学习数字电路幻灯03

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1、 第三章第三章 组合逻辑电路的分析与设计组合逻辑电路的分析与设计 3.1逻辑代数逻辑代数一、逻辑代数的基本公式一、逻辑代数的基本公式1公式的证明方法：公式的证明方法：（2 2）用真值表证明，即检验等式两边函数的真值表是否一致。）用真值表证明，即检验等式两边函数的真值表是否一致。例例3.1.23.1.2用真值表证明反演律用真值表证明反演律（1 1）用简单的公式证明略为复杂的公式。）用简单的公式证明略为复杂的公式。例例3.1.1证明吸收律证明吸收律证：2二、逻辑代数的基本规则二、逻辑代数的基本规则对对偶偶规规则则的的基基本本内内容容是是：如如果果两两个个逻逻辑辑函函数数表表达达式式相相等等，那么它

2、们的对偶式也一定相等。那么它们的对偶式也一定相等。基本公式中的公式基本公式中的公式l和公式和公式2就互为对偶就互为对偶式。式。1.代入规则代入规则对于任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式对于任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式两端任何一个逻辑变量后，等式依然成立。两端任何一个逻辑变量后，等式依然成立。例如，在反演律中用例如，在反演律中用BC去代替等式中的去代替等式中的B，则新的等式仍成立：，则新的等式仍成立：2.对偶规则对偶规则将一个逻辑函数将一个逻辑函数L进行下列变换：进行下列变换：，01，10所得新函数表达式叫做所得新函数表达式叫做L的的对偶式对偶式，用

3、，用表示。表示。33.反演规则反演规则将一个逻辑函数将一个逻辑函数L进行下列变换：进行下列变换：，；01，10；原变量原变量反变量，反变量，反变量反变量原变量。原变量。所得新函数表达式叫做所得新函数表达式叫做L的的反函数反函数，用，用表示。表示。在应用反演规则求反函数时要注意以下两点：在应用反演规则求反函数时要注意以下两点：（1）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明，如例）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明，如例3.1.3。（2）变变换换中中，几几个个变变量量（一一个个以以上上）的的公公共共非非号号保保持持不不变变，如如例例3.1.4。利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数

4、利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数例例3.1.3求以下函数的反函数：求以下函数的反函数：解：解：例例3.1.4求以下函数的反函数：求以下函数的反函数：解：解：4三、逻辑函数的代数化简法三、逻辑函数的代数化简法其中，与其中，与或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。2 2逻辑函数的最简逻辑函数的最简“与与或表达式或表达式”的标准的标准 （1 1）与项最少，即表达式中）与项最少，即表达式中“+”“+”号最少。号最少。（2 2）每个与项中的变量数最少，即表达式中）每个与项中的变量数最少，即表达式中“”“”号最少。号最少。1 1逻辑函数式的常见形式逻辑函数

5、式的常见形式一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相转换。例如：转换。例如：53 3用代数法化简逻辑函数用代数法化简逻辑函数（4）配项法。）配项法。（1）并项法。）并项法。（2）吸收法。）吸收法。（3）消去法。）消去法。运用公式运用公式，将两项合并为一项，消去一个变量。如，将两项合并为一项，消去一个变量。如运用吸收律运用吸收律A+AB=A，消去多余的与项。如消去多余的与项。如 6在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑函数化为最简。辑函数化为最简。再举几个例子：再举

6、几个例子：解：解：例例3.1.6化简逻辑函数：化简逻辑函数：（利用 ）（利用A+AB=A）（利用 ）7解：解：例例3.1.7化简逻辑函数：化简逻辑函数：（利用反演律）（利用 ）（配项法）（利用A+AB=A）（利用A+AB=A）（利用 ）8由上例可知，逻辑函数的化简结果不是唯一的。由上例可知，逻辑函数的化简结果不是唯一的。代数化简法的优点是不受变量数目的限制。代数化简法的优点是不受变量数目的限制。缺缺点点是是：没没有有固固定定的的步步骤骤可可循循；需需要要熟熟练练运运用用各各种种公公式式和和定定理理；在在化化简简一一些些较较为为复复杂杂的的逻逻辑辑函函数数时时还还需需要要一一定的技巧和经验；有时

7、很难判定化简结果是否最简。定的技巧和经验；有时很难判定化简结果是否最简。解法解法1：解法解法2：例例3.1.8化简逻辑函数：化简逻辑函数：9 3.2逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法 一、一、最小项的定义与性质最小项的定义与性质 最小项的定义最小项的定义n个变量的逻辑函数中，包含全部变量的乘积项称为个变量的逻辑函数中，包含全部变量的乘积项称为最小项最小项。n变量逻辑函数的全部最小项共有变量逻辑函数的全部最小项共有2n个。个。10二、逻辑函数的最小项表达式二、逻辑函数的最小项表达式任何一个逻辑函数表达式都可以转换为一组最小项之和，任何一个逻辑函数表达式都可以转换为一组最小项之和，称为称

8、为最小项表达式最小项表达式。例例1：将以下逻辑函数转换成最小项表达式：将以下逻辑函数转换成最小项表达式：解：解：解：解：=m7+m6+m3+m1例例3.2.2将下列逻辑函数转换成最小项表达式：将下列逻辑函数转换成最小项表达式：=m7+m6+m3+m5=m（3,5,6,7）11三、卡诺图三、卡诺图 2.2.卡诺图卡诺图 用小方格来表示最小项，一个小方格代表一个最小项，用小方格来表示最小项，一个小方格代表一个最小项，然后将这些最小项按照相邻性排列起来。即用小方格几然后将这些最小项按照相邻性排列起来。即用小方格几何位置上的相邻性来表示最小项逻辑上的相邻性。何位置上的相邻性来表示最小项逻辑上的相邻性。

9、1相邻最小项相邻最小项如果两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量如果两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，则称这两个最小项为逻辑相邻，简称均相同，则称这两个最小项为逻辑相邻，简称相邻项相邻项。例如，最小项例如，最小项ABCABC和和 就是相邻最小项。就是相邻最小项。如果两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中，可以合如果两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中，可以合并为一项，同时消去互为反变量的那个量。如并为一项，同时消去互为反变量的那个量。如123卡诺图的结构卡诺图的结构（2）三变量卡诺图）三变量卡诺图（1）二变量卡诺图）二变量卡诺图13（3）四变量卡诺图）四变量卡诺图仔细观察

10、可以发现，仔细观察可以发现，卡诺图具有很强的相邻性：卡诺图具有很强的相邻性：（1）直直观观相相邻邻性性，只只要要小小方方格格在在几几何何位位置置上上相相邻邻（不不管管上上下下左左右右），它代表的最小项在逻辑上一定是相邻的。它代表的最小项在逻辑上一定是相邻的。（2）对对边边相相邻邻性性，即即与与中中心心轴轴对对称称的的左左右右两两边边和和上上下下两两边边的的小小方方格格也也具有相邻性具有相邻性。14四、用卡诺图表示逻辑函数四、用卡诺图表示逻辑函数 1 1从真值表到卡诺图从真值表到卡诺图例例3.2.3某逻辑函数的真值表如表某逻辑函数的真值表如表3.2.3所示，用卡诺图表示该逻辑函数。所示，用卡诺图

11、表示该逻辑函数。解解：该该函函数数为为三三变变量量，先先画画出出三三变变量量卡卡诺诺图图，然然后后根根据据真真值值表表将将8个个最最小项小项L的取值的取值0或者或者1填入卡诺图中对应的填入卡诺图中对应的8个小方格中即可。个小方格中即可。152从逻辑表达式到卡诺图从逻辑表达式到卡诺图（2）如如表表达达式式不不是是最最小小项项表表达达式式，但但是是“与与或或表表达达式式”，可可将将其其先先化化成成最最小小项项表表达达式式，再再填填入卡诺图。也可直接填入。入卡诺图。也可直接填入。例例3.2.5用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数（1）如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图。）如果表达式为最

12、小项表达式，则可直接填入卡诺图。例例3.2.4用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数:解：解：写成简化形式：写成简化形式：然后填入卡诺图：然后填入卡诺图：解：解：直接填入：直接填入：16五、逻辑函数的卡诺图化简法五、逻辑函数的卡诺图化简法 1卡诺图化简逻辑函数的原理卡诺图化简逻辑函数的原理:（1）2个个相相邻邻的的最最小小项项结结合合，可可以以消消去去1个个取取值值不不同同的的变变量量而而合合并并为为l项项。（2）4个相邻的最小项结合，可以消去个相邻的最小项结合，可以消去2个取值不同的变量而合并为个取值不同的变量而合并为l项。项。（3）8个相邻的最小项结合，可以消去个相邻的最小项结合，可以消

13、去3个取值不同的变量而合并为个取值不同的变量而合并为l项。项。总总之之，2n个个相相邻邻的的最最小小项项结结合合，可可以以消消去去n个个取取值值不不同同的的变变量量而而合合并并为为l项项。172用卡诺图合并最小项的原则（画圈的原则）用卡诺图合并最小项的原则（画圈的原则）（1）尽量画大圈，但每个圈内只能含有）尽量画大圈，但每个圈内只能含有2n（n=0,1,2,3）个相邻项。）个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。（2）圈的个数尽量少。）圈的个数尽量少。（3）卡卡诺诺图图中中所所有有取取值值为为1的的方方格格均均要要被被圈圈过过，即即不不能能漏漏下下取取值值

14、为为1的最小项。的最小项。（4）在新画的包围圈中至少要含有）在新画的包围圈中至少要含有1个末被圈过的个末被圈过的1方格，否则该包方格，否则该包围圈是多余的。围圈是多余的。3用卡诺图化简逻辑函数的步骤：用卡诺图化简逻辑函数的步骤：（1）画出逻辑函数的卡诺图。）画出逻辑函数的卡诺图。（2）合并相邻的最小项，即根据前述原则画圈。）合并相邻的最小项，即根据前述原则画圈。（3）写写出出化化简简后后的的表表达达式式。每每一一个个圈圈写写一一个个最最简简与与项项，规规则则是是，取取值值为为l的的变变量量用用原原变变量量表表示示，取取值值为为0的的变变量量用用反反变变量量表表示示，将将这这些些变量相与。然后将

15、所有与项进行逻辑加，即得最简变量相与。然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与与或表达式或表达式。18例例3.2.6用卡诺图化简逻辑函数：用卡诺图化简逻辑函数：L（A,B,C,D）=m（0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15）解解：（1）由表达式画出卡诺图。）由表达式画出卡诺图。（2）画包围圈，合并最小项，）画包围圈，合并最小项，得简化的与得简化的与或表达式或表达式:解解：（1）由表达式画出卡诺图。）由表达式画出卡诺图。（2）画包围圈合并最小项，）画包围圈合并最小项，得简化的与得简化的与或表达式或表达式:例例3.2.7用卡诺图化简逻辑函数：用卡诺图化简逻辑函数：注意：图中的虚线圈是多

16、余的，应去掉注意：图中的虚线圈是多余的，应去掉。19例例3.2.8某逻辑函数的真值表如表某逻辑函数的真值表如表3.2.4所示，用卡诺图化简该逻辑函所示，用卡诺图化简该逻辑函数。数。（2）画包围圈合并最小项。）画包围圈合并最小项。有两种画圈的方法：有两种画圈的方法：（a）：写出）：写出表达式：表达式：解：解：（1）由真值表画出卡诺图。）由真值表画出卡诺图。（b）：写出表达式：）：写出表达式：通过这个例子可以看出，通过这个例子可以看出，一个逻辑函数的真值表是唯一的，一个逻辑函数的真值表是唯一的，卡诺图也是唯一的，但化简结果有时不是唯一的。卡诺图也是唯一的，但化简结果有时不是唯一的。204卡诺图化简

17、逻辑函数的另一种方法卡诺图化简逻辑函数的另一种方法圈圈0法法例例3.2.9已知逻辑函数的卡诺图如图已知逻辑函数的卡诺图如图3.2.13所示，分别用所示，分别用“圈圈1法法”和和“圈圈0法法”写出其最简与写出其最简与或式。或式。解解：（1）用圈）用圈1法画包围圈，得：法画包围圈，得：（2）用圈）用圈0法画包围圈，得：法画包围圈，得：21六、具有无关项的逻辑函数的化简六、具有无关项的逻辑函数的化简1无关项无关项在有些逻辑函数中，输入变量的某些取值组合不会出现，在有些逻辑函数中，输入变量的某些取值组合不会出现，或者一旦出现，逻辑值可以是任意的。这样的取值组合所对应的最小项或者一旦出现，逻辑值可以是任

18、意的。这样的取值组合所对应的最小项称为无关项、任意项或约束项。称为无关项、任意项或约束项。例例3.2.10：在在十十字字路路口口有有红红绿绿黄黄三三色色交交通通信信号号灯灯，规规定定红红灯灯亮亮停停，绿绿灯灯亮亮行，黄灯亮等一等，试分析车行与三色信号灯之间逻辑关系。行，黄灯亮等一等，试分析车行与三色信号灯之间逻辑关系。解：解：设红、绿、黄灯分别用设红、绿、黄灯分别用A、B、C表示，且灯亮为表示，且灯亮为1，灯灭为，灯灭为0。车用车用L表示，车行表示，车行L=1，车停，车停L=0。列出该函数的真值。列出该函数的真值。显而易见，在这个函数中，有显而易见，在这个函数中，有5个最小项为无关项。个最小项

19、为无关项。带有无关项的逻辑函数的最小项表达式为：带有无关项的逻辑函数的最小项表达式为：L L=m m（）+d d（）如本例函数可写成如本例函数可写成L L=m m（2 2）+d d（0,3,5,6,70,3,5,6,7）222具有无关项的逻辑函数的化简具有无关项的逻辑函数的化简化简具有无关项的逻辑函数时，要充分利用无关项可以当化简具有无关项的逻辑函数时，要充分利用无关项可以当0也可以当也可以当1的特点，尽量扩大卡诺圈，使逻辑函数更简。的特点，尽量扩大卡诺圈，使逻辑函数更简。例例3.2.10：不考虑无关项时，表达式为：不考虑无关项时，表达式为：注注意意:在在考考虑虑无无关关项项时时，哪哪些些无无

20、关关项项当当作作1 1，哪哪些些无无关关项项当当作作0 0，要要以以尽尽量量扩扩大大卡卡诺诺圈圈、减减少少圈圈的的个个数数，使使逻逻辑辑函函数更简为原则。数更简为原则。考虑无关项时，表达式为考虑无关项时，表达式为:23例例3.2.113.2.11：某逻辑函数输入是某逻辑函数输入是84218421BCD码，其逻辑表达式为：码，其逻辑表达式为：L（A A,B B,C,D）=m（1,4,5,6,7,91,4,5,6,7,9）+d（10,11,12,13,14,1510,11,12,13,14,15）用卡诺图法化简该逻辑函数。用卡诺图法化简该逻辑函数。解解：（1 1）画画出出4 4变变量量卡卡诺诺图图

21、。将将1 1、4 4、5 5、6 6、7 7、9 9号号小小方方格格填填入入1 1；将将1010、1111、1212、1313、1414、1515号小方格填入号小方格填入。（2 2）合合并并最最小小项项，如如图图（a）所所示示。注注意意，1 1方方格格不不能能漏漏。方方格格根据需要，可以圈入，也可以放弃。根据需要，可以圈入，也可以放弃。（3 3）写出逻辑函数的最简与）写出逻辑函数的最简与或表达式或表达式:如果不考虑无关项，如图（如果不考虑无关项，如图（b）所示，写出表达式为：）所示，写出表达式为：243.33.3 组合逻辑电路的分析方法组合逻辑电路的分析方法一一.组合逻辑电路的特点组合逻辑电路

22、的特点 电电路路任任一一时时刻刻的的输输出出状状态态只只决决定定于于该该时时刻刻各各输输入状态的组合，而与电路的原状态无关入状态的组合，而与电路的原状态无关。组组合合电电路路就就是是由由门门电电路路组组合合而而成成，电电路路中中没没有有记记忆忆单单元，没有反馈通路。元，没有反馈通路。每一个输出变量是全部或部分每一个输出变量是全部或部分输入变量的函数：输入变量的函数：L1 1=f1 1（A1 1、A2 2、Ai）L2 2=f2 2（A1 1、A2 2、Ai）Lj=fj（A1 1、A2 2、Ai）25二、组合逻辑电路的分析方法二、组合逻辑电路的分析方法分析过程一般包含分析过程一般包含4 4个步骤：

23、个步骤：例例3.3.13.3.1：组合电路如图所示，分析该电路的逻辑功能。组合电路如图所示，分析该电路的逻辑功能。26解：解：（1）由逻辑图逐级写出逻辑表达式。为了写表达式方便，借助）由逻辑图逐级写出逻辑表达式。为了写表达式方便，借助中间变量中间变量P。（2）化简与变换：）化简与变换：（3）由表达式列出真值表。）由表达式列出真值表。（4）分析逻辑功能）分析逻辑功能：当当A、B、C三个变量不一致时，三个变量不一致时，电路输出为电路输出为“1”，所以这个电路，所以这个电路称为称为“不一致电路不一致电路”。273.4 3.4 组合逻辑电路的设计方法组合逻辑电路的设计方法设计过程的基本步骤：设计过程的

24、基本步骤：例例3.4.13.4.1：设设计计一一个个三三人人表表决决电电路路，结结果果按按“少少数数服服从从多多数数”的的原原则则决决定。定。解：解：（1 1）列真值表：）列真值表：（3）化简。）化简。（2 2）由真值表写出逻辑表达式：）由真值表写出逻辑表达式：28得最简与得最简与或表达式：或表达式：（4 4）画出逻辑图。）画出逻辑图。如果，要求用与非门实现该逻辑电路，如果，要求用与非门实现该逻辑电路，就应将表达式转换成就应将表达式转换成与非与非与非与非表达式：表达式：画出逻辑图如图所示。画出逻辑图如图所示。29例例3.4.23.4.2：设计一个电话机信号控制电路。电路有设计一个电话机信号控制

25、电路。电路有I0（火警）、（火警）、I1（盗警）（盗警）和和I2（日常业务）三种输入信号，通过排队电路分别从（日常业务）三种输入信号，通过排队电路分别从L0、L1、L2输出，输出，在同一时间只能有一个信号通过。如果同时有两个以上信号出现时，应在同一时间只能有一个信号通过。如果同时有两个以上信号出现时，应首先接通火警信号，其次为盗警信号，最后是日常业务信号。试按照上首先接通火警信号，其次为盗警信号，最后是日常业务信号。试按照上述轻重缓急设计该信号控制电路。要求用集成门电路述轻重缓急设计该信号控制电路。要求用集成门电路7400（每片含（每片含4个个2输入端与非门）实现。输入端与非门）实现。解：解：

26、（1）列真值表：）列真值表：（2）由真值表写出各输出的逻辑表达式：）由真值表写出各输出的逻辑表达式：30（3）根据要求，将上式转换为与非表达式：）根据要求，将上式转换为与非表达式：（4）画出逻辑图。）画出逻辑图。31例例3.4.33.4.3：设计一个将余设计一个将余3码变换成码变换成8421BCD码的组合逻码的组合逻辑电路。辑电路。解：解：（1）根据题目要求，列出真值表：）根据题目要求，列出真值表：32（2）用卡诺图进行化简。（注意利用无关项）用卡诺图进行化简。（注意利用无关项）33化简后得到的逻辑表达式为：化简后得到的逻辑表达式为：（3）由逻辑表达式画出逻辑图。）由逻辑表达式画出逻辑图。34

27、本章小结本章小结1 1逻逻辑辑代代数数是是分分析析和和设设计计逻逻辑辑电电路路的的工工具具。应应熟熟记记基基本本公公式式与与基基本本规则。规则。2 2可用两种方法化简逻辑函数，公式法和卡诺图法。可用两种方法化简逻辑函数，公式法和卡诺图法。公公式式法法是是用用逻逻辑辑代代数数的的基基本本公公式式与与规规则则进进行行化化简简，必必须须熟熟记记基基本本公式和规则并具有一定的运算技巧和经验。公式和规则并具有一定的运算技巧和经验。卡卡诺诺图图法法是是基基于于合合并并相相邻邻最最小小项项的的原原理理进进行行化化简简的的，特特点点是是简简单单、直观，不易出错，有一定的步骤和方法可循。直观，不易出错，有一定的

28、步骤和方法可循。3 3组组合合逻逻辑辑电电路路的的特特点点是是，电电路路任任一一时时刻刻的的输输出出状状态态只只决决定定于于该该时时刻刻各各输输入入状状态态的的组组合合，而而与与电电路路的的原原状状态态无无关关。组组合合电电路路就就是是由由门电路组合而成，电路中没有记忆单元，没有反馈通路。门电路组合而成，电路中没有记忆单元，没有反馈通路。4 4组组合合逻逻辑辑电电路路的的分分析析步步骤骤为为：写写出出各各输输出出端端的的逻逻辑辑表表达达式式化化简简和变换逻辑表达式和变换逻辑表达式列出真值表列出真值表确定功能。确定功能。5 5组组合合逻逻辑辑电电路路的的设设计计步步骤骤为为：根根据据设设计计求求列列出出真真值值表表写写出出逻逻辑辑表达式表达式(或填写卡诺图或填写卡诺图)逻辑化简和变换逻辑化简和变换画出逻辑图画出逻辑图 35