Ch.3实变函数、泛函分析和拓扑学基础以及分形空间

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1、 Chapter 3 实 变 函 数 、 泛 函 分 析 和 拓 扑 学 基 础 以 及 分 形 空 间 3.1 实 变 函 数 、 泛 函 分 析 和 拓 扑 学 基 础 在 分 形 几 何 里 ， 我 们 关 注 的 是 多 种 多 样 简 单 几 何空 间 子 集 的 结 构 ， 记 这 种 空 间 为 ， 我 们 研 究 和 讨 论的 分 形 就 在 这 。 Definition 3.1 空 间 是 一 个 集 合 ， 空 间 中 的 点 是该 集 合 的 元 素 。 例 3.1 ， 每 个 “点 ” 是 实 数 或 直 线 轴 上 的 点 。 例 3.2 ， Euclid平 面 ，

2、一 对 实 数 ， 确 定 了 中 的 一 个 点 ， 常 被 写 成 。XX XRX Xx x2RX 1x 2x R2R 2Rx ),( 21 xxx 例 3.3 ， 取 自 变 量 在 闭 区 间 到 的 连 续 函 数 集 ， 一 个 “ 点 ” 就 是 函 数 ， 也 能 由 图 像 表 示 。 例 3.4 ， Riemann球 ， ， 其 中 为 复 平 面 ， 的 元 素 为 复 数 。 例 3.5 叫 作 空 间 和 空 间 的 Cartesian（ 笛 卡 儿 ） 积 ， 若 ， 则 ， 其中 ， ， 比 如 。bCa,X ba,R Xf R,: baf fCX CCC C 2

3、1 XX 1X 2X21 XXx ),( 21 xxx 11 Xx 22 Xx RRR 2 Def. 3.2 一 个 度 量 空 间 就 是 空 间 伴 随 实函 数 ， 令 ， ， 函 数 就 是 衡 量 和 的 距 离 ， 必 须 满 足 如 下 公 理 ： （ 1） ， ， ； （ 2） ， ， ， ； （ 3） ， ； （ 4） ， ， ， 。 这 样 的 函 数 称 为 度 量 。 ),( dX XRXXd : x Xy d xy ),(),( xydyxd Xyx ),(0 yxd x Xy yx 0),( xxd Xx ),(),(),( yzdzxdyxd x y Xzdd 简

4、 言 之 ， 集 中 定 义 了 某 个 度 量 （ 距 离 ） ， 则 称 为 度 量 （ 距 离 ） 空 间 。 如 果 集 中 给 定 了 某个 拓 扑 结 构 （ topological structure） ， 则 称 为拓 扑 空 间 （ topological space） 。 前 者 为 后 者 的 特 殊 情况 。 所 以 说 ， 度 量 空 间 是 一 种 拓 扑 空 间 ， 其 上 的 拓 扑由 指 定 的 一 个 距 离 决 定 。X d),( dX Xt ),( tX 典 型 的 度 量 有 （ 1） （ Euclid度 量 ， 或 用 Euclid-ean） ， ，

5、 ； （ 2） （ Euclid度量 ） ， ， ； （ 3） （ Manhattan度量 ） ， ， ； （ 取 名 Manhattan可 能与 纽 约 市 曼 哈 顿 区 整 齐 纵 横 的 街 道 有 关 ） 。 （ 4） 若 ， ，则 为 Euclid度 量 。 yxyxd ),(x Xy 21221221),( yyxxyxd ),( 11 yx 222 ),( Ryx 2121),( yyxxyxd ),( 11 yx 222 ),( Ryx ),( 21 mxxxx mmyyyy R ),( 21 211 2),( mi ii yxyxd 分 形 几 何 关 注 于 描 述 、

6、分 类 、 解 析 和 观 察 度 量 空间 的 子 集 。 度 量 空 间 通 常 具 有 “ 简 单 ” 的 几 何特 征 ， 但 其 子 集 在 几 何 上 却 是 错 综 复 杂 的 。 Def. 3.6 度 量 空 间 中 的 一 个 点 系 列 称 为 是 Cauchy （ 柯 西 ） 系 列 （ 又 称 基 本 列 ） ， 如 果对 任 意 给 定 的 ， 存 在 一 个 正 整 数 使 得),( dX ),( dX 1nnx0 0N),( mn yxd n Nm, , 。 Def. 3.7 度 量 空 间 中 的 点 系 列 称 为收 敛 于 ， 如 果 对 任 意 给 定 的

7、 ， 存 在 一 个正 整 数 ， 使 得 记 为 Theorem 3.1 如 果 度 量 空 间 中 的 一 个 点 系列 收 敛 于 ， 则 是 Cauchy序 列 。),( dX 1nnxXx 00N ),( xxd n Nn, 。lim nnx x ),( dX 1nnx Xx 1nnx Def. 3.8 如 果 中 每 个 Cauchy序 列 都 有 极 限 ， 则 度 量 空 间 称 为 是 完 备 的 ， 记 表 示 中 心 在 ， 半 径 为 的 开 球 ， 则 对 于 收 敛 序列 而 言 ， 当 大 于 某 个 后 ， 该 球 将 包 含 所 有 的 点 （ ） 。 XXx

8、 ),( dX ),(:),( yxdXyxBx 0Nn nx Nn 例 3.6 下 面 的 度 量 空 间 都 是 完 备 的 ： （ 1） （ ， Euclidean） ; （ 2） （ ， Euclidean） ; （ 3） （ ， Spherical） ; （ 4） （ ， ） ， 定 义 为R 2RC baC , d d baxxgxfgfd ,:)()(max),( Theorem 3.2 设 和 是 两 个 等 价 度 量空 间 ， 若 是 完 备 的 ， 则 也 是 完 备 的 。 Def. 3.9 设 是 度 量 空 间 的 子 集 ， 点 称 为 的 极 限 点 ， 如 果

9、 存 在 点 集 的 一个 序 列 使 得 。 Def. 3.10 设 是 度 量 空 间 的 子 集 ， 的 闭 包 定 义 为 ， 如 果 包 含 它 所有 的 极 限 点 ， 则 是 闭 的 ， 即 。 如 果 还 等 于它 所 有 极 限 点 的 集 合 ， 则 是 完 备 集 。 三 分 Cantor集 就 是 完 备 集 。 两 个 集 并 的 闭 包 等 于 它 们 的 闭 包 之 并 ： （ 此 结 论 不 能 推 广 到 无 穷 多 个 集 之 并 ）),( 11 dX ),( 22 dX),( 11 dX ),( 22 dXXS ),( dXXx S xSxn 1nnx l

10、im nn x x XS ),( dX S 的 极 限 点SSS SS SS SS2121 EEEE Def. 3.11 设 是 度 量 空 间 的 子 集 ，如 果 中 的 每 个 无 穷 序 列 都 有 一 个 极 限 在 中的 子 序 列 ， 则 称 为 紧 的 。 Def. 3.12 设 是 度 量 空 间 的 子 集 ，如 果 存 在 一 个 点 和 数 ， 使 包 含 在 开 球 内 ， 则 称 是 有 界 集 。 收 敛 点 集 是 有 界 的 。XS ),( dXS 1nnx SS XS ),( dX0rXa S),( raO S Def. 3.13（ 网 ） 设 是 度 量

11、空 间 的 子 集 ， 如 果 对 每 一 个 ， 都 存 在 一 个 有 限 点 集 ， 使 得 每 当 总 有 某 个 致 ， 称 为 的一 个 网 。 显 然 。 XS ),( dXYyi S Yy yBS ),( 0 SyyyY n , 21 Xx),( iyxd nyyyY , 21 Definition 3.14（ 全 有 界 ） 集 合 称 为 是 全 有 界的 ， 如 果 ， 都 存 在 一 个 有 穷 网 。 Theorem 3.3 设 是 完 备 度 量 空 间 ， ，则 是 紧 的 当 且 仅 当 它 是 闭 的 和 全 有 界 的 。 Definition 3.15 设

12、 是 度 量 空 间 的 子集 ， 如 果 对 每 个 都 存 在 使 得 ， 称 空 集 。 规 定 空 集 也 是 开 集 。 一 个 事 实 是 ， 如 果 是 度 量 空 间 ， 则 “ ” 是 开 的 与 “ ” 是 闭 的 是 同 一 个 意思 。 S0 S ),( dXXS S XS ),( dXSx 0 SyxdXyxB ),(:),(S ),( dXSX XS Definition 3.16 设 是 的 子 集 ， 点 是 的 边 界 点 ， 如 果 对 每 一 个 ， 都 包 含 有 和 的 点 ， 所 有 边 界 点 的 集 合 称 为 的 边 界 并 记之 为 。 De

13、finition 3.17 设 是 度 量 空 间 的 子 集 ，如 果 存 在 ， 使 得 对 某 个 有 ， 则 点 称 为 内 点 。 所 有 内 点 的 集 合 称 为 的 内 部 。 显 然 ， 定 义 3.15中 的 开 集 的 每 一 个 点 都 是 的 内点 。 Definition 3.18 集 合 中 的 元 素 如 果 能 与 全 体 自 然数 一 一 对 应 ， 则 是 可 数 集 。 XS ),( dX XxS 0 ),( xBS SX S SS XS ),( dX0 Sx SxB ),( Sx S SS SSS 3.2 分 形 空 间 Definition 3.19

14、 设 为 完 备 空 间 ， 则 记 为 由 的 全 体 非 空 紧 子 集 组 成 的 空 间 ， 显 然 ， 的元 素 是 的 非 空 紧 子 集 ， 即 的 非 空 紧 子 集 是 的一 个 单 点 。 分 形 几 何 的 研 究 对 象 是 分 形 集 合 ， 所 以 必 须 引 入 点与 集 合 ， 集 合 与 集 合 的 度 量 关 系 。),( dX )(XHX )(XHX X )(XH Definition 3.20 设 为 完 备 度 量 空 间 ， ，集 合 ， 定 义 称 为 点 到 集 合 的 距 离 。 考 虑 为 某 一 个 城 市 ， 为 另 一 个 省 或 另

15、一 个 国家 ， 则 就 确 定 了 该 城 市 与 那 个 省 或 那 个 国 家的 距 离 。 ),( dX Xx)(XHB ByyxdBxd :),(min),(),( Bxd x Bx B),( Bxd Definition 3.21 设 为 完 备 度 量 空 间 ， 集 合 ， ， 定 义 称 为 集 合 与 集 合 的 距 离 。 若 是 城 市 所 在 地 国 家 ， 则 表 示 了 国 家 与 国 家 的 距 离 。 Definition3.22 对 于 度 量 空 间 的 映 射 ， 如 果 有 ， 使 得 ， 则称 为 映 射 的 不 动 点 。 ),( dXA )(XH

16、B AxBxdBAd :),(max),(),( BAd )(XHA )(XHBA x ),( BAd AB ),( dXXXf : Xxf ff xxf )(fx f 例 3.7 如 果 是 空 间 （ ， Euclidean） ， ， 是 中 心 在 半 径 为 的 闭 圆 盘 ，求 。 解 ， 显 然 必 落 在 圆 盘 的 边 界 上 且 ， 两 点 的 连 线 必 垂 直于 过 的 圆 的 切 线 ， 因 此 必 落 在 圆 心 与 的 连 线 上 ，故 ),( dX 2R2)1,1( Rx B 0,21 21 ),(:),(min),( yxdByyxdBxd ),( Bxd Byy yxy y x 15212121101),( 22 Bxd