对称性在电磁学中的应用

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1、摘要：10前言11对称性的定义21.1对称性22对称性的分类22.1直观对称32.2抽象对称32.3数学对称42.4对称破缺42.5对称操作与对称性53对称性在电磁学中的应用53.1中心对称问题53.2 无限大”问题63.3网络问题83.4利用对称性分析长直密绕截流螺线管内磁感应线的形状93.5对称性结合静电场高斯定理及安培环路定理解决实际问题94结论11参考文献11对称性在电磁学中的应用XXX（河南人学，河南开封，475004）摘要：对称性是物理学中一个重要的概念，也是现代物理理论的重要组成部分。本 文先简要介绍了对称性的概念和原理，用结合对称性原理在电磁学中的若干应用 举例。比较详细的阐述

2、了应用对称性原理解题的一般思路和方法。对称性原理，电磁学，场强关键词：对称性原理电磁学场强Symmetry in electromagneticsXX(M ins hen g College, Henan University, Henan Kaifeng 475004, China)Abstract:Synmietiy is an lmpoilant concept m physics, is also an important part of modem physical theoiy. This article first mtioduces the concepts and punci

3、ples of symmetry, example, combined with the principle of symmetry in electiomagnetism A more detailed exposition of the general ideas and methods of solving problems of application of the pimciple of synmietiyKey words:principle of synunetiy electiomagiietic field strengtho前言在力学中，我们都知道对称性的重要作用，只要对称

4、性成立，可以由它导 出三大守恒定律：能量守恒、动量守恒、和宇称守恒，三大守恒定律在力学中 有着巨大的作用，而在电磁学中，对称性同样也有着非常重要的作用。1对称性的定义1.1对称性对称性Symmetry对称性是人们在观察和认识自然的过程中产生的一 种观念。对称性可以理解为一个运动，这个运动保持一个图案或一个物体 的形状在外表上不发生变化。在自然界千变万化的运动演化过程中，运动 的多样性显现出了各式各样的对称性。在物理学中存在着两类不同性质的 对称性：一类是某个系统或某件具体事物的对称性，另一类是物理规律的 对称性。物理规律的对称性是指经过一定的操作后，物理规律的形式保持 不变。因此，物理规律的对

5、称性又称为不变性。2对称性的分类对称性(symmetry)是现代物理学中的一个核心概念，它泛指规范对 称性(gauge symmetry),或局域对称性(local symmetry)和整体对称性 (global symmetiy) 它是指一个理论的拉格朗日量或运动方程在某些变数 的变化下的不变性。如果这些变数随时空变化，这个不变性被称为局域对 称性，反之则被称为整体对称性。物理学中最简单的对称性例子是牛顿运 动方程的伽利略变换不变性和麦克斯韦方程的洛伦兹变换不变性和相位不 变性。数学上，这些对称性由群论來表述。上述例子中的群分别对应着伽利 略群，洛伦兹群和U(l)群。对称群为连续群和分立群的

6、情形分别被称为连 续对称性(continuous symmetiy)和分立对称性(discrete synunetry)。徳国 数学家威尔(Hermann Weyl)是把这套数学方法运用於物理学中并意识到规 范对称重要性的第一人。二十世纪五十年代杨振宁和米尔斯意识到规范对称性可以完全决定一 个理论的拉格朗日量的形式，并构造了核作用的SU(2)规范理论。从此，规 范对称性被大量应用於量子场论和粒子物理模型中。在粒子物理的标准模 型中，强相互作用，弱相互作用和电磁相互作用的规范群分别为SU(3),SU(2) 和U(l)。除此之外，其他群也被理论物理学家广泛地应用，如大统一模型 中的SU(5), S

7、0(10)和E6群,超弦理论中的SO(32)。考虑下面的变换：将位于某根轴的一边的所有点都反射到轴的另一边， 从而建立一个系统的镜像。如果该系统在操作前后保持不变，则该系统具 有反射对称性。反射下的不变性（比如人体的两边对称性）与转动下的不 变性（比如足球的转动对称性）相当不同。前者是分立对称性，而后者是 连续对称性。连续对称性对任意小变换均成立，而分立对称性却有一个变 换单位，两者在物理学中都起重要作用。2.1直观对称对称性的概念最初來源于生活，也就是直观唯象对称性，是许多事物所显示 的直观形象的对称。直观对称乂表现为空间的、时间的和物理知识表达形式上 的对称.空间对称表现为：人体的左右对称

8、、雪花的完美的六角对称、我国古代 的宫殿、庙宇和陵墓建筑的对称设计、正电荷与负电荷、反射与折射、杠杆的平 衡、单摆的运动和磁场的南北极等。时间对称表现为：音乐的等间隔重复节奏、 地球的周期性公转和自转、匀强电场不随时间发生变化等。物理学知识，如概 念、规律、公式等，在表达式上也表现出明显的直观对称。对称的数字、公式 和图像是数学形式美的重要标志，因为中心对称、轴对称、镜像对称都是令人愉 悦的形式。如晶体结构具有一定的儿何学上的对称性；描述电磁场规律的麦克 斯韦方程组具有形式上的对称性等。天文学家历來喜欢用对称的儿何图形來描 述天体运行的轨道，如亚里士多徳、托勒密、哥白尼、开普勒等。例如，托勒

9、密的地心说认为，各行星都在一个较小的圆周上运动，而每个圆的圆心则在以地 球为中心的圆周上运动.他把绕地球的圆叫“均轮”，每个小圆叫“本轮”。同 时假设地球并不恰好在均轮的中心，均轮是一些偏心圆；日月行星除作上述轨道 运行外，还与众恒星一起，每天绕地球转动一周。托勒密这个不反映宇宙实际 结构的数学图景，却较为完满地解释了当时观测到的行星运动情况，并在航海上 取得了实用价值，被人们广为信奉。后来，天文学家哥白尼从对称美的角度考 虑了宇宙的结构，他发现“地心说”的体系过于复杂，难以反映宇宙体系的和谐、 统一。他以崭新的日心模型为出发点，建立了对称性更高的“日心说”來解释 天体运行规律。2.2抽象对称

10、随着人类认识的深入和发展，科学家面临着越來越多的抽象问题，许多问题 仅仅依靠简单直观的对称图像难以解决。这时抽象对称性就起到了重要的作用。 抽象对称性是将对称的直观表象和抽象思维相结合，从得出的某一个概念、规律 或理论中反映出新的对称性，是人类思维活动对于对称性的更深层次的认识和理 解。统计力学和误差理论中的概率思想，就是一种抽象对称：分子热运动在三 维空间各自由度上发生的概率都相等；气体对容器的压强处处都相等。例如， 徳布罗意从对称思想认识到：19世纪科学家对于光学的研究过于强调了波动性， 忽视了粒子性的研究方法；而对于物质的研究则过分强调了物质的粒子性，而忽 视了物质的波动性。他认为物质也

11、应该具有与粒子性相对称的波动性，提出了 物质波假说。再如，1931年，狄拉克运用对称思想提出了磁北极和磁南极是可 以分开而单独存在的学说，称为磁单极子理论。他的这一预言虽然至今未被确 证，但许多物理学家正在通过各种实验探寻磁单极子。2.3数学对称数学对称是指，如果某一现象（或事件）在某一数学变换下不变，那么该现象 （或事件）就具有该变换所对应的对称性，也叫做数学变换下的不变性。而在某 种变换下不变的理论叫做对称理论。数学对称是比抽象对称更加深刻的对称性, 通常用群论來描述对称性。如物理定律在洛仑兹变换下保持形式不变，就是数 学对称性的体现。在爱因斯坦建立相对论的过程中，数学对称性起到了重要作

12、用.爱因斯坦认为，自然科学的理论不仅要求一些基本概念或基本方程具有形式 上的对称性，而且要求理论本身具有内在对称性。爱因斯坦把现实的三维空间 加进了时间因素，把三维空间的对称概念拓展到了四维时空空间，探讨高维空间 的对称性。2.4对称破缺物理学中的对称破缺，是指由于某一种对称被破坏，引发出了更深化的思维 认识，从而展现出物理学更高层次的对称。如核子同位旋守恒遭电磁作用和弱 作用破坏时表现出來的破缺；铁磁材料中空间各向同性的破坏；真空对称性的自 发破缺等。再如，杨振宁和李政道提出了弱相互作用中宇称不守恒，并得到了 吴健雄的实验验证，使现代物理学中产生了 “对称加破缺”的美学思想。物理 学中产生了

13、 “对称加破缺”的美学思想。2.5对称操作与对称性徳国数学家魏尔（H. Weyl）在1951年给对称性的普遍的严格定义：对一个事 物进行一次变动或操作，如果经过此操作后，该事物完全复原，则称该事物对所 经历的操作是对称的，而此操作就叫做对称操作。由于操作（变换）方式不同可 以有若干种不同的对称性。（1）空间反演操作与镜像对称。空间反演操作类似 于物体的平面镜成像，具有对某一轴线或平面的对称性。如物理学中的位置矢 量，经过空间反射后，与镜面垂直的分量反向，与镜面平行的分量则不变。（2） 空间平移对称操作与平移对称。当某一物理规律经过坐标平移后仍与原规律相 同，则为平移对称。例如，我们将进行物理实

14、验的全套仪器从北京运到上海， 在两地会得到相同的物理定律，即物理定律具有空间平移对称性。（3）空间旋转 对称操作与转动对称。例如，太阳绕通过其中心的任意轴旋转某一角度后，其 现状与原状一样。进行物理实验的仪器转动某一角度后，所得到的物理规律不 会因空间的转动而发生变化，即物理定律具有空间转动对称性。（4）时间平移对 称操作与时间对称。我们所熟悉的24小时的昼夜循环，在时间上就表现出具有 周期性的平移对称；周期性变化的单摆只对周期T及其整数倍的时间平移变换对 称。空间对称性和时间对称性是最基本的、最常见的对称性，统称为时空对称 性。另外，量子力学中全同粒子互换后，得到具有交换对称性的哈密顿算符，

15、 全同粒子体系波函数的对称性不随时间的平移而改变。3对称性在电磁学中的应用3.1中心对称问题例：求一段长为L ,带电量为q的细棒在中心轴线上P点所产生的场 强。建立如图1所示坐标系，在带电细棒离0点为1处取长度元dl , dl上的电量为dq ,则dq=-rf?设dl到P点的距离为r, dq在P点处产生的场强dE的大小为qdldE=47T0Lz方向如图1, dE在X、y方向的分量分别为dE% = dE COS0 ,dE? = dE sin 0 o由图可to,i=acot0 故d=csc29d0 ； Hr2 = a2esc16由棒的对称性知比=J dEx = 0 ,所以E=Ey = J dEy =

16、 j dE sin 6sin 加 047T0Lacos%)q27ToaVL2+4a23.2 “无限大问题例：计算无限大载流平面所产生的磁场。如图2所示，无限大载流平面的面电流密度为i。其对上下两半空间的 影响是相同的，因此，磁场具有平面上下对称性，建立一矩形闭合路径abcda, 磁感应强度B沿此闭合路径的积分其中+= 0而在be段中，磁感应强度B大小均相等，且B的方向与dl相同，所以同理，.a?了二取血“讥 be; = Sa 由安培环路定理得：0 T & T = 2Blbc = LQlbciJabed B 1423.3网络问题如图3所示，每个电阻均为R ,求a , b两点间的等效电阻。在a,性

17、，从ab两点间加上电压U,我们假设在a点有电流I流入，根据对称 点流入连接a点的四个电阻的电流应该均为0. 251 o同样，若在b 点有电流I流出，与b相邻的四个电阻流入b点的电流也都是0. 251 ,根据叠 加原理，通过a, b之间那个电阻的电流就应为0.251+0.251=0.51因此 u= /= 0.5IR于是检=詈=0.5/?在一些具有对称性的网络中，我们往往一眼哪些电阻可以去掉或短路，这就是对 称性原则。如图4所示，立方体每条棱之间的电阻均为R ,求立方体体对角线两顶点a、 e间的电阻。利用对称性原则，由于b,c,d等势，fgh,等势，原电路可转化为图5图5X图1例1题图由图5可求出

18、a, e之间电阻为R R R 5RR = + + =必 36363.4利用对称性分析长直密绕載流螺线管内磁感应线的形状原因：螺线管对任意垂直于轴的平面镜像对称平行于轴的直线上的点具有平移对称性，所以B只有垂直于镜面的分量。结果：B是轴矢量。镜像变换后垂直分量不变，平行分量反向。对称性与守恒律是密切联系的，在电磁学中对称性有着广泛的作用，以下将从儿个方面分述对称性在电磁学中的若干具体的应用：例1：求一段长为2L,线电荷密度入的带电 细棒在中心轴线处P点所产生的场强.设P点与带电细棒的垂直距离为1如图1, 分析一般而言，场强是矢量。求场强需要解出每个分量的大小。不过此题有 一个显著的特点，就是带电

19、细棒关于其中垂线对称，因此我们可以建立如图所示 坐标系。得：Nd工厂厂 n入血 CO皿d咼=dEcos = 4心 -4叫3十卩严.-严工=2心+ “)1/23.5对称性结合静电场结合高斯定理及安培环路定理解决实际问静电场的高斯定理是电磁学中一个重要定理，虽然定理本身并不涉及场源 （带电体）的对称性，但是用它來求解对称分布的带电体的场强却是学生必须掌 握的内容。在这一类题目中，仔细分析带电体的对称性是问题的关键，因为我们 需要根据带电体的对称性选取适当高斯面。比如，对球对称带电体系一般选球形 高斯面，对柱对称带电体一般选取柱形高斯面，对平面对称带电体（包括带电薄 板）一般选取封闭长方体形高斯面。

20、例2如图2在一半径为R1,带电体密度为P的均匀带电球体内挖去一个半 径为R2的球形空腔。设空腔中心02与带电球体的球心01之间的距离为L,求空腔内任一点P处的场强。分析 对于球对称体系的处理我们很熟悉，不过这里由于空腔的存在。体系 不再具有“球对称性”但是我们可以通过“补偿法”将不对称条件化为对称条件, 从而简化问题。先用体密度为P半径为R2的均匀带电小球填充空腔，使球体变 为一完整的带电球（记为球1）；再用体密度为 P,半径为R2的均匀带电小球（记为球2）置 于空腔中，使得电荷分布与实际情况相同。这 样，腔中任何一点的场强可用球1,球2所产生 的场强叠加来求解，即：Ep = E、+E2设01

21、到P的位矢为rl 由高斯定理得：（右cl$= E4兀厂彳=- J Sj解得：同理，设02到P的位矢为r2。由高斯定理可以解得球2在P点产生的场强E?=大小-E 矢量形式）JtQOtQ可以得至X Ep=E）+E2 =詁（旷i 一旷2）=彩L 因此在空腔内是匀强电场，大小是磐，方向与页竟相同.磁场的安培环路定理与静电场高斯定理一样，本身的内容不涉及电流体系的 对称性，但是具体到计算则必定与一定对称分布的电流体系相联系。10结论由上面的一些例子我们足以看出对称性在电磁学乃至整个物理学当中的重 要作用。现实生活中也经常遇到一些具有对称性的物体，还有一些不规则形状的 物体也具有对称性，在分析这些具有儿何

22、对称性的物体时，利用对称性，往往 能够得到比较好的结果。事实上，对称性己经广泛地应用物理学及相关学科的 各个方面，它不仅是现代物理理论的重要组成部分，更是人们认识自然的一个重 要理论工具。参考文献1 梁绍荣，刘昌年，盛正华.电磁学（第二版）M.北京：高等 教育出版社， 1993. 32- 35.2 张三慧.大学基础物理学（第二版）M.北京：清华大学出版社，2007.91-92.3 北京大学物理系，中国科技大学物理教研室.物理学习题集（第二册）M.北 京：高等教育出版社，1980. 203 -205.4 廖耀发，张立刚，等。大学物理M.武汉:武汉大学出版社,2001.5 王宝泉。物理学的对称性和守恒定律M.烟台师范学院学报，1998, 5.6 廖耀发，陶佳瑞，等.大学物理学习指导M.武汉:武汉大学出版社,2001.