概率论与数理统计第七章习题概要

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1、第七章习题第七章习题2.设设X1,X2,Xn为总体的一个样本为总体的一个样本,x1,x2,xn为一相应的样本值为一相应的样本值;求下述各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量和估求下述各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量和估计值计值.(1)解解 因为只有一个未知参数因为只有一个未知参数,故只计算总体一阶矩故只计算总体一阶矩 1即可即可.解出解出将总体一阶矩将总体一阶矩 1换成样本一阶矩换成样本一阶矩A1=X,得到参数得到参数 的矩估计量的矩估计量矩估计值矩估计值其中其中c0为已知为已知,1,为未知参为未知参数数.2.(2)其中其中 0,为未知参数为未知参数.解解 因为只有一个未

2、知参数因为只有一个未知参数,故只计算总体一阶矩故只计算总体一阶矩 1即可即可.解出解出将总体一阶矩将总体一阶矩 1换成样本一阶矩换成样本一阶矩A1=X,得到参数得到参数 的矩估计量的矩估计量矩估计值矩估计值3.求求1题中各未知参数的题中各未知参数的最大似然最大似然估计值和估计量估计值和估计量.(1)其中其中c0为已知为已知,1,为未知参为未知参数数.解解 似然函数似然函数 xic(i=1,2,n)时时,取对数得取对数得令令得到得到 的的最大似然最大似然估计值估计值 的的最大似然最大似然估计量估计量3.(2)其中其中 0,为未知参数为未知参数.解解 似然函数似然函数 0 xi 1(i=1,2,n

3、)时时,取对数取对数得得令令得到得到 的的最大似然最大似然估计值估计值 的的最大似然最大似然估计量估计量4.(2)设设X1,X2,Xn是来自参数为是来自参数为 的泊松分布总体的一个样本的泊松分布总体的一个样本,试求试求 的的最大似然最大似然估计量及矩估计量估计量及矩估计量.解解 泊松分布的分布律为泊松分布的分布律为总体一阶矩总体一阶矩 1=E(X)=,将总体一阶矩将总体一阶矩 1换成样本一阶矩换成样本一阶矩A1=X,得到参数得到参数 的矩估计量的矩估计量似然函数似然函数取对数得取对数得令令得到得到 的的最大似然最大似然估计值估计值 的的最大似然最大似然估计量估计量设设x1,x2,xn为相应的样

4、本为相应的样本值值,8(1)验证第六章验证第六章2定理四中的统计量定理四中的统计量是两总体公共方差是两总体公共方差 2的无偏估计量的无偏估计量(SW2称为称为 2的合并估计的合并估计).证证 两正态总体两正态总体N(1,12),N(2,22)中中,12=22=2而不管总体而不管总体X服从什么分布服从什么分布,都有都有E(S2)=D(X),因此因此E(S12)=E(S22)=2,(2)设总体设总体X的数学期望为的数学期望为.X1,X2,Xn是来自是来自X的样本的样本.a1,a2,an是任意常数是任意常数,验证验证是是 的无偏估计量的无偏估计量.证证 E(X1)=E(X2)=E(Xn)=E(X)=

5、10.设设X1,X2,X3,X4是来自均值为是来自均值为 的指数分布总体的样本的指数分布总体的样本,其中其中 未知未知.设有估计量设有估计量T2=(X1+2X2+3X3+4X4)/5,T3=(X1+X2+X3+X4)/4.(1)指出指出T1,T2,T3中哪几个是中哪几个是 的无偏估计的无偏估计量量;(2)在上述在上述 的无偏估计量中指出哪一个较为有效的无偏估计量中指出哪一个较为有效.解解 Xi(i=1,2,3,4)服从均值为服从均值为 的指数分布的指数分布,故故 E(Xi)=,D(Xi)=2,(1)因此因此T1,T3是是 的无偏估计量的无偏估计量.(2)X1,X2,X3,X4相互独立相互独立由

6、于由于D(T1)D(T3),所以所以T3比比T1较为有效较为有效.12.设从均值为设从均值为,方差为方差为 20的总体中的总体中,分别抽取容量为分别抽取容量为n1,n2的两的两独立样本独立样本.X1和和X2分别是两样本的均值分别是两样本的均值.试证试证,对于任意常数对于任意常数,a,b(a+b=1),Y=aX1+bX2都是都是 的无偏估计的无偏估计,并确定常数并确定常数a,b使使D(Y)达到最小达到最小.解解 由由p168(2.19)得得 E(X1)=E(X2)=,D(X1)=2/n1,D(X2)=2/n2.故故 E(Y)=aE(X1)+bE(X2)=(a+b)=,(a+b=1)所以所以,对于

7、任意常数对于任意常数,a,b(a+b=1),Y=aX1+bX2都是都是 的无偏估的无偏估计计.由于两样本独立由于两样本独立,故两样本均值故两样本均值X1和和X2独立独立,所所以以由极值必要条件由极值必要条件解得解得而而由于由于故故D(Y)必有唯一极小值即最小值必有唯一极小值即最小值.14.设设某种清漆的某种清漆的9个样品个样品,其干燥时间其干燥时间(以小时计以小时计)分别分别为为 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0 设干燥时间总体服从正态分布设干燥时间总体服从正态分布N(,2),求求 的置信水平为的置信水平为0.95 的置的置信区间信区间.(1)若由以往经验

8、知若由以往经验知 =0.6,(2)若若 为未知为未知.解解(1)2已知已知,的置信水平为的置信水平为1-的置信区间的置信区间为为n=9,1-=0.95,=0.05,(z0.025)=1-0.025=0.975,z0.025=1.96,=0.6,x=6,的一个置信水平为的一个置信水平为0.95 的置信区间为的置信区间为(5.608,6.392).(2)2未知未知,的置信水平为的置信水平为1-的置信区间的置信区间为为n=9,1-=0.95,=0.05,t /2(n-1)=t 0.025(8)=2.3060s=0.5745,的一个置信水平为的一个置信水平为0.95 的置信区间为的置信区间为(5.55

9、8,6.442).16.随机地取某种炮弹随机地取某种炮弹9发做试验发做试验,得炮口速度的样本标准差得炮口速度的样本标准差s=11(m/s).设炮口速度服从正态分布设炮口速度服从正态分布.求这种炮弹的炮口速度的标准求这种炮弹的炮口速度的标准差差 的置信水平为的置信水平为0.95 的置信区间的置信区间.解解 未知未知,的置信水平为的置信水平为1-的置信区间为的置信区间为n=9,1-=0.95,=0.05,2 /2(n-1)=2 0.025(8)=2 1-/2(n-1)=2 0.975(8)=17.5352.18,又又s=11,标准差标准差 的置信水平为的置信水平为0.95 的置信区间为的置信区间为

10、(7.4,21.1).18.随机地从随机地从A批导线中抽取批导线中抽取4根根,又从又从B批导线中抽取批导线中抽取5根根,测得电测得电阻阻(欧欧)为为 A批导线批导线:0.143 0.142 0.143 0.137B批导线批导线:0.140 0.142 0.136 0.138 0.140设测定数据分别来自分布设测定数据分别来自分布N(1,2),N(2,2),且两样本相互独立且两样本相互独立.又又 1,2,2均为未知均为未知.试试求求 1-2的置信水平为的置信水平为0.95 的置信区间的置信区间.解解 两正态总体相互独立两正态总体相互独立,方差相等方差相等,但方差未知但方差未知,其均值差其均值差

11、1-2的一个置信水平为的一个置信水平为1-的置信区间为的置信区间为n1=4,n2=5,1-=0.95,=0.05,t/2(n1+n2-2)=t0.025(7)=2.3646x1=0.14125,x2=0.1392,s12=8.25 10-6,s22=5.2 10-6,1-2的一个置信水平为的一个置信水平为0.95 的置信区间为的置信区间为(-0.002,0.006).20.设设两两位位化化验验员员A,B独独立立地地对对某某种种聚聚合合物物含含氯氯量量用用相相同同的的方方法法各各作作10次次测测定定,其其测测定定值值的的样样本本方方差差依依次次为为sA2=0.5419,sB2=0.6065,设设

12、 A2,B2分分别别为为A,B所所测测定定的的测测定定值值总总体体的的方方差差,设设总总体体均均为为正正态态的的,设两样本独立设两样本独立,求方差比求方差比 A2/B2的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间的置信区间.解解 两正态总体均值两正态总体均值未知未知,方差比方差比 A2/B2的一个置信水平为的一个置信水平为1-的的 置信区间为置信区间为nA=10,nB=10,1-=0.95,=0.05,F /2(nA-1,nB-1)=F0.025(9,9)=4.03sA2=0.5419,sB2=0.6065,A2/B2的一个置信水平为的一个置信水平为0.95的置信区间为的置信区间为(0.222,

13、3.601).22(2)求求18题中题中 1-2的置信水平为的置信水平为0.95 的单侧置信下限的单侧置信下限.解解按照按照t t分布的上分布的上 分位点的定义分位点的定义即即1-=0.95,=0.05,t(n1+n2-2)=t0.05(7)=1.8946,1-2的置信水平为的置信水平为0.95 的单侧置信下限为的单侧置信下限为18题中已得到题中已得到 x1=0.14125,x2=0.1392,sw=2.55 10-3,n1=4,n2=5,22(3)求求20题中方差比题中方差比 A2/B2的置信水平为的置信水平为0.95的单侧置信上限的单侧置信上限.解解 由由p169定理四得定理四得按照按照F分布的下分布的下 分位点的定义分位点的定义 即即20题中已得到题中已得到 nA=10,nB=10,sA2=0.5419,sB2=0.6065,1-=0.95,=0.05,1/F1-(nA-1,nB-1)=F(nB-1,nA-1)=F0.05(9,9)=3.18,A2/B2的置信水平为的置信水平为0.95的单侧置信上限为的单侧置信上限为