第四章 分支理论

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1、第四章分支理论本章将研究常微分方程定义的光滑动力系统的分支问题。若某个系统在任意小的扰 动下都会在系统的拓扑结构上发生根本的变化，这种变化称为分支(bifurcation),它也称 为分叉、分歧、分岔等。在动力系统中，一系列的分支有可能导致混沌运动的出现，分 支问题与混沌运动有着密切的关系。分支问题包含十分丰富的内容，它是动力系统和非 线性方程研究的重要组成部分。4.1引言分支问题的研究源于对天体力学、弹性力学、流体力学和非线性振动中的一些失稳 现象的探讨，它有着深刻的应用背景。因此，长期刻以来分支研究主要在应用领域中进 行。直到上世纪70年代，由于动力系统、非线性分析和非线性微分方程等方面研

2、究的 推动，以及随计算机科学的发展而来的强有力的数值手段的协助，才开始形成分支的数 学理论和方法，并在生物学、生态举、物理学、力学、化学、数值计算、控制、工程技 术、以至经济学和社会学中得到广泛的应用。当前，分支的研究无论在理论上还是应用 上都在迅速深入地发展。在实际应用中，许多系统都含有参数，考虑当参数连续地变动时，系统的拓扑结构 是否会发生变化，这就是含参数系统的分支问题。 下面看两个例子。例题4.1考虑一维系统：x = y x - x3, x w R,Equation Section 1(1.1)其中，yw R是参数。图4.1是系统(1.1 )当卩取不同值时，x相对于x的变化情况。从图4

3、.1中不难看出,当R 0时，式(4.1)有三个平 衡点，其中x二0是不稳定的，而x = JT是渐近稳定的。更方便地，可用图4.2来描 述系统(4.1)随参数卩变化的情况。图中，铅直线上画出了当卩固定时系统(1.1 )的相图。 此外，图4.2还说明系统(1.1)的平衡点随卩变化的悄况，其中实线代表稳定平衡点(记为 S.)，虚线代表不稳定平衡点(记为u.)。显然，当R 0时，系统有不同的拓扑 结构。这表明系统(1.1)的拓扑结构在卩二0处发生突然变化，即这时出现平衡点分支。图4.2图4.3例题4.2考虑平面系统:(1.2)x 一y + xx2 + y2)，(x, y) e R2 y 二 x + y

4、卩_(x2 + y2),其中的卩e R是参数。引入极坐标，可以将系统(1.2)变成(1.3)r 二 r(r2),6-1.由系统(1.3)容易看出，当R 0时，式(1.2)有唯一的渐近稳定焦点(0,0)。当卩0时， (0, 0)变为式(1.2)的不稳定焦点，并且还有一个渐近稳定的极限环r =忆。在图1.3中 与卩轴垂直的截面上画出了当卩固定时系统(1.2)的相图。此外，图4.3还说明了系统(4.2) 的平衡点和极限环随卩变化的情况。显然，系统(1.2)的拓扑结构在卩二0处发生突然变 化，即这时出现分支。下面介绍一些有关的基本概念。设区域U匸Rn，J匸Rm。考虑含参数的常微分方 程系统：x 二 f

5、 (x, r )(1.4)其中x eU匸Rn称为状态变量，R =(卩，R )t e J匸Rm，称为分支参数(亦称为控1m制变量)。定义4.1没当参数R连续变动时，给定的系统(1.4)的拓扑结构在R e J处发生突 然变化，称系统(1.4)在R = R处出现分支，并称为一个分支值(临界值)。在参数R的 空间中，由分支值组成的集合称为分支集。为清楚地表示分支情况，在(x, r)空间中画出系统(1.4啲极限集(如平衡点、极限环 等)随参数R变化的图形，称为分支图。图4.2、图4.3就是分支图。一般来说，完整的分支分析需要研究向量场的全局拓扑结构，这是非常复杂的，甚至是难以完成的。在实际应用中，往往只

6、关心在平衡点或闭轨附近轨线的拓扑结构的变 化即只研究在平衡点或闭轨的某个邻域内的向量场的分支，这类分支问题统称为局部分 支。如果在分支分析中需考虑向量场的全局性态，则称为全局分支。当然“全局”和“局部”是相对而言的，局部分支有时会影响向量场的全局结构。本章讨论局部分支问题。4.2 鞍结型分支(Saddle-NodeBifUrcation)先看一个例子。考虑系统：x = f (x,卩)=卩一x2, x g Ri,Ri. Equation Section 2(2.1)容易验证f (0,0) = 0.(2.2)和f (0, 0) = 0.(2.3)dx还注意到，系统(2.1)的平衡点集为卩一x2 =

7、 0即卩=x2(2.4)它表示(卩,x)平面上的一条抛物线，见图4.4。图中，竖直线表示系统(2.1)沿x方向上的流。不难看出，当卩 0时，系统(2.1)没有平衡点，向量场沿x是递减的；当卩 0时， 式(4.5)有两个平衡点：一个是稳定的(图中用实线表示)， 个是不稳定灼(图中用虚线表 示)。这是一个分支的实例，图4.4是系统(2.1)的分支图，卩二0是系统(2.1)的分支值。这 种分支是一种特殊的分支：在分支值的边系统没有平衡点，而在分支值的另一边却有 两个平衡点。这种分支称之为鞍结型分支。图4.4在系统(2.1)中，有一条唯一的过平衡点(卩,x) = (0,0)的平衡点曲线，记为卩(x)。

8、 不难验证叽x)满足下面两个条件。1.在x = 0处与直线卩二0相切，即学(0)=0;dx(2.5)2.整个平衡点曲线位于卩=0的一旁，且满足学(0)丰0；dx 2(2.6)推而广之，希望找出带一个参数的一维向量场出现鞍结型分支的条件。一般地，考 虑系统：x = f (x,卩),x g Ri, g Ri.(2.7)不失一般性，假定系统(2.7)有平衡点(x,卩)=(0, 0)，即f (, 0) = 0.(2.8)更进一步，假设(0, 0) 是系统(2.7)的非双曲平衡点，即些(0,0)二 0.ex(2.9)如果f (0, 0)丰 0,0卩(2.10)根据隐函数定理，对充分小的x，存在唯一函数卩

9、=卩(x),卩(0) = 0,(2.11)使得 / (X,叽x)二 0。由鞍结型分支的定义，必有竺(0)二 0. dx堂(0, 0)丰 0.(2.12)(2.13)即式(2.8)、2.9)、(2.10)、(2.11)、(2.12)、(2.13)意味着(0, 0) 是系统(2.7)的分支点，且 在分支点处呈鞍结型分支。需要找出系统(2.7)出现鞍结型分支时f所应满足的条件。由(2.11)得f (x,叽x)二 0(2.14)将该式关于x微分得f (x,卩(x) + f (x,卩(x)企凹=0(2.15)exCpdx由式(2.15)得苗(0,0)d 卩(0) _dxdT _F(o, o)(2.16)

10、因而，由式(2.9)、(2.10)得d 卩(0)dx(2.17)即平衡点曲线在X _ 0处与直线R _ 0相切。再将式(2.15)两边微分，便有。2f *2。2f d卩十。2f d叮 +f 竺_0 dx2QxQp dx Qp2 ( dx 丿 Qp dx2(2.18)在(p, x) _ (0, 0)处考虑式(2.18),则有d 2 p (0)dx 2d2 f (0, 0) dx 2 df (0, 0)dp(2.19)因此，只要d 2 f (0,0)dx2丰0,(2.20)就有(2.21)d2 p (0)丰 0dx2综上所述，有定理4.1 f (0, 0) _ 0,型型_ 0，并且dx(2.22)

11、(2.23)吋(0,0)丰0Q 2 f (0,0)丰 0和2是系统(2.7)在卩=0存在鞍结型分支的必要条件。注1.式(2.22)蕴含过(卩,x) = (0, 0)的平衡点曲线的唯一性，式(2.23)蕴含平衡点 曲线只位于直线卩=0的一旁；2对系统(2.7),在非双曲平衡点(卩,x) = (0, 0)处展开得x = a p + a x2 + a px + a p2 + O(3).0123通过计算易知，它在(p, x) = (0, 0)附近有范式x = p 土 x2 + O(3).(2.24)3.利用中心流形定理把定理4.1推广到单参数n维系统y = F(y, p), y g Rn, p e R

12、m(2.25)的情形。假设存在平衡点(p, y) = (0, 0), DF(0,0)有简单的零特征值，其余的特征值 均具负的实部，则系统(2.25)存在二维中心流形Yu Rn x Rm。限制在丫上，固定参数 p ，我们得到一个一维系统，即系统(2.7)。4.3 跨临界型分支 (TranscriticalBifurcation)考虑系统：容易看出f (0, 0)二 0,芳(0,0)二 0 dx(3.2)(3.3)(3.4)(3.5)(3.6)更进一步系统(3.1)的平衡点曲线为图4.5如图4.5,不难看出，当卩 0时，系统有两个平衡点，x = 0是稳定的、x =卩是不稳 定的；当卩=0时这两个平

13、衡点重合。当卩 0时，x = 0是不稳定的平衡点而x =卩是稳定的平衡点。从而，两个平衡点的稳定性在卩二0处发生了变化。这种类型的分支称为跨临界型分支。从本例可以看出：1平衡点曲线通过(X,卩)=(0,0)，条是x二卩，另一条是X = 0 ；2.两条平衡点曲线都分布在直线卩二0的两侧；3每条平衡点曲线上的平衡点的稳定性在经过卩二0时均发生变化。希望找到更一般的系统出现跨临界型分支的条件考虑系统：X 二 f (x,卩)，x e Ri, pw Ri。(3.7)(3.8)假定(x, p)二(0, 0)是它的非双曲平衡点，即f (0,0)二 0,(3.9)由于跨临界分支出现时，有两条平衡点曲线通过(x

14、, p)二(0, 0)，因而有(3.10)殍(0,0)dp否则，由隐函数定理知，通过(0, 0) 的平衡点曲线只有一条。从而，不能直接将隐函数 定理用于系统(3.7)。注意到x = 0是跨临界分支出现时的平衡点曲线。因此，若要系统(3.7) 出现跨临界型分支，系统(3.7)必有平衡点曲线x = 0，从而有其中由式(3.12)可得假定f (x,卩)x芳(0,卩)dxx丰0,x = 0.(3.12)F (0, 0) = 0,of(o, o)= a 2 f(0,0)dxOx 2a 2 f(0,0)= a 3 f(0,0)ax2ax3of(0,0)= a 2f(0,0)OpOxOp(3.13)(3.1

15、4)(3.15)(3.16)a 2f(0,0)丰 0OxOp由隐函数定理知，对充分小的x，存在唯一的函数卩(x)，使得F(x, p(x) =0。(3.17)(3.18)显然，卩(x)是式(3.1)的平衡点曲线。为使卩(x)不与x = 0重合并且卩(x)的图形存在于 直线 x = 0的两边，要求0 5 )的，记该平衡点为(x, p ),00即0 = f (x , p )。(5.2)00考虑系统(5.1)在(x, p) = (x , p )处的线性化向量场：00G= Df (x , p )g。(5.3)x 00假定线性化矩阵D f (x , p )有一对纯虚特征值，而其他特征值都具有非零实部。此时

16、， x 00(x, p) = (x , p )是系统(5.1 )的非双曲平衡点，从而系统(5.3)只能给出很少系统(5.1)在平 00衡点(x, p) = (x , p )处的解的拓扑结构(有时，这种由(5.3)得到的关于(5.1)的有关信息 00甚至是错误的 )的信息。也就是说，不能像通常所做的那样，将系统(5.1)在平衡点(x, p) = (x , p )处线性化成系统(5.3)，然后由系统(5.3)来讨论系统(5.1)在平衡点 00(x, p) = (x , p )附近的解的拓扑结构。然而，幸运的是可以利用中心流形理论来讨论 00这个问题。由中心流形理论可以知道，系统(5.1 )在平衡点

17、(x, p) = (x , p )附近的解的 00拓扑结构可由二维中心流形上的向量场决定。仅就单参数的情况进行讨论(多参数时， 固定其余的参数)，即在以后的讨论中，假定p e Ri。假定f (0, p) = 0，记A( p) = Df (0, p)，并假定A(0)有一对纯虚特征值土加(0)，x3(0) 0，而其它特征值都具有非零实部。当I p I充分小时，由中心流形理论易知，在 中心流形上，系统(5.1)具有以下形式：(x) (Re 九(p) - Im九(p)丫 x) ( f 1(x, y, p) = T ) ： D J： + f :,(x, y, p) e R1XR1XR1, (5.4)(y

18、丿(Im入(p)Re入(p)人 y丿(f 2(x, y, p)丿其中，f 1、f 2是关于x，y的非线性部分，九(p)和丽是A(p)的特征值。注意：这里仅就平衡点是原点及分支值卩0二0的情况讨论，其它类型，通过坐标平 移及参数变换化为这种情形。记九(卩)=a(卩)+ io(卩)。(5.5)由假设，显然有：a(0) = 0, o(0)丰 0。(5.6)通过计算，得出系统(5.1)的范式为x = a(卩)x-o(卩)y + (a(p)x一b(p)y)(x2 + y2) + O(I x |5,| y |5), 0, r = 0和0的r和0，系统(5.10)出现周期轨道。引理2.1对-a 呕 0, r

19、(t) = 0。为证明式(5.11)是周期解只需证明0 (t)丰0，而0 (t) = w + c p O k a丿由于WH 0，p充分小，因此0(t)丰0 O下面讨论用期轨道的稳定性。引理 2.2 周期轨道 当a V 0时是渐近稳定的； 当 a 0 时是不稳定的。证 利用 Poincare 映射来讨论这个问题。首先，定义Z = (r, 0) e RxS11 r 0,0=0 ,0则利用 Poincare 映射来讨论为(r , 0 ) TQ (r , 0 )002n 00rra+ e 41 pd I 兀(5.12)t+00由于在r二处存在闭轨，得到 aDP=e4alpdI兀。(5.13)pd显然，

20、当a 0时，DP 0时周期轨T。丿道是不稳定的。由于周期轨道出现时必须r 0，从而式(5.11)是系统(5.10)的唯一的周期轨道。从 式(5.10)知，为考察当P 0或P 0, a 0;2d 0, a0;3 d 0;4 d 0, a 0 。对以上四种情况，注意到系统(5.10),在p二0处当a 0时，原点作为平衡点对两种情况都是不稳定的。下面就这四种 情况进行讨论。情况1： d 0, a 0。此时，若p 0，则原点是不稳定的平衡点且无周期轨道； 若P 0, a 0。此时，若r 0，则原点是不稳定的平衡点且有一个渐近稳定的周期轨道（见图4.8）oVO图4.8情况3： d 0。此时，若r 0，则

21、原点是渐近稳定的平衡点且有一个不稳定的周期轨道（见图4.9） o情况4： d 0, a 0，则原点是渐近稳定的平衡点且无周期轨道;若R 0，则原点是不稳定的平衡点且有一个渐近稳定的周期轨道（见图4.10）o从以上四种情况可以看出：当a 0时，周期轨道是不稳定的。注意到dd =（Re九（卩）。d卩片0所以，若d 0，则当R 0时，原点是渐近稳定的；当卩0时，原点是不稳定的；若d 0，则当卩 0时，原点是渐近稳定的平衡点。图4.9-*皿7O图 4.10现在，考虑步骤2。 在步骤 1 中，了解了系统(5.9)中去掉高阶项后的系统的性质， 要知道的是系统(5.9)的性质同它的关系，希望系统(5.10)

22、的性质在系统(5.9)中能保持下 来。幸运的是结论正是所希望的：定理4.4 (Hopf分支定理)系统(5.9)对充分小的卩出现情况1、情况2、情况3、情况 4 中所述性质。其证明可参考文献3。一般情况下，我们利用如下形式的Hopf分支定理。定理4.5假定f (x ,卩)二0且满足如下性质：00(H1)记A(卩)二Df (x(卩),卩)，并假定A )有一对纯虚特征值血( )，x00 ) 0，而其它特征值都具有非零实部。则条件(H1)意味着系统(5.1)有一个0光滑的平衡点曲线(x(Q,卩)满足x( )二x。A(p)的特征值九(卩)，兀()关于卩光滑00变化，在通过虚轴。进一步设0(H2) (Re

23、九(卩)1= d 丰 0d 口円0则在Rnx R上存在唯一通过(X ,卩)三维中心流形和三维中心流形上的一个光滑系统 00(5.7)。如果a二a( )主0，在中心流形上存在一个周期解曲面。如果a 0时，这些周期解是排斥的。在利用定理4.4或定理4.5解决实际问题时，关键是要找到d和a的值，d的值是容易得到的。而a的值要通过铰繁琐的计算才能得到。对系统(5.4),在分支点处(卩=0 )，它成为(f 1( x, y,0)f 2(x, y,0)丿其系数a(0)三a由下式给出:1 + f 1 + f 2xx xyy xxy+ f 2yyy1H16 Lf 1 (f 1 + f J- f 2 (f 2 +

24、 f 2)- f 1 f 2 + f 1 f 2 xy xx yy xy xx yy xx xx yy yy其中所有偏导数都在(x, y,卩)二(0, 0, 0)处取值。4.6 离散系统的分支本节介绍离散系统的折叠(fold)分支、倍周期(period-doubling or flip)分支及N-S(Neimark-Sacker) 分支。考虑单参数离散动力系统x T f (x, a), x e Rn, a e R其中：f关于x及a是光滑的。有时将该系统表示成x(n +1) = f (x(n), a ).设x二x是系统在a=a的一个不动点，即x二f (x ,a )。一般来说，不满足双曲性0 0

25、0 0 0条件的不动点有三种情形，其对应的Jacob矩阵有特征值九=1，-1或eiOo(O 0 兀),0如图 6.1 所示。易知，满足上述条件之一的非双曲不动点是结构不稳定的，都会发生分支现象。下 面给出相关定义。定义61离散系统的不动点，在卩=1是发生的分支称为折叠分支，在卩=-1时发 生的分支称为倍周期分支，在卩=e/00(0 0 1时，就可能发生前两种分支，而第三种分支要求n 2。 下面分别讨论这三种分支。4.6.1 折叠分支先看含单参数的一维动力系统x Ta + x + x 2 三 f (x, a), x e R, aw R该系统在a = 0时，有一个非双曲不动点x = 0，相应的特征

26、值为卩=f (0,0) = 1，当 00 xI a I充分小时，在x = 0邻域系统的相图如图6.2所示，其分支图如图6.3所示。图 6.2图 6.3由图6.3可知，当以 0时，系统无不动点。当(X 由负经零变正时，系统的两个不动点重合继而消失，这就是折叠分支的特点。对于系统x TX+ X - X 2也可类似地分析其分支现象。关于折叠分支有下列定理：定理 6.1 设一维单参数的离散系统x T f (x, X), x g R, X g REquation Section 6(6.1)其中f光滑。设当0时，X = 0为一个不动点。卩=f (0,0) = 1，且满足非退化条 00 X件f (0,0)

27、丰0和f (0,0)丰0，则存在一个光滑的可逆变换将系统化为XXXn t p +n +n 2+o(n 2)(6.2)本定理的证明可参见46。还可以进一步忽略高阶项的影响，得到下列结论。定理6.2(折叠分支的范式) 满足定理6.1 条件的一维单参数系统(6.1)在原点的 小邻域内局部等价于下列系统之一：n t p +n +n 2(6.3)式(6.3)称为折叠分支的范式。4.6.2 倍周期分支先看单参数的一维离散动力系统X T-(1+X)x + x3 三 f (x,X) = f (x)(6.4)X系统(6.4)有不动点X = 0，相应的特征值为卩=-(1+X)。当a 0 时，是 线性不稳定的。当

28、X =0 时， X =0 的相应特征值 0卩=f (0,0) =-1，它是非双曲的稳定不动点。对于小I a I，在原点附近没有其它的不 0X动点。现在考虑映射系统(6.4)的二次迭代f 2(x)。令y二f (x)，则 aaf 2(x)二 f (y) = (l+a)y + y3 aa=(1+a)(1+a) x + x3 + (1+a) x + x3 3=(1+a )2 x (1+a )(2 + 2a + a 2) x 3 + O( x5)这两个不动点是稳定的，x1,2且对原来的映射 f 构成了一个周期-2 环，即a显然，映射f 2有稳定的平凡不动点x = 0。对于a 0，还有两个非平凡不动点 a

29、0x 二 f (x ), x 二 f (x ), x 丰 x2 a 11 a 212Ma 0a 0a = 0图6.5图6.5给出映射f的不动点随Q变化的情况，并在X-平面上展示分支图，见图6.6。 a水平轴对应于系统(6.4)的平凡不动点x = 0 (当a 0时不稳定)， 0抛物线对应当a 0时存在稳定周期-2环。从a 0，平凡不动点稳定性发生改 变，与此同时产生一个稳定的周期-2 环，这就是所谓的倍周期分支现象。图 6.6系统( 6.4) 发生的倍周 期分支称为超临界( supercritical ) 的。 对于系统X T-(l+a )x + X3，类似分析得知，它也在a二0时发生倍周期分支

30、现象，称为亚临界(subcritical)的。它们的主要区别在于分支后周期-2环的稳定性。前者产生稳定的周期 -2 环，后者产生不稳定周期-2 环。关于倍周期分支的定理如下：定理 6.3 考虑一维系统x t f (x, a), x e R, a g R其中f是光滑的。设当a = 0时有不动点x = 0，卩=f (0,0) = -1。如果下列非退化00 x条件成立：(1) jf (0,0) 2 二1 f (0,0)工 0；2 xx3 xxx(2) f (0,0)丰 0。xa则存在光滑可逆的变换将原系统转化为系统耳t-(1+a )n+n 3+O(n 4)。本定理的证明可见文献46。还可以进一步忽略

31、高阶项的影响，得到以下定理：定理6.4(倍周期分支范式)考虑单参数的一维系统x T f (x,a )。它满足定理6.3 的条件，贝U该系统在原点的小邻域内局部拓扑等价于范式n T-(i+a)n+n3。下面介绍一个具体的种群模型及其倍周期分支现象的特点。例 6.1(Richer 模型)考虑简单的种群模型x =a x e-xkk+1k其中x表示在第k年的种群密度，a 0为增长率。该种群考虑了在密度较大时种群间 k的相互竞争。相应于上述模型的离散系统为xTaxe-x 三 f (x,a)(6.5)对所有的参数a ,系统(6.5)都有平凡的不动点x = 0 ；当a 1时，该系统还有非平0凡的正不动点x

32、(a) = In a ,相应的特征值卩(a) = 1 - ln a。因此，当1 aa时是不稳定的。在分支值a=a处，该不动点的特征值为1 1 1卩(a ) = -1，因此发生倍周期分支，见图6.7。1易知，在分支值及不动点x (a ) = 2处，有1 1 11 1af 2 + f =1e -2 丰f=e -2 丰 ，2 xx 3 xxx 3xa满足定理6.3的非退化条件，因此当a a时，有一个稳定的周期-2环从x处分支出来,11这在a =a = 12.50925时失去稳定性，经历又一次倍周期分支产生一个稳定的周期-4 2环。以后相继地失去稳定性和经历倍周期分支，分别在a=a = 14.2442

33、5时产生一 4个稳定周期-8环，在a =a = 14.65267时产生一个稳定的周期-16环，如此继续下去, 8得到一个分支值的无穷序列a (k = 1,2,)。在每个参数分支值a处，周期为2k-1的 kk极限环失去稳定性，分支出周期为 2k 的稳定极限环。进一步可以观察到前面几项的间a 一a距呈几何增长的趋势。事实上，当k fg时，比率 一趋于卩=4.6692.常数 a -afk+ik卩称为费根鲍姆(Feigebaum)数，这种分支值的无穷序列称为费根鲍姆序列。值得注意F的是，这个常数对许多经历倍周期分支行为的不同系统都是相同的，该性质称为费根鲍 姆普适性(见下一章)。4.6.3 N-S 分

34、支考虑含单参数的二维映射厂x、1f厂 cos 0- sin 0、l(1+a)厂x、1+ (x2 + x2 )厂a-b、x1Ix丿2(sin 0cos0 丿LIx丿212a丿I x2丿(6.6)其中：a g R是一个参数，0 =0 (a)，a = a (a )和b = b (a )是光滑函数，且0(0) 兀，a (0)丰 0。显然，对所有的a，(0, 0)是该映射的一个不动点，而且此点处的雅可比矩阵为(cos 0-sin 0、A = (1+a) .0I sin wcos 0 丿该矩阵的特征值为卩=(1+d)e。由此可知，映射(6.6)在原点附近对所有较小的I a I1,2都可逆。当 a =0 时

35、，不动点 (0,0) 是非双曲的。为了进行分支分析，引入复变量z = x + ix， z = x - ix， I z I2 = x2 + x2。令 d = a + ib，则原系统化为1 2 1 2 1 2z tz(1+a + d I z I2)=卩z + cz I z I2其中：y = y(a) = (1+a)ei0(a)， c = c(a) = e(a)d(a)皆为a 的复函数。令z = p eg，则式(6.6)在极坐标下可表示为pTp (1+a + a (a) p 2) + p 4 R (p) a(a) +p2Q (p)a(6.7)(6.8)其中：函数R，Q关于(p, a)光滑。由于在系统

36、(6.8)中关于p的映射与Q无关， a a所以可用系统(6.8)来分析a经过0时映射的分支情况。系统(6.8)的第一个映射定义了一个一维动力系统，该映射对所有的a有不动点p = 0。当a 0时为不稳定的；当a = 0时，其稳定性取决于系数a(0)的符号。假设a(0) 0(6.8)中的第一个映射还有另一个不动点系统(6.8)的第二个映射描述了一个依赖于p和a的角度旋转，近似等于e(a)。因此, 可以得到映射(6.6)的分支图，见图6.8。ot 0图 6.8图 6.9系统(6.8)总是有一个不动点(0,0) , a 0是不稳定的。原点附 近的不变曲线分别与连续系统的稳定焦点(0 )附近的轨 线形状

37、类似。在分支值a = 0处，不动点(0,0)是线性稳定的，当a 0时不动点(0,0)被唯个孤立的不变闭曲线所环绕，该曲线是半径为P （a）的稳定圆。所有在该闭曲线0内外（除原点外）的轨线经系统（6.8）的迭代都趋于该闭曲线，这种分支称为N-S分支。 在（x, y,a ）空间，N-S分支的闭不变曲线族形成了抛物面。关于a（0） 0的情形可以作类似分析，同样在a = 0处发生分支现象。不同之处在于，当a 0时有不稳定的闭不变曲线，当么由负经零变正时该闭曲线消失，见图6.9。注1 N - S分支也分为超临界（a（0） 0 ）。注2 关于系统（6.8）在闭不变曲线上的轨线结构取决于旋转数A申 9 （a

38、） + p 2Q （P） =a .2兀2兀如果该旋转数是有理数，则曲线上所有的轨线都是周期的；相反，如果旋转数为无理数则该曲线上无周期轨线，其上的所有轨线都是稠密的。下面进一步考虑系统-sin 9、cos 9 丿(x(1+a) iIx2+ (x2 + x2 )12a八x2丿+ O(| x |4 )(6.9)其中0（11 x 114）光滑依赖于a。此时，高阶项确实影响着系统的分支行为，因而系统（6.9） 的局部拓扑并不等价于截断系统（6.6）。事实上，在极坐标下表示系统（6.9），就可 以发现关于P的映射不仅依赖于P，同时依赖于申。然而，基于系统（6.6）和系统（6.9） 的结构特点，它们仍有一

39、些共同的性质，如下面定理所述：定理6.5 高阶项并不影响系统（6.9）的闭不变曲线的分支，即系统（6.9）与系统 （6.6）一样，都有局部唯一的不变曲线从原点分支出来，且两者的方向及稳定性完全 相同。该定理的证明可参阅文献46。可以证明，对任何一般的经历N-S分支的二维系统都可化为系统（6.9），并称系统（6.9）为N-S分支范式。下面给出N-S分支的一般结果。定理66 （通有N-S分支）考虑一般的单参数二维系统(6.10)x T F (x, a )设a = 0时，在不动点x二0的特征值为卩=ei0，那么，存在x的一个邻域U，使0 1,2 0当a经过零时，系统（6.10）在U内有唯一的闭不变曲

40、线分支出来。注此处通有性条件是指系统（6.10）对充分小的a ,不动点x = 0的特征值为 0卩 (a) = r(a)eQ(a)1,2满足(1) rr(0)主 0,(2) e曲0丰 1,k = 1,2,3,4 ,(3) a (0)丰0，其中a (a )是一个实数。有关证明可参见文献46。其中条件（2）是必要的，如果不满足，系统可能没有闭轨线 或有多条闭轨线产生。规范型a（0）决定了闭不变曲线的稳定性。通过非奇异线性变换可以将系统（6.10）变成如下形式：人 y 丿 I g(x, y)cos 0-sin 0)( x ) ( f (x, y).sin 0cos0则a（0）由如下公式计算HO) =

41、-Re(i i弓兀飞丸-21J2 -1 勺2|2 + RSJ，(6.11)其中1E = (f 一 f + 2 g ) + i(g 一 g 一 2 f )208 xx yy xyxx yy xy=1 r(f + f)+i(g + g),114xxyyxxyyE = (f - f - 2g ) + i(g - g + 2f )，028xxyyxyxxyyxy和1E = (f + f + g + g ) +i(g g 一f 一f)，2116xxxxyyxxyyyyxxxxyyxxyyyy例6.2考虑滞后的逻辑模型x二rx (1-x )，其中x表示k时刻生物种群密度，n+1kk-1kr 表示出生率，并

42、假设增长不仅取决于当时的密度，还依赖于过去的密度。试分析密度 的增长情况。令y =x ，上述方程可化为kk-1x 二 rx (1- y )J k+1kky二 xk+1k则其定义一个二维离散的动力系统(x )( rx(1- y)T(6.12)I y丿I x丿映射系统(6.12)对所有的r都有不动点(0,0) o当r r = 1时，还有非平凡的不动点01 -1I r1A1 - - o映射系统(6.12 )在该不动点处的雅可比矩阵为 r丿V 1 - rJ 0丿其特征值为比二土 - r。如果r ，则特征值是复数且I卩1=卩卩=r 一 1。因1,2 2 4 4 1,2 1 2此，在r = 2处，非平凡不动点失去稳定性，有N - S分支发生。在分支值处卩=e土岛1,2兀(00 = 3)，显然满足条件(1)和(2)，最后一个条件为a(0) 0为参数，b 0为分支参数。7分析系统f : x T (1+a )x-x3 + O(x4)的倍周期(Flip)分支现象，其中分支参 数 a e R。8讨论离散系统x(n +1)=卩 + 2x(n) + y (n)A M 3, (x,y) e R2, e R、y (n +1) = y (n) + p (a - x(n) - by (n)的Neimark-Sacker分支问题，其中：a e R, b, p e (0,1)都是固定的常数，卩为分支参数。