弹性力学第2章平面问题的基本理论

《弹性力学第2章平面问题的基本理论》由会员分享，可在线阅读，更多相关《弹性力学第2章平面问题的基本理论（61页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、上 节 课 的 主 要 内 容v弹 性 力 学 与 材 料 力 学 、 结 构 力 学 的 关 系v基 本 概 念 ： 体 力 、 面 力 、 应 力 及 符 号 规 则v基 本 方 程 和 基 本 未 知 数v基 本 假 设 ： 连 续 性 、 完 全 弹 性 、 均 匀 性 、 各向 同 性 （ 理 想 弹 性 体 ） 、 小 变 形 假 定 。 第 二 章 平 面 问 题 的 基 本 理 论 2.1 平 面 应 力 问 题 与 平 面 应 变 问 题 2.2 平 衡 微 分 方 程 2.3 平 面 问 题 中 一 点 的 应 力 状 态 2.4 几 何 方 程 刚 体 位 移 2.5 物

2、 理 方 程 2.6 边 界 条 件 2.7 圣 维 南 原 理 及 其 应 用 2.8 按 位 移 求 解 平 面 问 题 2.9 按 应 力 求 解 平 面 问 题 相 容 方 程 2.10 常 体 力 情 况 下 的 简 化 应 力 函 数 2.1 平 面 应 力 问 题 与 平 面 应 变 问 题 v重 点 ： 理 解 两 个 平 面 问 题 的 概 念一 、 平 面 应 力 问 题几 何 ： 等 厚 度 薄 板受 力 ： 平 行 于 板 平 面 且 沿 厚 度 方 向 均 布 (z无 关 )板 面 上 自 由 0222 tzzytzzxtzz 板 很 薄 ， 外 力 沿 厚 度 不

3、变 化 ， 故 ：0 zyzxz 0z注 意 ： 二 、 平 面 应 变 问 题几 何 ： 等 截 面 长 柱 体 ，（ z 方 向 无 限 长 ， 任 意 截 面 为 对 称 面 ）受 力 ： 沿 长 度 方 向 不 变 化0w 0 zyzx 0z注 意 ： 0z 平 面 应 力 、 平 面 应 变 及 板 的 比 较v相 同 点 ： 等 厚 度 板 ， 载 荷 沿 厚 度 不 变 ， 按 平面 问 题 处 理 ， 基 本 变 量 是 x和 y的 函 数 。v平 面 应 变 ： 一 般 厚 度 很 厚 ， 力 作 用 在 面 内 。v平 面 应 力 ： 一 般 厚 度 很 薄 ， 力 作 用

4、 在 面 内 。v板 ： 一 般 厚 度 很 薄 ， 力 不 作 用 在 面 内 。0w 0z 0z注 意 ：0z 0z注 意 ： 平 面 应 力 与 平 面 应 变v梁 的 弯 曲 问 题v拦 水 大 坝v带 孔 薄 板 的 拉 伸 问 题xy 2.2 平 衡 微 分 方 程单 元 体P： （ x， y）A： （ x + dx， y）B： （ x， y + dy） yxdyyyxyx dxxxx dxxxyxy xyx y dyyyy 弹 性 力 学 分 析 ： 平 衡 方 程 、 几 何 方 程 、 物 理 方 程P AB C xy fxfy 平 衡 方 程 00yyxy xyxx fyx

5、 fyx 0 dxdyfdx dxdyydydydxx xyx yxyxxxx yxdyyyxyx dxxxx dxxxyxy xyx y dyyyy P AB C xy fxfy本 质 ： x、 y方 向 合 力 为 零 。 2.3 平 面 问 题 中 一 点 的 应 力 状 态v一 点 的 应 力 状 态 的 概 念受 力 构 件 内 一 点 处 不 同 方 位 截 面 应 力 的 集 合 .已 知 一 点 处 的 应 力 分 量求 任 意 斜 截 面 上 的 应 力记 ： xyyx ， myn lxn ),cos( ),cos( xyO P AB p np xpyn nyx xy yx

6、微 元 体 平 衡 xyO P AB p np xpyn nyx xy yx设 ： AB=ds ldsBPmdsAP 02 mdsldsfmdsldsdsp xyxxx mynlxn ),cos(),cos( ml sincos yxyy yxxx mlp mlp v斜 截 面 上 正 应 力v斜 截 面 上 切 应 力 xyyx yxn lmml mplp 2 22 xyxyxyn mllmmplp )()( 22 ml sincos yxyy yxxx mlp mlp xyO P AB p npxpyn nyx xy yx v主 应 力 ： 过 P 点 某 一 斜 截 面 上 剪 力 为

7、零 ， 则该 斜 截 面 上 的 正 应 力 称 为 P点 的 一 个 主 应 力 。v应 力 主 面 ： 主 应 力 所 在 截 面 。v应 力 主 向 ： 应 力 主 面 所 在 截 面 的 法 线 方 向 即 主 应 力 方 向 。 确 定 主 应 力 及 应 力 主 面 位 置v设 应 力 主 面 存 在 ， 则 该 截 面 上 只 有 正 应 力（ 主 应 力 ） 记 。 xyO P AB npxp y yx xy yx mplp yx yxyy yxxx mlp mlp yxy yxx mlm mll 00 ml yxy xyx xxyxy ymlml 0 yxy xyx 0 -

8、22 特 征 方 程）（）（ xyyxyx yxy yxx mlm mll 2221 )2(2 xyyxyx 21 注 意 ： yx 21 0 22 ）（） （ xyyxyx 解 得 主 应 力 ： 应 力 主 方 向 的 确 定 ， 则轴 方 向 夹 角 为与设 11 x 111 1111 cos )90cos(cossintan lm xy x 11tan， 同 理 可 得 ：轴 方 向 夹 角 为与设 22 x yxy 22tan 例 外 ）相 互 垂 直 （与 2121 yxyxy xlm yx 21xxy 1 确 定 一 点 处 最 大 最 小 正 应 力主 应 力 就 是 一 点

9、处 的 最 大 最 小 正 应 力任 意 斜 截 面 上 的 正 应 力 22122212 221222 )()1( 2 lll mllmml xyyxn 21 210 yxxyyx ，的 主 方 向 ， 此 时 所 在、应 力轴 分 别 放 在 已 确 定 的 主轴 、将 12 n 确 定 一 点 处 最 大 最 小 切 应 力 2 2 21min21max 角方 向 ： 与 应 力 主 向 成 45 210 yxxyyx ，轴 ， 则轴 、同 样 设 定 )( 2141 )(1 )()()( 1222122 1222 lll lmmllm xyxyn 最 小 值时 ， 剪 应 力 取 得

10、最 大 、， 即 220l21 2 l任 意 斜 截 面 上 的 切 应 力 结 论 yx 2111tan xxy 2 2 2n x y xyl m lm 2 2( ) ( )n y x xylm l m 2221 )2(2 xyyxyx 主 应 力 ：主 方 向 ： 1 2max 2 最 大 剪 应 力 ： x yz 32147 6 7x 3y 4z 1xy 2yz 6zx 7 1 61 3 2 06 2 4 3 78 144 0 31 14478nn 1.846 1.927 1.938 1.939 1.9402( 1.94)( 1.94 74.23) 0 123 7.701.949.64

11、1 11 11 17 1 6 01 3 2 06 2 4 0lmn 1 2 37.70 1.94 9.64 2 2 21 1 1 1l m n 0 zzyzx yzyyx xzxyx 032213 III zyxI 1 2222 zxyzxyxzzyyxI zzyzx yzyyx xzxyxI 3应 力 第 一 不 变 量 ：应 力 第 二 不 变 量 ：应 力 第 三 不 变 量 ： 上 节 课 的 主 要 内 容v平 面 应 力 、 平 面 应 变 及 板 的 概 念v平 衡 微 分 方 程 ： 00yyxy xyxx fyx fyx v一 点 的 应 力 状 态x x yx y xy y

12、p l m p l m 2 2 2n x y xyl m lm 2 2( ) ( )n y x xylm l m 2221 )2(2 xyyxyx 主 应 力 ： 11tan xxy 主 方 向 ： 2.4 几 何 方 程 刚 体 位 移v几 何 方 程 形 变 分 量 与 位 移 的 关 系P AB xyO P AB dxxvv dyyvv dxxuu dyyuu uv xPA 的 线 应 变 ： xudx udxxuux )( ， 略 去 不 计 。的 伸 缩 是 高 一 阶 的 微 量引 起 的 PAv yvdy vdyyvvy )(同 理 ： dxxuu dyyvv dyyuu dxx

13、vv P AB xyO P AB uv PA:dxPB:dy 夹 角 的 改 变 xvdx vdxxvv )( yu同 理 ： yuxvxy P点 的 切 应 变 xy： 直 角 的 改 变 。dxxuu dyyvv dyyuu dxxvv P AB xyO P AB uv yuxvyvxu xyyx ，几 何 方 程 ：已 知 位 移 求 应 变 ， 完 全 确 定 。已 知 应 变 求 位 移 ， 不 能 完 全 确 定 。时当 ： 0 ,0 ,0 xyyx 0 0 ，由 几 何 方 程 yvxu xfvyfu 21 ，由 第 三 式 可 得 ： )()( 21 xfyfyuyfu 01

14、)( xvxfv 02 )(刚 体 位 移 不 引 起 应 变 。 yuu 0 xvv 0 u0： O沿 x方 向 的 刚 体 位 移 。v0： O沿 y方 向 的 刚 体 位 移 。 xyO PP v-usincosu yv x yx sincos： 绕 O转 过 的 角 度 。 注 意v刚 体 位 移 由 约 束 条 件 确 定 ， 仅 已 知 应 变 无 法完 全 确 定 位 移 。 （ 积 分 常 数 问 题 ）v并 非 所 有 应 变 都 是 可 能 的 应 变 ！ ！ ！ yuxvyvxu xyyx ，, , ,x y xyu v 2.5 物 理 方 程v物 理 方 程 应 变 分

15、 量 与 应 力 分 量 间 关 系 。v理 想 弹 性 体 Hooke定 律 zxzxyxzz yzyzzxyy xyxyzyxx GE GE GE 1 )(1 1 )(1 1 )(1 数 ）： 泊 松 比 （ 侧 向 收 缩 系 ： 剪 切 模 量： 拉 压 弹 性 模 量 ； GE 2(1 )EG 平 面 应 力 问 题 0z 1 )(1 )(1 xyxy xyy yxx GEE xyyxxyyx E )1(200 01 011 )( yxz E xyyxxyyx E 2/)1(00 01 011 2 )1(2 )(1 )(1 22 xyxy xyy yxx EEE 平 面 应 变 问

16、题 0z0 )(1 yxzz E )( yxz 1 )1()1(1 )1()1(1 22xyxy xyy yxx GEE xy xy yxGEE 1 )1(1 )1(1 22 21 EE 1 不 变G21 2(1 )2(1 )1E EG 2.6 边 界 条 件v边 界 条 件 ： 指 边 界 上 位 移 与 约 束 或 应 力 与 面力 之 间 的 关 系 。v可 划 分 为 ： 位 移 边 界 条 件 、 应 力 边 界 条 件 和混 合 边 界 条 件 。一 、 位 移 边 界 条 件特 例 ： 已 知 ），（， )()( )()( vusvvsuu ss 0)( 0)( ss vu ，

17、xy qq二 、 应 力 边 界 条 件 )()( )()( sfml sfml ysyxy xsyxx y方 向 正 面 ： 10 ml qyxy 0y方 向 负 面 ： 10 ml qyxy 0 x方 向 正 面 ： 01 mlx方 向 负 面 ： 01 ml 00 xxy 三 、 混 合 边 界 条 件 xyO00 xyu 特 例 ： 01 ml )()( sfml uu ysyxy 注 意 ： 边 界 上 任 意 点 、 任 意 方 向 上 ， 位移 和 面 力 条 件 只 能 给 定 一 个 ， 且 必 须 给定 一 个 。 上 节 课 内 容v几 何 方 程v物 理 方 程v边 界

18、 条 件v圣 维 南 原 理 2.7 圣 维 南 原 理 及 其 应 用 v作 用 于 小 区 域 的 静 力 等 效 的 不 同 力 系 ， 其 影 响主 要 集 中 在 近 处 ， 而 对 远 处 的 影 响 可 忽 略 。F FF/2F/2 F/2F/2F/A F/AF满 足 圣 维 南 条 件 ： 局 部 静 力 等 效 xy xxy FSFN M Nhh lxx Fdy 2/ 2/ Shh lxxy Fdy 2/ 2/ Mydyhh lxx 2/ 2/ 当 一 小 部 分 边 界 条 件 不能 精 确 满 足 时 ， 可 以 应用 圣 维 南 原 理 ， 此 时 的解 不 是 精 确

19、 解 ， 而 是 圣维 南 意 义 下 的 精 确 解 。梁 问 题 ： 上 下 面 必 须 精 确 满 足 ， 两 头 可 圣 维 南 满 足 ！ ！ xy lh/2h/2q1MFN FS qy = -h/2y = -q xy= 0y = h/2y = 0 xy = -q1 x=l u=0 v=0 x=0 /2/2h x Nh dy F /2/2h xy Sh dy F /2/2h xh ydy M x / )2/( Mdyhy b h2h1y xg 位 移 边 界 条 件 ：2y h 时 0 0u v 应 力 边 界 条 件 ：精 确 满 足 ：0,x b 时 1( )x g h y 圣

20、维 南 满 足 ： 10b ydx gbh 0 0b xydx 0 0b yxdx 0y 时 0 xy 0 ( /2) 0b y x b dx 2.8 按 位 移 求 解 平 面 问 题v结 构 力 学 求 解 超 静 定 结 构 ： 位 移 法 、 力 法 、混 合 法v弹 性 力 学 求 解 问 题 ： 按 位 移 求 解 、 按 应 力 求解 、 混 合 求 解v位 移 解 法 以 位 移 为 基 本 未 知 量 ， 将 应 力 、应 变 用 位 移 表 示 )1(2 )(1 )(1 22 xyxy xyy yxx EEE 位 移 表 示 的 应 力 ： yuxvyvxuxyyx2 2,

21、 ,1 12(1 )x yxy E u v E v ux y y xE v ux y 0)2121(1 0)2121(1 222222 222222 yxfyxuxvyvE fyx vyuxuE 位 移 表 示 的 平 衡 微 分 方 程位 移 表 示 的 应 力 边 界 条 件 ys xs fyuxvlxuyvmE fxvyumyvxulE 211 211 22 0, 0yx xy yx x yf fx y x y 11 2，平 面 应 变 问 题 ： EE解 题 步 骤 ：v 求 解 位 移 表 示 的 偏 微 分 方 程 ， 使 其 满 足边 界 条 件 。v 由 求 得 的 位 移 函

22、 数 求 应 力 。位 移 法 ： 理 论 上 适 用 于 各 种 问 题 的 求 解 ，但 由 于 微 分 方 程 复 杂 ， 很 难 找 到 解 析 解 ，但 在 数 值 分 析 中 有 广 泛 应 用 。 0)2121(1 0)2121(1 222222 222222 yxfyxuxvyvE fyxvyuxuE xyh xyh(a) (b)g g设 ： = 0， 则 ： u = 0， v = v(y)022 gyvE BAyyEgv 22 )(12 )(1)(1 22 yuxvE xuyvEyvxuExy yx ）（ ， 0 ,0 xyyx gyAE ，(a) 0)( 0)( 0 hyy

23、yv B = 0 EghA / )2(2 yhyEgv )( yhgy (b) 0)( 0)( 0 hyy vvB = 0 EghA 2 )(2 yhyEgv )2( yhgy 一 式 自 动 满 足 。 2.9 按 应 力 求 解 平 面 问 题 相 容 方 程yuxvyvxu xyyx ， xvyuyxxy vyx uxy yx 223232222 yxxy xyyx 22222相 容 方 程 :是 否 任 意 应 力 函 数 分 布 总 可 以 是 某 种 载 荷 下 的 解 ？ ？是 否 是 可 行 的 应 力 状 态 ，例 ： Gxyxyyx 0 ),( ),( 21 xfvyfu

24、不 成 立解 ： ， xyxyyx 0 yuxvyvxu xyyx ， xyxfyfxy )()( 21按 应 力 求 解 ， 不 仅 需 满 足 平 衡 方 程 ， 还必 须 满 足 相 容 方 程 。yxxy xyyx 22222 100 相 容 方 程 0 ,4 , , 22 xzyzzxy yx Cxyz zCyzCx 1. 下 列 两 种 应 变 状 态 中 ， 是 可 能 的 应 变 状态 ， 是 不 可 能 的 应 变 状 态 。A. B. 0 ,2 , ,)( 222 xzyzzxy yx Cxyz zCyzyxC yxxy xyyx 22222 yxxy xyyx 22222

25、 1 )(1 )(1 xyxyxyyyxx GEE yxxy xyxyyx 22222 )1(2)()( 00yyxy xyxx fyx fyx yfyyx xfxyx yyxy xxyx 222 222 协 调 方 程 ： yfxfyxyx yxyxxy 222222 yfxfyx yxyx )1()(2222 应 力 求 解 平 面 问 题 ：（ 1） 在 域 内 满 足 平 衡 方 程 和 协 调 方 程 ，（ 2） 在 边 界 满 足 应 力 边 界 条 件（ 3） 对 多 连 体 ， 还 必 须 满 足 位 移 单 值 条 件 。 yxxy xyxyyx 22222 )1(2)()(

26、 2.10 常 体 力 情 况 下 的 简 化 应 力 函 数 yfxfyx yxyx )1()(2222 00yyxy xyxx fyx fyx 常 体 力 情 况 0 0)(2 yx 拉 普 拉 斯 方 程 ： （ 调 和 方 程 ）0 , , xyyy xxyf xf 特 解 ： xfyf yxxy yx ,0 ,0特 解 ： 0 0 yxyx yxyyxx ，xAyA xyx yBxB xyy yBxA xByA yxxy xyyx 22222 yxyfxx fy xyyyxx 22222 yxyfxx fy xyyyxx 22222 0 0 yyxyxyxx fyxfyx 满 足0)

27、(2222 yxyx 022222 yx02 4422444 yyxx 04 应 力 函 数 已 使 平 衡 方 程 得 到 满 足 ， 需 满 足 协 调 方程 ， 边 界 条 件 ， 多 连 通 需 满 足 单 值 条 件 。04 常 体 力 3 2234 23F xy qxy yc c 可 解 什 么 问 题 ？2 2 332x Fq xyy c 2 2 0y x 2 223 14xy F yx y c c Fy xq223 14c cS xyc cF yF dy dyc c 3 12 3F c c Fc x=0 qx 总 结v平 衡 方 程v应 力 状 态v几 何 方 程v物 理 方 程v边 界 条 件 圣 维 南 原 理v位 移 解v应 力 解 相 容 方 程 应 力 函 数 作 业v2 9v2 13 0 ,4 , , 22 xzyzzxy yx Cxyz zCyzCx 1. 下 列 两 种 应 变 状 态 中 ， 是 可 能 的 应 变 状态 ， 是 不 可 能 的 应 变 状 态 。A. B. 0 ,2 , ,)( 222 xzyzzxy yx Cxyz zCyzyxC