b),则必存则必存在在使使证明证明因为因为 f(x)Ca,b,(1)若若 m=M,则则 f(x)C,可任可任取取有有(2)若若 m M,则则 必有其一属于必有其一
4、属于(a,b),不妨设不妨设据最值定理知据最值定理知,存在存在5说明说明:(1)几何意义几何意义:(2)罗尔定理中的三个条件罗尔定理中的三个条件:(a)f(x)在在a,b 上连续上连续;(b)(a,b)上可上可导导;(c)f(a)=f(b)一般不可松动一般不可松动反例反例:(3)定理指出了导函数定理指出了导函数 的零点问题的零点问题6例例 求证求证:方程方程在在(0,1)内内至少有一实根至少有一实根设设 满足满足解解分析分析:构造一函数构造一函数 F(x),使使 此时此时 F(x)C(R)而且而且 F(0)=F(1)而且而且 F(0)=F(1).根据罗尔定理根据罗尔定理,存存在在使使即即设设7
5、例例设函数设函数 f(x)可导可导,证明证明:在在 f(x)的两个相异零的两个相异零点所构成的区间内点所构成的区间内,至少有至少有 的一个零点的一个零点证明证明设设 x1,x2 是是 f(x)的两个零点的两个零点,且且 x1 x2 构造辅助函数构造辅助函数 ,此时此时 有有而且而且,F(x)在在 x1,x2 上连续上连续,(x1,x2)上可导上可导,根据罗尔定理根据罗尔定理,存在存在即即8罗尔定理的几何意义也罗尔定理的几何意义也一条切线平行于一条切线平行于AB 弦弦 可以解释为可以解释为:至少存在至少存在问题问题:去掉去掉 f(a)=f(b)的条件的条件,此结论是否此结论是否仍然成立仍然成立?
6、左图显示此结论是正确的左图显示此结论是正确的9定理定理(拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理)如果如果 y=f(x)在在 a,b 上连续上连续,(a,b)内可导内可导,则至少存在一则至少存在一 使使(AB 弦的斜率弦的斜率)即即证明证明构造辅助函数构造辅助函数则则 F(x)在在 a,b 上连续上连续,(a,b)内可导内可导,而且而且 10根据罗尔定理根据罗尔定理,存在存在即即 说明说明:(1)(2)即有即有11解解设设 ,求满足拉格朗日中值公式求满足拉格朗日中值公式例例任取任取则则 在在 x,x+x 上满足拉格朗日中值定理的条件上满足拉格朗日中值定理的条件 所以所以,存在存在 0 0,此时此时 f
7、(a+b)f(a)+f(b)f(a+b)f(b)f(a)14故对函数故对函数 f(x)分别在分别在 0,a ,b,a+b 上利上利用用拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理,分别使分别使即即 f(a+b)f(a)+f(b)存在存在15又又 f(a)0,设设 f(x)在在 a,+)上连续上连续,在在(a,+)上上可导可导,例例证明证明:f(x)=0 在在 内有唯一的实根内有唯一的实根 解解希望在希望在 上利用零值定理上利用零值定理 由由 f(a)0)上连续上连续,在在(x0,x0+h)上可导上可导,且且 则则即即存在存在 使使18若曲线由参数方程若曲线由参数方程(其中其中 atb)给给出出,则在曲线则
8、在曲线 上上,存在某点存在某点 C (设设其参数为其参数为),在在 C 处处所作的切所作的切线与线与AB 弦平行弦平行 CA(g(a),f(a)、B(g(b),f(b),如果设如果设 A、B 点的坐标为点的坐标为即应有即应有19定理定理(cauchy 中值定理中值定理)如果如果(1)f(x),g(x)在在 a,b 上连续上连续;(2)f(x),g(x)在在(a,b)内可导内可导;对任意对任意 x (a,b),(3)则至少存在一则至少存在一 (a,b),使使证明证明因为因为20构造辅助函数构造辅助函数:则则 F(x)在在 a,b 上连续上连续,(a,b)内可导内可导,而且有而且有 根据罗尔定理根
9、据罗尔定理,存在存在 (a,b)使使注意注意:在定理的条件下在定理的条件下21例例 若若 f(x)在在 a,b 上连续上连续,在在(a,b)内可导内可导(a0),证明证明:在在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点,使使成立成立解解上式等价于上式等价于设设则由则由 a 0 知知,f(x),g(x)满足柯满足柯西中值定理的条件西中值定理的条件,即即 存在存在 (a,b),使使22例例设设 f(x)在在 x1,x2 上可微上可微,且且 x1x2 0,证明证明:存在存在 (x1,x2)使使 解解原式原式故取故取由由 x1 x2 0,可知可知 F(x),G(x)在在 x1,x2 上满足柯西中值定理条件上满足柯西中值定理条件23 存在存在 (x1,x2)使使 应用柯西中值定理应用柯西中值定理,结论成立结论成立24
3.2中值定理124
