简谐运动应用

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1、TE=Ei+昆- 111 114-5简谐运动的能量Energy of Simple Harmonic Vibration引言：作简谐运动的系统，因物体有速度而具有动能，因弹簧发生形变而 具有势能，动能和势能之和就是其能量。一、简谐运动的能量1. 能量表达式(1) 推导t时刻质点的位移为x,速度为v,则以弹性振子为例/假设在x = A cosQot + p)v = - A sin 6t + p)则系统动能为：E = mv2 =丄mA2 2 sin2(ot + 9) k 22系统势能为：E = kx2= kA2 cos2(t + 9) p 22因而系统的总能量为t +2kA2 COS26t + 9

2、)E=E +E = mA2 2 sin2k p 2k考虑到 2=，则m11E= mA2 2= kA222(2) 结论 弹簧振子作简谐运动的能量与振幅的平方成正比。(3) 解释 由于系统不受外力作用，并且内力为保守力，故在简谐运动的过程中，动能与 势能相互转化，总能量保持不变。(4) 说明1) E*A2,对任何简谐运动皆成立；2) 动能与势能都随时间作周期性变化， 变化频率是位移与速度变化频率的两倍， 而总能量保持不变；且总能量与位移无 关。动能 Ek=E-Ep2. 能量曲线注意理解能量守恒和动能、势能相互转化过程。二、能量平均值定义：一个随时间变化的物理量f(t)，在时间T内的平均值定义为因而

3、弹簧振子在一个周期内的平均动能为E -1k TmA 2 2 sin Cot + plit 二 mA 2 2 二 kA22440因而弹簧振子在一个周期内的平均势能为E f kA2 cos2 Cot + Qht kA2 mA22 p T 2440结论：简谐运动的动能与势能在一个周期内的平均值相等，它们都等 于总能量的一半。三、应用1. 应用1记忆振幅公式由能量守恒关系可得：k A2/2= mv02/2+ kx/2 解之即得：2.应用2推导简谐运动相关方程 在忽略阻力的条件下，作简谐运动的系统只有动能和势能（弹性势能和重 力势能），且二者之和保持不变，因而有2（E+ E dt k p将具体问题中的动

4、能与势能表达式代入上式，经过简化后，即可得到简谐 运动的微分方程及振动周期和频率。这种方法在工程实际中有着广泛的应用。此方法对于研究非机械振动非常方便。 例1.用机械能守恒定律求弹簧振子的运动方程。 解：弹簧振子在振动过程中，机械能守恒，即111mv 2 + kx 2 kA 2 C222两边对时间求导，得1 2 dv 丄 1 k 2 dx om 2v + k 2x 02 dt 2dtd2 x 八m - v + k - xv 0dt 2d2 x k门+ x 0mdt 2k 令 2=，则md2 x八+ o 2 x 0 dt 2其解为x = A cosOot + p)代入守恒方程可得A=A例2.劲度

5、系数为k、原长为1、质量为m的匀质弹簧，一端固定，另一端系一 质量为M的物体，在光滑的水平面上作直线运动，求其运动方程。解：取物体受力平衡位置O为坐标原点，向右为x轴正方向，如图所示，设 mM且振幅不大。这样，弹簧上各 点随物体作同相运动，固定端振幅 为零，与物体相连的一端振幅与物体的振幅相同，各点的位移与到固定端的距离S成正比(0WSW1)。当弹簧的动能与物体的动能分别为物体位于S处时,取微元dS，其质量为dm=mdS/l,位移为Sx/1，速度为(S/1)(dx/dt), 而dx/dt=v正是物体运动的速度。若忽略阻力，则系统机械能守恒。当物体位 于x处时，1二一mv 26=丄m2 101E

6、 = Mv 2k 22系统的势能为E = kx 2p 2根据机械能守恒定律，有111mv 2+ Mv 2+ kx 2=const6 2 2 M + 二 m v2+丄 kx2= const2Eki3丿将上式对时间求导，整理后可得(“1 ) dvM + m +kx=0 I 3丿dvdt或写成+ o 2x=0dt 2( 1 )2=k / M + mI 3丿可见，当弹簧质量远小于物体的质量时，且系统作微小运动时，弹簧振子 的运动可以认为是简谐运动，振动周期为T 2兀:M + m/3T = 2兀o k因而，周期比不计弹簧质量时要大。不过当m=M时，与严格计算结果相 比较，误差也是不大于1%。例 质量为0

7、.10 kg的物萍，以振幅LOX102 H1作简谐运动，其最大抛速度为 4 0m*s 求：(1) 振动的周期；(2) 通过平衡位置竝的动能；(3) 总能解因二 Attj?(4) 物体在何社其动能和势能相等？- 20 s T l.Ox itp Tn 互=詐十0.314 3 町 20 s(2)因通过平篠位置时的速度为巖大，故Jlj.niKC f 2朋1A将已知数据代人,得Eg = 2.0xt()J 总能 E = E = 2-OX1O-3 J 当E严Ep时屁= 1.0xior,由E严号2=言枷宀得T Fxi=0.5xl0v，所以A比一 21.2 一A转动得快，当A转到与A1 2 1 反方向位置时，合

8、振幅最小； 当A转到与A同方向位置2 1 时，合振幅最大，并且这种变化是周期性的。 拍的应用： 用音叉的振动来校准乐器； 利用拍的规律测量超声波的频率；在无线电技术中，可以用来测定无线电波频率以及调制定:两个相互垂直的同频率简谐运动的合成问题：某质点同时参与两个同频率的互相垂直方向的简谐运动 x = A cosOot + p ） y = A cosCot + p ）2 2=cos ot cos p sin ot sin pA111y.=cos ot cos p sin ot sin pA222分别对上述两式乘以coset sinet,并相加，可得x 2y 2xy （）. O+cos p ）=

9、Sin2pA 2 A 2 A A 2121 2 1 2这是椭圆方程，其形状由分振动的振幅A, A2和相位差Ap=p p确 一 1x方向：方向：x改写为:（1 ） Ap=p -p =0 时，2 1A一y = 2 x，轨迹为直线（简谐运动）；A1（2）Ax，Ap=p -p =兀时，2 1轨迹为直线（简谐运动）;*兀Ap72 一忙=2 时x 2 y 2+ -A 2A 21 2=1，轨迹为椭圆（正椭圆）;4啊二 N o TA3兀x 2 y 2(4)-甲 时，+- 1，轨迹为椭圆(逆椭圆)。21 2A 2 A 21 2关于(3)的说明：y方向的振动相位比x方向超前n/2,当质点在x方向 达到最大位移时，

10、在y方向质点正通过原点向负方向运动，因此质点沿椭圆轨 道运动的方向是顺时针的，或者说是右旋的。另外，当0 人申兀时，质点沿顺时针方向运动；当兀 人申 0时， 质点沿顺时针方向运动。四、两个相互垂直的不同频率两个简谐运动的合成x方向：y方向： 合振动比较复杂，1.两个分振动的频率相差很小：问题：某质点同时参与两个不同频率的互相垂直方向的简谐运动 x = A c o So t + p ) y = A cosCo t + p )2 2 2 分两种情况讨论。此时可以近似地把两个振动的合成看 成同频率简谐运动的合成，但它们的相位差 随时间缓慢地变化，于是合振动的轨迹将由 直线变为椭圆，又由椭圆变为直线，

11、并循环 地改变下去。J2. 两个分振动的频率相差较大，但 有简单的整数比关系：此时合振动的轨迹为封闭的图形，称 为李萨如(Lissajous Figures)图形。该 图形的的具体形状取决于两个互相垂直 方向简谐运动的频率之比合初相位，并且 该图形坐标轴的切点之比与频率之比相 等。用此方法可以测量一未知振动的频率 与相互垂直方向的两个简谐运动的相位 差。 147阻尼振动、受迫振动、共振Damped Vibration,Forced Vibration Resonance这就是说，振动一经发生，就能够永远不 种理想的情况，称为无阻尼自由振动。引言：简谐运动的振幅不随时间变化， 停地以相同的振幅振

12、动下去。这是-实际上，任何振动系统都会受到阻力的作用，系统的能量将因不断克服阻力作功而损耗，振幅将逐渐减小。这种振幅随时间减小的振动称为阻尼振动。 为了获得所需的稳定振动，必须克服阻力的影响而对系统施以周期性外力的作 用。这种振动称为受迫振动。本节讨论这种情况。1.2.3.、阻尼振动 Damped Vibration引言：消耗系统能量的两种方式：摩擦阻尼：系统与周围介质或系统内部的摩擦，使系统的能量变为热能； 辐射阻尼：振动向外界传播而将系统的能量变为波动能量。本节讨论第一种阻尼作用下的振动情况。什么是阻尼振动？振幅随时间的变化而减小的振动称为阻尼振动。阻尼振动的运动（微分）方程在系统的振动过

13、程中，振子除了受到弹性力的作用外，还受到粘滞阻力的作用。当物体速度不太大时，粘滞阻力大小与速度的大小成正比，方向相反。f = -Cv= - C dXdt其中C是阻尼系数，由物体的形状、大小和周围介质的性质而定。在有阻力作 用时，根据牛顿第二定律，有d2 xdx m= -C- kxdt 2dt” k n C、令2=，卩=，则上式可写成0 m2md2xdx .小+2卩2 x=0dt2dt 0其中W0是系统的固有角频率（natural angular frequency）， 0是表征系统阻尼的 大小，称为阻尼因子，0越大，阻力越大。4.讨论:阻尼振动的微分方程的特征方程（即将eDx形式的解代入此方程

14、，化简后 可得）为D 2+2 PD+w 2=0022 ）阻尼较大0 A2 W 2，阻尼较小 0 A2 =W 2，临界阻尼02 一202其解为-卩土邛-P ig 2 - p 0-P1）弱阻尼（情况2）（、解为 x 二 A e-P t co 匕 t + Q）0 A0、p :积分常数，由初始条件确定；2 0 0 由振动系统的固有角频率和阻尼因子确定。由振动方程可知，阻尼振动可看成是振幅为 A0e-P，角频率为e的振动，阻尼振动的振幅为 A0e-P，随时间作指数衰减，阻尼越大，振幅衰减越 快，不是简谐运动。在阻尼不大时，可近似地看 成是一种振幅逐渐减小的振动，周期为2兀2兀T =:2 - P 2V 0

15、注意：阻尼振动不是严格意义下的周期运动，因为经过一定时间后，振子不在回到原来的位置。通常称为准周期运动。2）过阻尼（Over damping，情况1）解为x = C e-PP2吨 + C e-时 P2-吒1 2可见偏离平衡位置的振子只能缓慢地回到平 衡位置，不再作周期性的往复运动，是一种非周期运动。3）临界阻尼（critical damping 情况 3）解为 x =（C + C t丄-pt1 2振子恰好从准周期运动变为非周期运动。与弱阻尼和过阻尼比较，在临界 阻尼情况下振子回到平衡位置而静止下来所需时间最短。此时，B可以理解为衰减常量（attenuation constant），它的倒数称为

16、弛豫 时间（relaxation time）， T =1/p， p越大，弛豫时间越短，则振动衰减越快。 4应用 减小阻尼：活塞 增大阻尼：弦乐器、空气箱、减振器 利用临界阻尼：阻尼天平、灵敏电流计：使指针尽快回到平衡位置， 节约时间，便于测量。二、受迫振动 Forced Vibration1引言一切实际的振动都是阻尼振动，而且阻尼振动最终都将因为能量的损耗而 停止下来。为了使系统的振动能够维持下去，要给系统补冲能量。通常是对系 统施加一周期性外力的作用。这种周期性的外力称为策动力（driving Force ）， 或强迫力。在强迫力作用系统发生的运动称为受迫振动。如扬声器中纸盆的振 动，机器运

17、转时引起机坐的振动等，都是受迫振动。2. 运动方程设振子质量为m，除受到弹性力-kx,阻尼力-Cv的作用外，还受到强迫力 Hcos（Pt）的作用。其中H是强迫力的最大值，称为力幅，P为强迫力的角频率。 根据牛顿第二定律可知d2 xm -dt 2=-C 不-5 co血）人 _ka C H,、令2 ，P=， h =则上式可写成0 m2mmdX +2P dx + 2xhcosSt)dt2dt0这就是受迫振动的运动微分方程。其解为()x 二 A e-Pt cosQo t + +acosSt + 9)03. 解的讨论：第一项：阻尼振动，经过一定的时间后将消失。第二项：与简谐运动形式相同的等幅振动，是受迫

18、振动的稳定解。即：在受迫振动过程中，系统一方面因阻尼而损耗能量，另一方面又因周 期性外力作功而获得能量。初始时，能量的损耗和补充并非是等量的，因而受 迫振动是不稳定的。当补充的能量和损耗的能量相等时，系统才得到一种稳定 的振动状态，形成等幅振动。于是受迫振动就变成简谐运动，即定态解(Stationary solution)其运动方程为x = AcosPt +p 丿稳定后的振幅为 )A h. W 2 P 2 )+ 4 P 2 P 2 0受迫振动位移与强迫力之间的相位差为2 PP豹= 2 一 P 2说明：稳定状态下的受迫振动的角频率不是振动系统的固有角频率，而是强迫力 的角频率；A、9并不决定于系

19、统的初始状态，而是依赖于系统的性质、阻尼的大小 和强迫力的特性。共振 Resonance1引言：在稳定状态下，受迫振动的振幅与强迫力的角频率有关。当强迫力的角频 率P与固有角频率30相差较大时，受迫振动的振幅较小；而当P与30相差较 小时，受迫振动的振幅较大；当P为某一定值时，受迫振动的振幅得到最大值。 我们把受迫振动的振幅达到最大值的现象称为共振。2.共振角频率与共振振幅：1)共振角频率：系统发生共振时强迫力的角频率称为共振角频率，用3表示。 用求极值的方法三、QA _ aQQ计算可得2)共振振幅12 P 2 丿+ 4 P 2 P 20=.； 2 2Pr “0h2P十2 - PV 03)共振

20、时受迫振动位移与强迫力之间的相位差0(;Ap 二 arctg -r卡2-2P2P丿3. 说明：1）3r略小于W 0,当阻尼因子B趋于零而发生共振现象时，共振角频率等于系 统的固有角频率，w =30；02）当B -0, w =w 0时，共振振幅趋于无穷大，这种情况称为尖锐共振；此时0受迫振动位移与强迫力之间的相位差为p - arCtg （-（）=r 2振动物体的速度为v =竺=_A sin(a t + p)= A cos6 t)dtr rr r即在B-0时，在共振情况下，速度与强迫力的相位相同。因此强迫力的方向 与物体振动方向相同，强迫力始终对物体作正功，所以输入振动系统的能量最 大，振幅具有极

21、大值。3）严格地从外界与系统交换能量的角度看，速度振幅达到极大值才是严格的共 振。但在实际中振幅共振与速度共振是较接近的。4. 共振现象的应用：1）应用：钢琴、小提琴等乐器利用共振来提高音响效果；收音机利用电磁共振进行选台； 核内的核磁共振被用来进行物质结构的研究和医疗诊断等。2）危害： 1904年，一队俄国士兵以整齐的步法通过彼得堡的一座桥时，由于产生共 振而使桥倒塌； 1940年，美国华盛顿州的塔科麦桥，因大风引起的振荡作用同桥的固有频 率相近，产生共振而导致毁坏； 汽车行驶时，若发动机的频率接近于车身的固有频率，车身也会车身强烈 的振动而受到损坏。 重庆綦江彩虹桥倒塌，专家通过计算说明不是由于武警战士产生的共振引 起的。3）防止共振:附：人体的共振频率（Hz）： 胸一腹：36头一肩：2030眼球：6090下颚一头盖骨：100120 改变系统的固有频率或外力的频率； 破坏外力的周期性； 增大系统的阻尼； 对精密仪器使用减振台。