线性代数知识点归纳

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1、线性代数复习要点第一部分 行列式1. 排列的逆序数2. 行列式按行（列）展开法则3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义1. 行列式的计算：a11aa12aa1na（定义法）D =21222 nnaa a1n2nn（降阶法）行列式按行（列）展开定理:=工(_1开(也jn)aa a.1 ji2 j2nj；jlj2 jn行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和 .推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 . （化为三角型行列式）上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积 .若A与B都是方阵（不必同阶）AOA*OB =O

2、BOA*ABO =BOaO,则1n2 n1二 IAIIB=(1)mn |A| |Ba1n 关于副对角线：(1)叩 a a a1n 2 nn1an1an1 范德蒙德行列式：x1x21x2x22XnX 2n1 j i nXn11Xn12Xn1nbb -a - b型公式:=a + (n - )b(a - b)n-1之和，使问题简化以例计算.（数学归纳法）2.对于n阶行列式Al，恒有:XE - A亠+X （-1）kS心-k，其中S为k阶主子式; kk=13.证明|A| = 0的方法:b - （升阶法）在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法 .（递推公式法）对n阶行列式D找出D与D 1或D 1

3、, D 2之间的一种关系一一称为递推公式，其nnn-1n-1 n 一 2D ,D -1,D -2等结构相同，再由递推公式求出 D 的方法称为递推公式法. n n -1 n-2n（拆分法）把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式、Al = -la；4. 、反证法； 、构造齐次方程组Ax = 0, 、利用秩，证明尸n ； 、证明0是其特征值.代数余子式和余子式的关系证明其有非零解；M = (-1)i -AijijA = (-1)i+-M i-ij第二部分 矩阵1. 矩阵的运算性质2. 矩阵求逆3. 矩阵的秩的性质4. 矩阵方程的求解1.矩阵的定义由m X n

4、个数排成的m行n列的表A =a11a21a12a22a、1na2 n称为m X n矩阵.am1am2记作：C)j mxn或Amxn範同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等.倉矩阵相等：两个矩阵同型，且对应元素相等.a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b.数与矩阵相乘：数九与矩阵A的乘积记作九A或A九，规定为九A =（九a ）.ijc.矩阵与矩阵相乘：设A = (a ), B = (b )，则C = AB = (c )ij mxsij sxnij mxn其中AB 二 BA注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律，即公式AB : 0 = A二或b=0不成立.a.分块对角阵相(A(B

5、 ( A B( An、A: 11,B : 11=AB : 11 11An :11 A丿22lB22lA B 22 22lAn丿22b. 用对角矩阵A Q乘一个矩阵，相当于用A的对角线上的各元素依次乘此矩阵的钞向量;c. 用对角矩阵A 乘一个矩阵，相当于用A的对角线上的各元素依次乘此矩阵的甸向量.d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.方阵的幂的性质： Am An ： Am+n ,(Am ) n = (A) mn 矩阵的转置：把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作AT .a. 对称矩阵和反对称矩阵： A 是对称矩阵A : ATA : - AT厂AB、T(

6、ATCT、i C Dl BTDt丿(AA A )1121n1AA A1222n 2l A1nA2n A丿nnA是反对称矩阵b. 分块矩阵的转置矩阵： 伴随矩阵：A* : Aij，人甘为A中各个元素的代数余子式.AA* :A*A : |A|E ,|A*|= |A|n-1 , A-1:lAl-1 .(A分块对角阵的伴随矩阵：丫 (BA*B戸、AB *丿* B丿(l)mn B A*(1)mn |A| B*丿矩阵转置的性质：矩阵可逆的性质：伴随矩阵的性质：AA* = A* A = A E (无条件恒成立)A*伴随矩阵法-1 =冈(a*cd 丿ad bc * cb、a丿主换位 副变号2.逆矩阵的求法 方

7、阵A可逆 |A|主0. 初等变换法(AE) 初等行变换(EA-1)(A分块矩阵的逆矩阵：1(a11十a1a=壬2a2*a3丿3*a3丿配方法或者待定系数法a2a31(逆矩阵的定义AB = BA = E n A-1(*B十I a】B)A 1(B1、丿=* A 1丿壬a23.行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为0 ；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是 0时，称为行最简形矩阵4. 初等变换与初等矩阵 对换变换、倍乘变换、倍加(或消法)变换初等变换初等矩阵初等矩阵的逆初等矩阵的行列式r宀r (

8、c宀c )iJ ijr x k (c x k )iir + r x k (c + c x k )iJiJ矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘A;变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵注意：初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵 .5.矩阵的秩I关于A矩阵秩的描述： 、r(A) = r , A中有r阶子式不为0, r +1阶子式(存在的话)全部为0; 、r r， A中存在r阶子式不为0;矩阵的秩的性质： A 丰 O o r (A) $1 ； A = O o r (A) = 0 ； 0 w r (A ) w min(m, n)m

9、xn r(A) = r(at ) = r(ata)r(kA) = r(A) 其中k丰0r(A) + r(B) nB的列向量全部是Ax二0的解若A , B ,若 r (AB)二 0 nmxn nxs r(AB) w min r(A), r(B)若P、Q可逆，则r(A) = r(PA) = r(AQ) = r(PAQ) ； 即:可逆矩阵不影响矩阵的秩.o Ax = o只有零解若r (A )=mxnr (AB) = r (B)A在矩阵乘法中有左消去律AB = O n B = OAB = AC n B =C若 r (B) = n nnx sr(AB)=r(B)B在矩阵乘法中有右消去律.若r(A) =

10、r n A与唯等价，称为矩阵A的等价标准型. r(A 土 B) w r(A) + r(B), max r(A), r(B) w r(A, B) w r(A) + r(B)(O B求矩阵的秩：定义法和行阶梯形阵方法6矩阵方程的解法（|A|丰0 ）：设法化成（I）AX = B或 （II）XA = B第三部分 线性方程组1. 向量组的线性表示2. 向量组的线性相关性3. 向量组的秩4. 向量空间5. 线性方程组的解的判定6. 线性方程组的解的结构（通解）（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）2）非齐次线性方程组的解的结构（通解）1线性表示：对于给定向量组卩，a，a，a ，若存在一组数

11、k , k，k使得12n12nB= ka + k a + + k a ，1122n n则称卩是a1，冬，巴的线性组合，或称称卩可由US巴的线性表示.线性表示的判别定理:P可由a ,a ,a的线性表示12n由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:” a x + ax+ +ax= b111122lnn1a x + ax+ax= b有解2112222nn2曰加十(aaa、(x (b )11121n11aaaxb2122 -2 n：2：2aaa丿x丿P丿2、mo Ax = Pmmn nmnm1 m 2a x + ax + a x = bml、(a a 1 2a )nr x、1x2=P （全部按列

12、分块，其中p =r b)1b2I xn丿); 、a x + a x +a x = P （线性表出）1122n n 、有解的充要条件：r（A） = r（A, p） |讪量纟14卫向量组a1?tz2?,。州级11-.儿(l)r(A) n，则0,0 ,，0线性相关.12s12n12s向量组0 ,0 ,，0线性无关,且可由a ,a ,a线性表示，则s w n.12s12n 向量组0，0，0可由向量组a ,a ,a线性表示，且r(0,0 ,，0 )二r(a ,a ,a )，则两向量12s12n12s12n组等价; 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. 向量组的极大无关组不唯一

13、，但极大无关组所含向量个数唯一确定 . 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. 设A是m X n矩阵，若r(A) = m , A的行向量线性无关；5. 线性方程组理论线性方程组的矩阵式IAx二卩向量式 a11a21a12a22am1am2其中a .=xa + x a + + x a =卩1122n n(a、1 ja2 jaI mj丿1)解得判别定理2)组解的性质+n 也是它的解12(1)n，耳是Ax=o的解，耳1 2n是Ax = o的解,对任意k, kq也是它的解n ,n，,n是Ax=o的解,对任意k个常数 12k九,九，,九，九n +九n +九n也是它的解12k 112 2

14、k k丿(2)(3)齐次方程组(4)(5)(6)(7)Y是Ax =卩的解，耳是其导出组Ax = o的解,y +耳是Ax =卩的解 耳，耳是Ax二卩的两个解，耳-H是其导出组Ax = o的解1 2 1 2耳是Ax =卩的解，则耳也是它的解oq -H是其导出组Ax = o的解2 1 1 2耳,n，,耳是Ax =卩的解，则12k九耳+九耳+九耳也是Ax =卩的解O九+九+九=1112 2k k12k九耳+九耳+九耳是Ax = 0的解O九+九+九=0112 2k k12k(3)判断耳巴，弋是Ax =O的基础解系的条件: q,n2,n线性无关；1 2s n ,n，,n都是Ax=o的解；1 2s s =

15、n-r(A)=每个解向量中自由未知量的个数.求非齐次线性方程组Ax = b的通解的步骤5)其他性质一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.V若Z是Ax二卩的一个解，g , g，,g是Ax = 0的一个解ng , g，,g ,n*线性无关1s1s（A）V Ax = o与Bx = o同解（A,B列向量个数相同）o r= r（A） = r（B）,且有结果：IB丿 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； 它们对应的部分组有一样的线性相关性； 它们有相同的内在线性关系.V矩阵A 与B 的行向量组等价o齐次方程组Ax = o与Bx = o同解o PA = B （左乘可逆矩阵P ）;mxnl xn矩阵A 与B 的

16、列向量组等价o AQ = B （右乘可逆矩阵Q ）.mx nlx n第四部分 方阵的特征值及特征向量1. 施密特正交化过程2. 特征值、特征向量的性质及计算3. 矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化标准正交基I n个n维线性无关的向量，两两正交，每个向量长度为1.向量a =(a ,a，,a )T与卩=(b ,b，,b )T 的内积 (a,卩)= ab = Sab12n12n i i11i=1a与卩正交（a,卩）=0.记为：a丄卩向量a =a2 = a2 + a2 + + a2 i X 12ni=1(a,a，,a 万的长度Ila II=J(a a) = a是单位向量I a即长度为1的向量.

17、2. 内积的性质： 正定性：(a, a) 0,且(a, a) = 0 oa =o12n 对称性：线性性：+a 2,卩)=(ai,卩)+ (a 2,卩)3.倉设A是一个n阶方阵，若存在数九和n维非零列向量x ,使得则称九是方阵A的一个特征值，x为方阵A的对应于特征值九的一个特征向量.处A的特征矩阵Re - A| = 0 (或 |A-九E| = 0).範IA的特征多项式I九E - A| =申(九)(或IA -九E =申(九).申(九)是矩阵A的特征多项式n申(A)二OtrA，trA称为矩阵A的迹.三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的 n 各元素.若IA| = 0，则X = 0为A的特征

18、值，且Ax = 0的基础解系即为属于X = 0的线性无关的特征向量.r(A)二1 o A 一定可分解为A = a、1a? (b ,b )、 A2 = (a b + a b FF a b ) A 从而n112 2n n A的特征值为.X = trA = a b + a b HF a b*1112 2n nX =X23注役，,an)T为A各行的公比，(b1，,b)为A各列的公比.若A的全部特征值X ,X，,X，f (A)是多项式，则:12n 若A满足f (A) = O n A的任何一个特征值必满足f (X ) = 0i f (A)的全部特征值为f (X ),f厲),f (X ) ；f (A)| =

19、 f (X )f (X )f (X ). A 与 AT 有相同的特征值，但特征向量不一定相同.4.特征值与特征向量的求法 写出矩阵A的特征方程|A-XE = 0，求出特征值X.(2)根据(A -X E)x = 0得到a对应于特征值X的特征向量.ii设(A- X E)x = 0的基础解系为g , g，g ,其中r = r(A- X E).i1 2nriii则A对应于特征值X的全部特征向量为kg + k g + + k g ,i112 2nr nrii 其中k , k裁为任意不全为零的数.1 2nri5. 血| A与B相似IP-1AP = B( P为可逆矩阵)公IA与B正交相似 P-1 AP =

20、B( P为正交矩阵)倉IA可以相似对角化 A与对角阵A相似.(称A是A的相似标准形)6. 相似矩阵的性质： |九E - A = |九E - B，从而A, B有相同的特征值，但特征向量不一定相同. 是A关于九的特征向量, P -ia 是B关于九的特征向量. trA 二 trB |A = |B|从而A, B同时可逆或不可逆 r(A)二 r(B) 若A与B相似，则A的多项式f (A)与B的多项式f (A)相似.7. 矩阵对角化的判定方法 n阶矩阵A可对角化(即相似于对角阵)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.这时，P为A的特征向量拼成的矩阵，P-1 AP为对角阵,主对角线上的元素为A的特征值

21、.设为对应于九的线性无关的特征向量,则有:iiP-1AP =九丿nA可相似对角化o n - r(X E - A)二k，其中k为九的重数o A恰有n个线性无关的特征向量. i i i i注当九二0为A的重的特征值时，A可相似对角化o九的重数二n - r(A)二Ax = o基础解系的个ii数. 若n阶矩阵A有n个互异的特征值n A可相似对角化.8. 实对称矩阵的性质：特征值全是实数,特征向量是实向量; 不同特征值对应的特征向量必定正交；注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关; 一定有n个线性无关的特征向量.若A有重的特征值，该特征值九的重数=n - r（九E - A）；ii 必可用正交

22、矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形； 两个实对称矩阵相似O有相同的特征值.9.正交矩阵 AAt = E正交矩阵的性质：At = A-1 ； AAT = ATA = E ； 正交阵的行列式等于1或-1； A是正交阵，则AT，A-1也是正交阵； 两个正交阵之积仍是正交阵； A的行（列）向量都是单位正交向量组.10.11.范化性无求正交矩阵把实对称矩阵化为对角阵的方法:1.解特征方程A-AE =0,求出对称阵3的全部不同的特征值人，凡厂施密特正交规关,2*对每个特征值人，求曲对应的特征向量，即求齐次线性方程组（.4 -

23、 A.）a = 0的基础解系。3. 将属于傳个几的特征向量先正交化，再单位化。单位化：_ P叫药这样共可得到个两两正交的单位特征向量0毎4. 以为列向量构成正交矩阵T =有 T 4T = A技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个 解向量代入方程，确定其自由变量.第四部分二次型1.二次型及其矩阵形式2.二次型向标准形转化的三种方式3.正定矩阵的判定A 倉 二次型 f S X2,J) AS X2,，X)i=1 j=1I an1厂aiia21=xt Ax其中A为对称矩阵，x = % JA与B合同CTAC = B .（ A, B为实对称矩阵,C为可逆矩

24、阵）倉正惯性指数I二次型的规范形中正项项数P负惯性指数二次型的规范形中负项项数r-p符号差I 2 p - r（r为二次型的秩）x = Cy化为f = d y 2标准形 i i1倉配方法（1）若二次型含有x的平方项，则先把i有x的乘积项集中，然后配方，再对其余的i量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形； 两个矩阵合同o它们有相同的正负惯性指数O他们的秩与正惯性指数分别相等. 两个矩阵合同的充分条件是：A与B等价 两个矩阵合同的必要条件是：r（A） = r（B）正交变换2. f （x ,x ,x ） = xTAx经过合同变换12n可逆线性变换倉正交变换法用正交变换化二次

25、型为标准形（规范形）的具体 步骤1将二次枫表成览阵形式f = Ax.求出A求岀/的所有特征值春為.人：含3求出对应于特征值的特征向量歹1，歹”n盘;变 ：I i I 丨-I I.-曲皿张记卩=5险皿）：5一作正交变换丫 = 匕则得丁的标准形 f =召胃+ +入（2）若二次型中不含有平方项，但是a.丰0 （i主j）,则先作可逆线性变换jx = y - yv x = y + y(k = 1,2,，n且k 丰 i, jj i jx = ykk化二次型为含有平方项的二次型，然后再按（1）中方法配方.初等变换法3. I正定二次型I x ,x，x不全为零，f （x ,x，x ） 0.12n12n正定矩阵|

26、正定二次型对应的矩阵.4. f （x） = xTAx为正定二次型o （之一成立）：（1）Vx Ho ， xtAx 0 ；（2）A 的特征值全大于0 ；（3）f 的正惯性指数为 n；（4）A的所有顺序主子式全大于0 ；（5）A与E合同，即存在可逆矩阵C使得CtAC = E ；（6）存在可逆矩阵 P ，使得 A = PTP ；5. （1）合同变换不改变二次型的正定性.（2）A为正定矩阵亠a. 0；|A| 0.11（3）A为正定矩阵亠At, A-1, A*也是正定矩阵.（4）A与B合同，若A为正定矩阵亠B为正定矩阵（5）A,B为正定矩阵亠A + B为正定矩阵，但AB,BA不一定为正定矩阵.6. 半正定矩阵的判定一些重要的结论注：全体n维实向量构成的集合尺n叫做n维向量空间.V关于e , e ,e :12n称为诫n的标准基，底n中的自然基，单位坐标向量; e ,e ,e线性无关；1 2n e , e ,e = 1 ；1 2n trE=n ；-，e线性表示.n 任意一个n维向量都可以用e , e ,