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1、解法一: 5 545 52 4C ( 3 ) C2 2x x 例1. 求(x2十 3x十 2)5的展开式中x的系数4 45C 3 2 240. 所以x的系数为2 5 2 5( 3 2) ( 3 ) 2x x x x 2 5 1 2 45( 3 ) C ( 3 ) 2x x x x 【 点 评 】 三 项 式 不 能 用 二 项 式 定 理 ,必 须 转化 为 二 项 式 解 法 二 ： 因 为 (x2十 3x十 2)5 (x2十 3x十 2)(x2十3x十 2)(x2十 3x十 2)(x2十 3x十 2)(x2十 3x十 2),例1. 求(x2十 3x十 2)5的展开式中x的系数 所 以 (x
2、2十 3x十 2)5 展 开 式 的 各 项 是 由 五 个因 式 中 各 选 一 项 相 乘 后 得 到 的 . 则 它 的 一 次 项 只 能 从 五 个 因 式 中 的 一 个 取一 次 项 3x,另 四 个 因 式 中 取 常 数 项 2相 乘 得 到 . 4 45C 3 2 240 .x x 所以x的系数为 240. 解法三:4 5 55 5C C 2x所以含x的项为2 5 5( 3 2) ( 1)( 2)x x x x 5 5( 1) ( 2)x x 5 5 4 45 5+C 1 C 2x =5 32 5 16 240 .x x x 例1. 求(x2十 3x十 2)5的展开式中x的
3、系数. 【 1】 展 开 式 中 x4的 系 数 是 _.4 2 8 3 12(1 ) (1 2 ) (1 3 )x x x x x x 3 34( )C x x 144 4144 .x 2 3 28(2+ )C x x 1 1 312(3C )+ x x 【 2】 多 项 式 (1-2x)5(2+x)含 x3项 的 系 数是 . -120 3 3 2 2 35 5( 2 ) ( 2 )2 C C 120 .x x x x 【 3】 展 开 式 中 的 常 数 项 是 _.1 2 1 1 3 33 2 1 321 ( 2) (C C C 2)Cx x 2 321( 2)x x 20. 2 32
4、1( 2)x x 61( )x x 6 261 =( 1) Cr+ r rrT x 363( 21 C 0.) 20 【 4】 2 3 4 5( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)x x x x x 的 展 开 式 中 x2 的 系 数 是 _.0 1 2 2 3 32 3 4 5C ( 1)C ( 1) C ( 1) C 5( 1)1 ( 1) 1 ( 1)x xx 6( 1) ( 1) .x xx 在 (x-1)6的 展 开 式 中 ,含 有 x3项 的 系 数 为36C 20. 原 式 -20 【 5】 三 项 式 转 化 为 二 项 式81( 1 )x x 展 开 式 中 的
5、 常 数 项 为 _.8 81 1( 1 ) ( ) 1x xx x 0 8 1 7 7 8 8 8 8 81 1 1C( ) C( ) C( ) Cx x xx x x 再 利 用 二 项 式 定 理 逐 项 分 析 常 数 项 得0 4 2 3 4 2 6 1 88 8 8 6 8 4 8 2 8C C C C C C C C C =1107.1 107 【 6】 的 展 开 式 中 x6 项 的 系 数 .解 : 6266 6C ( ) C ,rr r rx x 的 通 项 是 5 5 55 5C C(2 ) ( 1) ( 1) 2 .s s s s s s sx x 5(2 1)x 6
6、 5( 1) (2 1)x x 6( 1)x 的 通 项 是6 5( 1)(2 1)x x 的 通 项 是 16 2256 5C C ( 1) 2 .r sr s s s x 由 题 意 知 ,( 0, ,6, 0, ,52 )4r rs s 0,2;rs 解 得 2,1;rs 4,0.rs 16 2 6,2r s 2 0 2 35 6(C 1) 2C 所 以 x6 的 系 数 为 :1 2 45 6(CC 1) 2 0 4 0 55 6(C 1) 2C 640. 【 点 评 】对于较为复杂的二项式与二项式乘积,利用两个通项之积比较方便运算. 7 7 60 1 6 7(3 1) .x a x
7、a x a x a 1 3 5 7(1) ;a a a a 求 0 2 4 6(2) ;a a a a 0 1 2 7(3)| | | | | | | |.a a a a 7( ) (3 1) ,f x x 0 1 2 7(1) ,f a a a a 0 1 2 3 7( 1) ,f a a a a a 7 71 3 5 72( ) (1) ( 1) 2 4a a a a f f 解 :设 6 131 3 5 7(1) 2 2 8128.a a a a 例 2.已 知 0 2 4 6 (1) ( 1)(2) 8256;2f fa a a a (3)因 为 是 负 数 ,0 1 2 7a a a
8、 a 0 1 2 7( )a a a a 7 7( 1) ( 4) 4 .f 1 3 5 7 , , ,a a a a0 1 2 7| | | | | | | |a a a a 7 7 60 1 6 7(3 1) .x a x a x a x a 0 1 2 7(3)| | | | | | | |.a a a a 例 2.已 知 2(2 )x a a x a x a xa a a a 3 30 1 2 32 20 2 1 31.设 3 .求 : 的 值 . 1) )a a a a a a a a 0 1 2 3 0 1 2 3( (2.在 二 项 式 (x -1)11的 展 开 式 中 ,求
9、系 数 最 小 的项 的 系 数 . 462C5 11 最 大 的 系 数 呢 ？ .611C 462 解 :设展 开 式 各 项 系 数 和 为 【 点 评 】 求 展 开 式 中 各 项 系 数 和 常 用 赋 值 法 :令 二项 式 中 的 字 母 为 1. 0 1 2 .na a a a 上 式 是 恒 等 式 ,所 以 当 且 仅 当 x = 1 时 , 0 1 2(2 1) ,n na a a a 2 2 2( 1)0 1(2 1) ,n n n nx a x a x a 【 3】 求 (2x2-1)n的 展 开 式 中 各 项 的 系 数 和 .0 1 2 (2 1) 1.nna
10、 a a a 例 3.近 似 计 算 : |x|1时 ， (1 ) 1 .nx nx 51.997 ( 0.001)例 3.计 算 精 确 到 .5 51.997 (2 0.003) 【 点 评 】 要 注 意 误 差 绝 对 值 应 小 于 精 确 度 的一 半 ,否 则 应 该 加 项 .32 0.24 0.00072 0 5 1 4 2 3 25 5 5C 2 C 2 ( 0.003) C 2 ( 0.003) 31.761. 整 除 性 的 证 明 、 求 余 数 .解 ：例 4. 用 二 项 式 定 理 证 明 能 被 8整 除 .5555 955 5555 9 (56 1) 9 5
11、5 1 54 2 5355 5556 C 56 C 56 54 5555 55C 56 C 9 55 1 54 2 53 5455 55 55(56 C 56 C 56 C 56) 8 55 1 54 5455 55(56 C 56 C 56) 能 被 8整 除 ,5555 9 能 被 8整 除 . 【 1】 如 果 今 天 是 星 期 一 ， 那 么 对 于 任 意 自然 数 n， 经 过 23n+3 7n 5天 后 的 那 一 天 是 星 期几 ？ 所 以 23n+3 7n 5被 7除 所 得 余 数 为 6 ,3 32 7 5n n 1(7 1) 7 5n n 1 1+1 +17 C 7
12、 C 7 1n n nn n 7 5n 1 1+1 +17(7 C 7 C ) 6n n nn n n 所 以 对 于 任 意 自 然 数 n， 经 过 23n+3 7n 5后 的 一天 是 星 期 日 【 2】 求 证 能 被 64整 除 .2 23 8 9( N )n n n 【 1】 已 知 且 则 自然 数 n的 值 为 _. 2 0 1(1 ) (1 ) (1 )nx x x a a x 22 nna x a x 1 2 1 509na a a n ，20 1 2 2 2nna a a 12 2n 0 ,a n 1na 12 512n 1 9n 8 -15120【 2】 (x+3y-
13、z)8中 含 x2y3z3的 项 的 系 数 是 _.2 2 3 3 3 38 6 3(3C ) ( )C Cx y z 2 3 31512= 0 .x y z8( + 3 )x y z 3 5 38( 3 )C ( )x y z 先 找 3 3 3 2 38 5( )C C (3 )z x y 再 找 【 3】 已 知 (10+xlgx)5的 展 开 式 中 第 4 项 为 106 ， 则 x的 值 是 _. 3 2 lg 3 653+1 10 ( 10=C )xT x lg 3 3( ) 10 xx lg 10 xx 2(lg ) 1x lg 1x 110 10或 【 4】 已 知 且 则
14、 自然 数 n的 值 为 _. 2 0 1(1 ) (1 ) (1 )nx x x a a x 22 nna x a x 1 2 1 509na a a n ，20 1 2 2 2nna a a 12 2n 0 ,a n 1na 12 512n 1 9n 81 2 1na a a 509 n ，12 2 1n n 5. 的 值 为 .2 4 2 22 2 2 2C C C Cr nn n n n 2 0 1 2 2 3 3 2 22 2 2 2 2(1 ) C C C C C .n n nn n n n nx x x x x 0 1 2 2 1 2 22 2 2 2 2C C C C C 2
15、;n n nn n n n n 0 1 2 2 1 22 2 2 2 2 2C C C ( 1) C C C 0.r r n nn n n n n n 20 2 4 2 2 12 2 2 2 2C C C C 22nn nn n n n ，令 x=1得两 式 相 加 ， 得 2 4 2 2 1 2 2 2C C C 2 1.n nn n n 令 x=-1得 2 12 1n 【 1】 (广 东 模 拟 )设 (x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2) +a2(x+2)2+a11(x+2)11, 则 a0+a1+a2+a11的 值为 .-2 2 2(2 )( ) ( ) _.x a a x a x a xa a a a 3 30 1 2 320 2 1 32.设 3 . 则( )( )a a a a a a a a 0 1 2 3 0 1 2 3-1
高考数学一轮复习 二项式定理03课件
