高等数学,平面与直线课件.ppt

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1、目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 第 4节 一 、 平 面 及 其 方 程二 、 直 线 及 其 方 程三 、 两 直 线 及 两 平 面 的 夹 角 平 面 与 直 线 第 七 章 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 O z yx 0Mn一 、 平 面 的 点 法 式 方 程 ),( 0000 zyxM设 一 平 面 通 过 已 知 点 且 垂 直 于 非 零 向0)()()( 000 zzCyyBxxA M称 式 为 平 面 的 点 法 式 方 程 ,求 该 平 面 的 方 程 .,),( zyxM任 取 点 ),( 000 zzyyxx 法 向 量 .量 ,),( CBAn n

2、MM 0 00 nMM MM0 则 有 故 的为 平 面称 n 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 kji例 1.求 过 三 点,1 M又 )1,9,14( 0)4()1(9)2(14 zyx 015914 zyx即 1M 2M3M解 : 取 该 平 面 的 法 向 量 为 ),2,3,1(),4,1,2( 21 MM )3,2,0(3M的 平 面 的 方 程 . 利 用 点 法 式 得 平 面 的 方 程3 4 62 3 1 nn 3121 MMMM 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 此 平 面 的 三 点 式 方 程 也 可 写 成 0132 643 412 zyx 013131

3、3 121212 111 zzyyxx zzyyxx zzyyxx一 般 情 况 : 过 三 点 )3,2,1(),( kzyxM kkkk的 平 面 方 程 为说 明 : 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 特 别 ,当 平 面 与 三 坐 标 轴 的 交 点 分 别 为此 式 称 为 平 面 的 截 距 式 方 程 . ),0,0(,)0,0(,)0,0,( cRbQaP 1 czbyax时 , )0,( cbabcax )( cay )( 0 bazabcbzaacybcx 平 面 方 程 为 P O z yx R Q分 析 :利 用 三 点 式 按 第 一 行 展 开 得 即 0a

4、x y za b 0a 0 c 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 二 、 平 面 的 一 般 方 程设 有 三 元 一 次 方 程 以 上 两 式 相 减 , 得 平 面 的 点 法 式 方 程此 方 程 称 为 平 面 的 一 般0 DzCyBxA任 取 一 组 满 足 上 述 方 程 的 数 , 000 zyx 则 0)()()( 000 zzCyyBxxA 0000 DzCyBxA显 然 方 程 与 此 点 法 式 方 程 等 价 , )0( 222 CBA ),( CBAn 的 平 面 , 因 此 方 程 的 图 形 是法 向 量 为 方 程 . 目 录 上 页 下 页 返 回

5、结 束 特 殊 情 形 当 D = 0 时 , A x + B y + C z = 0 表 示 通 过 原 点 的 平 面 ; 当 A = 0 时 , B y + C z + D = 0 的 法 向 量平 面 平 行 于 x 轴 ; A x+C z+D = 0 表 示 A x+B y+D = 0 表 示 C z + D = 0 表 示 A x + D =0 表 示 B y + D = 0 表 示 0 DCzByAx )0( 222 CBA平 行 于 y 轴 的 平 面 ;平 行 于 z 轴 的 平 面 ;平 行 于 xOy 面 的 平 面 ;平 行 于 yOz 面 的 平 面 ；平 行 于 z

6、Ox 面 的 平 面 .,),0( iCBn 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 2. 求 通 过 x 轴 和 点 ( 4, 3, 1) 的 平 面 方 程 .例 3.用 平 面 的 一 般 式 方 程 导 出 平 面 的 截 距 式 方 程 .解 : 因 平 面 通 过 x 轴 , 0 DA故设 所 求 平 面 方 程 为 0 zCyB代 入 已 知 点 )1,3,4( 得 BC 3化 简 ,得 所 求 平 面 方 程03 zy 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 三 、 两 平 面 的 夹 角设 平 面 1的 法 向 量 为 平 面 2的 法 向 量 为则 两 平 面 夹 角

7、的 余 弦 为 cos 即 212121 CCBBAA 222222 CBA 212121 CBA 两 平 面 法 向 量 的 夹 角 (常 指 锐 角 )称 为 两 平 面 的 夹 角 .12 2n1n),( 1111 CBAn ),( 2222 CBAn 21 21cos nn nn 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2特 别 有 下 列 结 论 ：21)1( 0212121 CCBBAA21/)2( 212121 CCBBAA 1 1221 21cos nn nn 21 nn 21/ nn 2n 1n2n 1n),(: ),(: 22222 11111 CBAn CBAn 目 录

8、上 页 下 页 返 回 结 束 因 此 有 例 4. 一 平 面 通 过 两 点垂 直 于 平 面 : x + y + z = 0, 求 其 方 程 .解 : 设 所 求 平 面 的 法 向 量 为 ,020 CBA 即 CA 2的 法 向 量 ,0 CBACCAB )( )0(0)1()1()1(2 CzCyCxC约 去 C , 得 0)1()1()1(2 zyx即 02 zyx 0)1()1()1( zCyBxA )1,1,1(1M ,)1,1,0(2 M和 则 所 求 平 面故,),( CBAn方 程 为 n 21MMn 且 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 外 一 点 ,求 ),

9、( 0000 zyxP 0 DzCyBxA例 5. 设 222 101010 )()()( CBA zzCyyBxxA 222 000 CBA DzCyBxAd 0111 DzCyBxA解 :设 平 面 法 向 量 为),( 1111 zyxP 在 平 面 上 取 一 点是 平 面到 平 面 的 距 离 d .0P,则 P0 到 平 面 的 距 离 为01Prj PPd n n nPP 01 0P1P nd,),( CBAn (点 到 平 面 的 距 离 公 式 ) 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 yx zO例 6.解 : 设 球 心 为求 内 切 于 平 面 x + y + z =

10、1 与 三 个 坐 标 面 所 构 成则 它 位 于 第 一 卦 限 ,且 222 000 111 1zyx 00 331 xx ,1000 zyx 00 zyR因 此 所 求 球 面 方 程 为 000 zyx 6 3333 10 x ,),( 0000 zyxM四 面 体 的 球 面 方 程 .故 )(半 径R 2222 )6 33()6 33(6 33)6 33( zyx 0M 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 内 容 小 结1.平 面 基 本 方 程 :一 般 式点 法 式截 距 式 0 DCzByAx )0( 222 CBA1 czbyax三 点 式 0131313 12121

11、2 111 zzyyxx zzyyxx zzyyxx 0)()()( 000 zzCyyBxxA )0( abc 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 0212121 CCBBAA 212121 CCBBAA 2.平 面 与 平 面 之 间 的 关 系平 面平 面垂 直 :平 行 :夹 角 公 式 : 21 21cos nn nn 021 nn 021 nn ,0: 22222 DzCyBxA ),( 2222 CBAn ,0: 11111 DzCyBxA ),( 1111 CBAn 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 )5,15,10( 0)1(5)1(15)1(10 zyx 0632

12、 zyx备 用 题求 过 点 且 垂 直 于 二 平 面 和 的 平 面 方 程 .)1,1,1( 7 zyx051223 zyx解 : 已 知 二 平 面 的 法 向 量 为取 所 求 平 面 的 法 向 量 则 所 求 平 面 方 程 为化 简 得 ),1,1,1(1 n )12,2,3(2 n21 nnn 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 三 空 间 直 线 方 程1. 空 间 直 线 的 一 般 方 程 空 间 直 线 方 程 通 常 用 两 个 平 面 的 交 线来 刻 画 ： 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 空 间 直 线 的

13、点 向 式 方 程 与 参 数 方 程 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 平 面 束 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束