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1、第十章第十章 排列、组合、排列、组合、二项式定理和概率二项式定理和概率二二项式定理式定理第 讲4 4（第二课时）（第二课时）1题型题型4 利用二项式定理求组合数的和利用二项式定理求组合数的和1.求下列各式的和：求下列各式的和：(1)；(2).2 解解:(1)原式原式=.(2)因为因为(1+x)n(x+1)n=(x+1)2n，所以所以 .比较等式两边比较等式两边xn-1的系数，得的系数，得 .点评：点评：逆用、变用二项式定理是解决组逆用、变用二项式定理是解决组合数求和公式的关键合数求和公式的关键.3 求求 的和的和.解：解：设设 ，则则 ，倒序：倒序：，两式相加两式相加，得得所以所以S=n2n-
2、1，即，即 .42.(1)求证：求证：46n+5n+1-9(n N*)能被能被20整除；整除；(2)求求5555除以除以8的余数的余数.解：解：(1)证明证明:因为因为46n+5n+1-9=4(6n-1)+5(5n-1)=4(5+1)n-1+5(4+1)n-1=，所以所以46n+5n+1-9能被能被20整除整除.题型题型5 利用二项式定理解决利用二项式定理解决 整除性和余数问题整除性和余数问题5(2)因为因为5555=(56-1)55=，又又56是是8的倍数，故上面的展开式可设的倍数，故上面的展开式可设为为8m-1.因为因为8m-1=8(m-1)+7，所以所以5555除以除以8的余数是的余数是
3、7.点评：点评：求整除或余数问题，一般是把被求整除或余数问题，一般是把被除式配凑成除式的倍式加余数的形式，如第除式配凑成除式的倍式加余数的形式，如第(1)问中先分别把问中先分别把46n中的中的6n变为变为5的倍数加余的倍数加余数的形式，而数的形式，而55n的化为的化为4的倍数加余数的形的倍数加余数的形式，这样就凑出式，这样就凑出20的倍数式和余数式的倍数式和余数式.6 若若 能被能被7整除，则整除，则x,n的值可能为的值可能为()A.x=4,n=3 B.x=4,n=4C.x=5,n=4 D.x=6,n=5解解:,当当x=5,n=4时，时，(1+x)n-1=64-1=3537能被能被7整除，故选
4、整除，故选C.C73.求下列各数的近似值，使误差小于求下列各数的近似值，使误差小于0.001.(1)1.028；(2)0.9986.解：解：(1)1.028=(1+0.02)8=.因为精确度为因为精确度为0.001,比它小的数可以忽略，比它小的数可以忽略，所以所以1.0281+0.16+0.0112=1.17121.171.题型题型6 利用二项式定理求近似值利用二项式定理求近似值8(2)0.9986=(1-0.002)6=.因为因为T3=150.0000040.001，且以后各项的绝对值都小于且以后各项的绝对值都小于0.001，这些项可忽略不计这些项可忽略不计.所以所以0.99861+6(-0
5、.002)=1-0.012=0.988.点评：点评：指数的近似值计算可转化为二项式定指数的近似值计算可转化为二项式定理的展开式，由近似值的要求，转化为求展理的展开式，由近似值的要求，转化为求展开式的前两项或前三项的值即可开式的前两项或前三项的值即可.9 某地现有耕地某地现有耕地10000公顷，规划公顷，规划10年后粮食单产比现在增加年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食，人均粮食占有量比现在提高占有量比现在提高10%，如果人口年增长率，如果人口年增长率为为1%，那么耕地平均每年至多只能减小多少，那么耕地平均每年至多只能减小多少公顷公顷(精确到精确到1公顷公顷)？(粮食单产粮食单产=,人均粮食占
6、有量人均粮食占有量 =)总产量总产量耕地面积耕地面积 总产量总产量总人口数总人口数10解：解：设耕地平均每年至多只能减少设耕地平均每年至多只能减少x公顷，公顷，又设该地区现有人口为又设该地区现有人口为P人人，粮食单产为粮食单产为M吨吨/公顷公顷.依题意得依题意得 ,化简得化简得 ,11因为因为 ,所以所以x4(公顷公顷).所以耕地平均每年至多只能减少所以耕地平均每年至多只能减少4公顷公顷.12证明下列不等式：证明下列不等式：(1)1，n N*，n2);(2)(1+x)n+(1-x)n2n(|x|1，n2).证明：证明：(1)令令a=1+x(x0)，则，则题型题型 利用二项式定理证不等式利用二项
7、式定理证不等式13又又 ，即，即 ，所以所以 .故故 .(2)(1+x)n+(1-x)n=.因为因为|x|1，所以，所以0 x2k1.所以所以(1+x)n+(1-x)n=22n-1=2n.141.求求有有关关组组合合数数的的和和，一一般般构构造造一一个个二二项项展展开开式式，再再逆逆用用二二项项式式定定理理化化简简求求和和，或或者者构构造造一一个个二二项项式式恒恒等等式式，使使所所求求的的组组合合数数的的和和为为展展开开式式中中某某项项的的系系数数，再再比比较较等等式式两两边相应项的系数得出结论边相应项的系数得出结论.2.利利用用二二项项式式定定理理找找出出某某两两个个数数(或或式式)之之间间
8、的的倍倍数数关关系系，是是解解决决有有关关整整除除性性问问题题和和余余数数问问题题的的基基本本思思路路，关关键键是是要要合合理理地地构构造造二二项式，并将它展开进行分析判断项式，并将它展开进行分析判断.153.利利用用二二项项式式定定理理进进行行近近似似值值计计算算，就就是是将将所所求求的的指指数数表表示示成成二二项项式式，展展开开后后根根据据近近似似值值精精确确度度要要求求，保保留留前前几几项项，再再求其代数和求其代数和.4.对对某某些些含含指指数数式式的的不不等等式式证证明明，可可考考虑虑将将指指数数式式化化为为二二项项式式，展展开开后后通通过过放放缩化简，转化为不等式的另一边缩化简，转化为不等式的另一边.16
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