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1、 第四章第四章第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质二、基本积分公式二、基本积分公式 三、不定积分的性质三、不定积分的性质 一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念四、不定积分的几何意义四、不定积分的几何意义 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 思考思考 导数是还有没有其他函数的导数也是如何求？这就是本章要解决的基本问题，即求一个未知函数，使其导数（或微分）恰好是某一已知函数。这是求导的逆过程，称为积分。此未知函数叫做原函数。?的函数是不是只有和 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 一、一、原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念1 定义定义
2、 1如果在区间 I 上的则称 F(x)为f(x)在区间 I 上,或原函数原函数.如 是是的原函数 的原函数 思考思考 1.一个函数满足什么条件其原函数一定存在?2.原函数存在,有几个？他们之间什么关系？1.连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.答答 则有无穷多个则有无穷多个.2.f(x)若有原函数若有原函数,如果则 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 如果则 即的原函数的全体称为的不定积分,记作在区间 I上,或定义定义 2常数任意积积分分号号即表表达达式式被被积积变量积分若则(C 任意常数)C 称为积分常数积分常数,不可丢不可丢!目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例如
3、,注：注：(1)积分变量 x 与 f(x)中的 x 必须一致，如 (2)中 中 是或u 是常量 u 是变量 的原函数 或或 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例1计算不定积分解解:时,由时,由例例2设解解:求例例3解解:设 是 的一个原函数,求 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 二、二、基本积分公式基本积分公式(k 为常数)或或 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 解解:例例5 求解解:例例4 求求 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 三、不定积分的性质三、不定积分的性质推论推论:若则思考：思考：目录
4、上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例6 6 求解：原式 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例7 求解解:例例8 求求解解:原式原式 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例9 求解解:例例10 求解解:原式原式 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例11 求求解解:原式 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例12 求解解:原式例例1313 求解：原式 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例14 求解解:思考思考:原式原式 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例15 求解解:原式 目录 上页 下页 返回 结束高等数学
5、高等数学 四、不定积分的几何意义四、不定积分的几何意义:的图形是一族积分曲线.若的积分曲线积分曲线.则曲线 称为特点:(2)可由其中某一条经平移得到积分曲线族中任意一条曲线,(1)积分曲线族有互相平行的切线 在横坐标相同的点处,目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例 设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解解:曲线过点(1,2),因此所求曲线为设曲线方程为由题设可知 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 内容小结内容小结1.不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表 2.直接积分法:利用恒等变形恒等变形,及 基本积分公式基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分的性质积分的性质 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 思考与练习思考与练习1 证明 提示提示:2 若是的原函数,则 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 3 若是的原函数,则提示提示:已知 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 4 若的导函数为则的一个原函数是().提示提示:B由题意其原函数为 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 5 求不定积分解：解：目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 6 已知已知求 A,B.解解:等式两边对 x 求导,得
不定积分的概念与性质121
