定积分的计算方法

定积分的计算方法摘要定积分是积分学中的一个基本问题，计算方法有很多，常用的计算方法有四种：(1)定义法、(2)牛顿莱布尼茨公式、(3)定积分的分部积分法、(4)定积分的换元积分法。以及其他特殊方法和技巧。本论文通过经典例题分析探讨定积分计算方法，并在系 统总结中简化计算方法！并注重在解题中用的方法和技巧。关键字：定积分，定义法，莱布尼茨公式，换元法Calculation method of definite integralAbstractthe integral is the integral calculus is a fundamental problem, its calculation method is a lot of,(1)definition method, (2)Newton - Leibniz formula, (3)integral subsection integral method, (4)substitute method.This paper, by classic examples definite integral analysis method, and in thesystem of simplified, summarized the approximate calculation method! And pay attention toproblem in using the methods and skills.Key words:definite integral ,definition method, Newton - Leibniz, substitute method目录目录 21 绪论 31.1 定积分的定义31.2 定积分的性质 42 常用计算方法52.1 定义法52.2 牛顿-莱布尼茨公式 62.3 定积分的分部积分法 72.4 定积分的换元积分法73 简化计算方法 错误!未定义书签。3.1 含参变量的积分错误!未定义书签。3.2 有理积分和可化为有理积分的积分错误!未定义书签。4 总结 9致谢 10参考文献101绪论11定积分的定义定积分就是求函数f(x)在区间a,b 中图线下包围的面积，如图1.1所示。即由 y=O,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积1。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边二角形。设函数f(x)在区间a,b上连续，将区间a,b分成n个子区间xxj, (x1,x2, (x2,x3,， (xn-1,xn，其中 x0=a，xn=bo 可知各区间的长度依次是： x1=x1-x0, x2=x2-X,， xn=xn-xn-1o 在每个子区间(xi 1,xi中任取一点g. (1,2,.,n),作和式1-1 1 1/=i设X=max X, x2,， xj (即入是最大的区间长度)，则当九0时，该和式无限接 近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a,b的定积分，记为其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间a, b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积 函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积表达式，J叫做积分号。之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函 数。根据上述定义，若函数f(x)在区间a,b上可积分，则有n等分的特殊分法:lim +f fMdx特别注意，根据上述表达式有，当a,b区间恰好为0,1区间时，则0,1区间积分表达式 为:7i;二 一 lim /(-) i! 11.2定积分的性质性质1bbbJ f (x) 土 g (x)dx = J f (x)dx J g (x)dx aaa性质2bbJ kf (x)dx = kJ f (x)dx, (k为常数) aa性质3假设 abc Jf (x)dx = Ff (x)dx + J abf(x)dxc性质4如果在区间a, b上恒有f (x) g (x)，则卩 f (x)dx 0，则 J f (x)dx 0. (ab)a性质6设M及m分别是函数f (x)在区间a, b上的最大值及最小值,b则m(b - a) J f (x)dx M (b - a) , (ab)此性质可用于估计积分值的大致范a围3性质7若f (x)在a,b上可积，则|f(x)丨在a,b上也可积,且 J f (x)dx J f (x)| dx a性质8 (积分第一中值定理)设函数f(x)在a,b上连续，g(x)在a,b上可积, 且在a,b上不变号，则在a,b上至少存在一点使得：Jbf (x)g (x)dx 二 f (g ) J bg (x)dx aa2 常用计算方法2.1 定义法定积分的定义法计算是运用极限的思想,简单的来说就是分割求和取极限。以I J bf (x)dx为例：任意分割，任意选取P作积分和再取极限。任意分割任意取E所计算 a k k出的I值如果全部相同的话，则定积分存在。如果在某种分法或者某种E的取法下极限值 k不存在或者与其他的分法或者E的取法下计算出来的值不相同，那么则说定积分不存在。 k如果在不知道定积分是否存在的情况下用定义法计算定积分是相当困难的，涉及到怎样才是任意分割任意取E。但是如果根据上述三类可积函数判断出被积函数可积，那么就可以根 k据积分和的极限唯一性可作a,b的特殊分法，选取特殊的p，计算出定积分4k第一步：分割.将区间a,b分成n个小区间，一般情况下采取等分的形式。h = 口，那么分割点的 n坐标为(a,0), (a + h,0), (a + 2h,0)(a + (n- 1)h,0), (b,0)，p 在Lx ,x 任kk-1 k意选取，但是我们在做题过程中会选取特殊的p，即左端点，右端点或者中点。经过分割 k将曲边梯形分成n个小曲边梯形。我们近似的看作是n个小长方形。第二步：求和.计算n个小长方形的面积之和，也就是兰 f (P )hkk=1第三步：取极限.I = limYf (p )h = hlim工f (p ) 7 卄口比边曰、帖八孙斗如kk ，h T 0即n Ta，也就是说分的越细，心 k=1hT0 k=1那么小曲边梯形就越接近小长方形，当n趋于无穷之时，小曲边梯形也就是小长方形，那么 小长方形的面积和即为曲边梯形的面积，也就是定积分的积分值。例1、用定义法求定积分J1 xdx。0解：因为f (x) = X在0,1连续所以f (x) = x在0,l可积1一 01令 h =nn将0,1等分成n个小区间，分点的坐标依次为0 V h 2h . nh = 1取取k是小区间(k-1)h，讪勺右端点，即即. -kh于是J1 xdx = lim khh = lim20ns厶n(n +1) (1 n(n +1) =limnx 2n2=limiV = 1nx 22所以，J1 xdx =022.2牛顿-莱布尼茨公式利用此公式，可以根据不牛顿-莱布尼茨公式很好的把定积分与不定积分联系在一起。定积分的计算计算出定积分。这个公式要求函数f (x)在区间a,b内必须连续。求连续函数f (x)的定积分只需求出f (x)的一个原函数，再按照公式计算即可。定理：若函数f (x)在区间a,b连续，且F(x)是f (x)的原函数，则Jb f (x)dx = F(b) 一 F(a)。a证明：因为F (x)是f (x)的原函数，即Vx eta, b有F(x)二f (x)积分上限函数Jxf (t)dt也是f (x)的原函数a()所以 J x f (t)dt = f (x)a所以 J xf (t) dt - F (x) = Ca令 x = a 有 f (t)dt F(a) = C 即 C = F(a)a再令 x = b 有 Jbf (x)dx = F (b) F (a)a我们知道，不定积分与定积分是互不相关的，独立的。但是在连续的条件下，微积分基本定理把这两个互不相关的概念联系起来，这不仅给定积分的计算带来极大的方便，在理论上把微分学与积分学沟通起来，这是数学分析的卓越成果，有着重大的意义。例1、用牛顿莱布尼茨公式计算定积分J1 xdx。0解：原式=2 x21 _ 120同样的一道题目，用牛顿-莱布尼茨公式明显比定义法简单，容易计算2.3定积分的分部积分法公式：函数u(x) , v(x)在a,b有连续导数则Jbu(x)dv(x) _ u(x)v(x)|b -f bv(x)du(x)aa a证明：因为u(x)，v(x)在a,b有连续导函数所以u(x)v(x)二 u(x)v(x) + v(x)u(x)所以afbu(x)v(x) _ u(x)v(x)|b _ Jbu(x)v(x) + v(x)u(x)dx _ u(x)v(x)|ba aa即 fbu(x)v(x)dx _ u(x)v(x)|b -fbv(x)u(x)dxaaa或fbu(x)dv(x) _ u(x)v(x)|b -fbv(x)du(x)aaa例1、求定积分f 2 In xdx。1f 2ln xdx _ xIn x|2 -f2 xd In x _ 2ln 2 一 0 一 x|2 _ 2ln 2 一 1解：i i2.4定积分的换元积分法应用牛顿-莱布尼茨公式求定积分，首先求被积函数的原函数，其次再按公式计算。一 般情况下，把这两步截然分开是比较麻烦的，通常在应用换元积分法求原函数的过程中也相 应交换积分的上下限，这样可以简化计算。公式：若函数f (x)在区间a, b连续，且函数x _p (t)在a,卩有连续导数，当a t P 时，有a 9 (t) b则:Jbf (x)dx = J f (p(t)Ip (t)dt = J f (p(t)d(t)aa证明：Jbf (x)dx 二 F(x)|b 二 F(b) - F(a)aaJ f p(t)lp(t)dt 二 F p(t)|二 F p()-F p(a)= F(b) - F(a) aa即 Jbf (x)dx = J f (p(t)Ip(t)dtaa这个公式有两种用法：(1)、若计算Jbf (x)dxaQ、选取合适的变换x = p(t),由a,b通过b =p(t) , a =p (t)分别解出积分限与a ；、把 x = p (t)代入 J b f (x)dx 得到 J f p (t) b (t)dt ； aaQ3 、计算.例1、计算定积分Ja Ha2 - x2dx。0解：设 x = a sin t 有 dx = a cos tdta 2 , sin 2t、K-2x 二 0 时，t 二 0 ； x = a 时,Ja ；a2 - x2 dx = a2 J 2 cos2 tdt = (t + 0 0 2(2)、计算J g (t )dt，其中 g (t) = f p(t )(p (t)aQ、把g(t)凑成f P(t)p(t)的形式；、检查x = p (t)是否连续；Q、根据a与通过x = p(t)求出左边的积分限a,b；Q4 、计算.例2、计算定积分Jdt。-i J5 4t解：令 5 -4t = x，则 t = 5 , dt = -xdx42当 t = 1 时，x = 3 ；当 t = 1 时，x = 1所以原式J 1-( 2 x)dx = 13 x 224 总结定积分计算中最常用的四种方法，本文通过举例分析定积分的几种计算方法，来体现定 积分的计算。定积分的计算类型很多，要熟练地进行定积分的各种运算，就要对定积分的运 算技巧不断熟悉和掌握。其实，在实际计算中，遇到的题目不一样，用的计算方法也不一样。 定义法一般不常用，计算起来比较困难，所以一般不会用定义法计算。常用的就是其他三种， 即牛顿-莱布尼茨公式，分部积分法和换元积分法。致谢在老师的悉心指导下我完成了这篇关于定积分的计算方法的论文,感谢老师以以其严谨 求实的教学态度、高度的敬业精神和孜孜以求的工作作风对我产生重大影响。在此想对理学 院的老师表示真诚的感谢，感谢您们给我这次机会，感谢您们知道与教诲。也感谢在学习过 程中陪伴我帮助我的同学们，谢谢你们。参考文献1 华东师范大学数学系编数学分析M,北京：高等教育出版社，20022 姚允龙编高等数学与数学分析一一方法导引M,上海：复旦大学出版社，19823 钱吉林编数学分析题解精粹M,武汉：崇文书局，20034 中国科学技术大学高等数学教研室编 高等数学导论M,合肥：中国科学技术大学出 版社，1995