《121任意角的三角函数（一）》课件

1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数（一）1.1.掌握任意角的三角函数的定义，树立映射观点；掌握任意角的三角函数的定义，树立映射观点；正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；2.2.已知角已知角终边上一点，会求角终边上一点，会求角的各三角函数值；的各三角函数值；3.3.掌握三角函数的定义域、值域掌握三角函数的定义域、值域.任意角的三角函数任意角的三角函数是三角学中最基本最重要的概是三角学中最基本最重要的概念之一。三角学起源于对三角形边角关系的研究，念之一。三角学起源于对三角形边角关系的研究，始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量，在相当长的时期里隶属于天文学。直天文的测量，在相当长的时期里隶属于天文学。直到到14641464年，德国数学家雷基奥蒙坦著年，德国数学家雷基奥蒙坦著论各种三角论各种三角形形，才独立于天文学之外对三角知识作了较系统，才独立于天文学之外对三角知识作了较系统的阐说；的阐说；14141616世纪，三角学曾一度成为欧洲数学世纪，三角学曾一度成为欧洲数学的主要内容，研究的方面包括三角函数值表的编制、的主要内容，研究的方面包括三角函数值表的编制、平面三角形和球面三角形的解法，三角恒等式的建平面三角形和球面三角形的解法，三角恒等式的建立和推导等等立和推导等等.1631.1631年，三角学输入中国，三角学年，三角学输入中国，三角学在中国早期比较通行的名称是在中国早期比较通行的名称是“八线八线”和和“三角三角”。“八线八线”是指在单位圆上的八种三角函数线：是指在单位圆上的八种三角函数线：正弦正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线、正矢线、余矢线。随着科学的发展，三角函数成为正矢线、余矢线。随着科学的发展，三角函数成为研究自然界和生产实践中周期变化现象的重要数学研究自然界和生产实践中周期变化现象的重要数学工具，它在测量、力学工程和无线电学中有着广泛工具，它在测量、力学工程和无线电学中有着广泛的应用的应用.在直角三角形在直角三角形ABCABC中，中，sinsin，coscos，tantan分别叫做分别叫做角角的正弦、余弦和正切，它们的值分别等于什么？的正弦、余弦和正切，它们的值分别等于什么？A AB BC C 当角当角不是锐角时，我们必须对不是锐角时，我们必须对sinsin，coscos，tantan的值进行推广，以适应任意角的需要的值进行推广，以适应任意角的需要.如何定义任如何定义任意角的三角函数呢意角的三角函数呢?我们把锐角我们把锐角放到直角坐标系中，并使角放到直角坐标系中，并使角的顶点的顶点与原点与原点O O重合重合,始边与始边与x x轴的非负半轴重合轴的非负半轴重合.在角在角的终边的终边上取一点上取一点P P（a a，b b）,设点设点P P与原点的距离为与原点的距离为r r，那么，那么，sinsin，coscos，tantan的值分别如何表示？的值分别如何表示？x xy yo oP(aP(a，b)b)r rA AB B思考思考:对于确定的角对于确定的角，上述三个比值是否随，上述三个比值是否随 点点P P在角在角的终边上的位置的改变而改变呢？的终边上的位置的改变而改变呢？为什么？为什么？由相似三角形的知识可知由相似三角形的知识可知,这三个比值不会随着这三个比值不会随着点点P P在角在角的终边上的位置的改变而改变的终边上的位置的改变而改变.为了使为了使sinsin，coscos的表示式更简单，你认为点的表示式更简单，你认为点P P的位的位置选在何处最好？此时，置选在何处最好？此时，sinsin，coscos分别等于什么？分别等于什么？x xy yo o P(a P(a，b)b)1 1 在直角坐标系中，以原点在直角坐标系中，以原点O O为圆心，以单位长度为半径为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆的圆称为单位圆.对于角对于角的终边上一点的终边上一点P P，要使，要使|OP|=1|OP|=1，只需点，只需点P P为终边为终边与单位圆的交点与单位圆的交点.的终边的终边O Ox xy yP P单位圆单位圆 设设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P P（x x，y y），），为了不与当为了不与当为锐角时的三角函数值发生矛盾，你认为为锐角时的三角函数值发生矛盾，你认为sinsin，coscos，tantan对应的值应分别如何定义？对应的值应分别如何定义？的终边的终边P(xP(x，y)y)O Ox xy y 对于一个任意给定的角对于一个任意给定的角，按照上述定义，对应的，按照上述定义，对应的sinsin，coscos，tantan的值是否存在？是否唯一？的值是否存在？是否唯一？角角的终边在的终边在y y轴上时轴上时,tantan的值无意义的值无意义,除此之除此之外外,其它的角的三角函数其它的角的三角函数值都是唯一确定的值都是唯一确定的.的终边的终边P(xP(x，y)y)O Ox xy y正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角三角函数函数一、三角函数的定义一、三角函数的定义正、余弦函数的定义域为正、余弦函数的定义域为R R，正切函数的定义域是正切函数的定义域是 思考：思考：正弦、余弦、正切函数的定义域分别是什么？正弦、余弦、正切函数的定义域分别是什么？O Oxy y例例1 1 求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.解：解：P P0 0（3 3，4 4）P P（x x，y y）例例2 2 已知角的终边过点已知角的终边过点P P0 0（3 3，4 4），求角的正弦、），求角的正弦、余弦和正切值余弦和正切值.O Ox xy yM0MP P0 0（3 3，4 4）P P（x x，y y）O Ox xy yM M0 0M M若点若点P P（x x，y y）为角）为角终边上任意一点，则终边上任意一点，则P(xP(x，y)y)O Ox xy y提升总结提升总结解析解析:1.1.三角函数都是以角为自变量，在弧度制中，三角函三角函数都是以角为自变量，在弧度制中，三角函数的自变量与函数值都是在实数范围内取值数的自变量与函数值都是在实数范围内取值.2.2.三角函数的定义是三角函数的理论基础三角函数的定义是三角函数的理论基础.重要的不是知识的数量，而是知识的质量，有些人知道很多很多，但却不知道最有用的东西。列夫托尔斯泰