【教学课件】第4章图形变换

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1、第4章 图形变换第4章 图形变换4.1二维图形几何变换齐次坐标所谓齐次坐标表示法就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。例如：二维坐标点P(x,y)的齐次坐标为：(Hx,Hy,H)其中，H是任一不为0的比例系数。第4章 图形变换二维图形的基本变换如果用P=x y 1表示XY平面上一个未被变换的点，用P=x y 1表示P点经某种变换后的新点，用一个3*3矩阵T表示变换矩阵：则图形变换可以统一表示为：P=PT第4章 图形变换1平移变换 平移是一种不产生变形而移动物体的刚体变换。假定从点P平移到点P，点P沿X方向的平移量为m，沿Y方向的平移量为n，构造平移矩阵T：第4章 图形变换2比例变

2、换基本的比例变换是指图形相对于坐标原点，按比例系数(Sx,Sy)放大或缩小的变换。假定点P相对于坐标原点沿X方向放缩Sx倍，沿Y方向放缩Sy倍，构造比例矩阵T：第4章 图形变换如果比例变换矩阵为如下形式：此时进行整体比例变换，比例系数为(1/S，1/S)。第4章 图形变换3旋转变换基本的旋转变换是指将图形围绕圆心逆时针转动一个角度的变换。假定从P点绕原点逆时针旋转角到P点，构造旋转矩阵T：第4章 图形变换4对称变换（1）关于X轴的对称变换点P(x,y)关于X轴的对称点为 P(x,-y)，构造对称矩阵T：第4章 图形变换（2）关于Y轴的对称变换点P(x,y)关于Y轴的对称点为 P(-x,y)，构

3、造对称矩阵T：第4章 图形变换（3）关于坐标原点的对称变换点P(x,y)关于坐标原点的对称点为 P(-x,-y)，构造对称矩阵T：第4章 图形变换（4）关于y=x（+45）直线的对称变换点P(x,y)关于y=x直线的对称点为 P(y,x)，构造对称矩阵T：第4章 图形变换（5）关于y=-x（-45）直线的对称变换点P(x,y)关于y=-x直线的对称点为 P(-y,-x)，构造对称矩阵T：第4章 图形变换5错切变换 错切变换也称剪切、错位、错移变换，用于产生弹性物体的变形处理。第4章 图形变换（1）沿X轴方向关于y的错切点P(x,y)沿X轴方向关于y进行错切变换，错切角度为。令e=tg，构造错切

4、矩阵T：第4章 图形变换（2）沿Y轴方向关于x的错切点P(x,y)沿Y轴方向关于x进行错切变换，错切角度为。令b=tg，构造错切矩阵T：第4章 图形变换6变换矩阵的功能分区五种二维基本变换，它们的变换矩阵都可以用如下的3*3矩阵来描述：（1）左上角的2*2子块可实现比例、旋转、对称、错切四种基本变换；（2）左下角的1*2子块可实现平移变换；（3）右上角的2*1子块可实现投影变换；（4）右下角的1*1子块可实现整体比例变换。第4章 图形变换复合变换 对于任何一个比较复杂的变换，都可以转换成若干个连续进行的基本变换。这些基本几何变换的组合称为复合变换，也称为级联变换。设图形经过n次基本几何变换，其

5、变换矩阵分别为T1,T2,Tn，则称T=T1T2 Tn为复合变换矩阵。第4章 图形变换1连续平移变换2连续比例变换3连续旋转变换4相对任一参考点的二维几何变换5以平面内任一直线为对称轴进行对称变换第4章 图形变换4.2 三维图形几何变换 4.2.1 三维图形的基本变换如果用P=x y z 1表示三维空间上一个未被变换的点，用P=x y z 1表示P点经某种变换后的新点，用一个4*4矩阵T表示变换矩阵：则图形变换可以统一表示为：P=PT第4章 图形变换同样可对三维图形几何变换的4*4矩阵T进行功能分区，其中：（1）左上角的3*3子块可实现比例、旋转、对称、错切四种基本变换；（2）左下角的1*3子

6、块可实现平移变换；（3）右上角的3*1子块可实现投影变换；（4）右下角的1*1子块可实现整体比例变换。第4章 图形变换1平移变换假定从点P平移到点P，点P沿X方向的平移量为l，点P沿Y方向的平移量为m，沿Z方向的平移量为n，则可构造平移矩阵T：第4章 图形变换2比例变换（1）局部比例变换假定点P相对于坐标原点沿X方向放缩Sx倍，沿Y方向放缩Sy倍，沿Z方向放缩Sz倍，其中Sx、Sy和Sz称为比例系数，则可构造比例矩阵T：第4章 图形变换（2）整体比例变换其变换矩阵为：S的取值所起到的作用与二维变换相同。第4章 图形变换3旋转变换下面讨论的三种基本旋转变换，都是考虑在右手坐标系下，某点绕坐标轴逆

7、时针旋转角的情况。（1）绕Z轴旋转构造旋转矩阵T：第4章 图形变换（2）绕X轴旋转 构造旋转矩阵T：（3）绕Y轴旋转构造旋转矩阵T：第4章 图形变换4对称变换（1）关于坐标原点的对称变换（2）关于坐标轴的对称变换（以关于X轴的对称变换为例）第4章 图形变换（3）关于坐标平面的对称变换（以关于XOY坐标平面的对称变换为例）第4章 图形变换5错切变换三维图形错切变换可以沿X轴、Y轴、Z轴三个方向产生错切变换，构造错切变换矩阵T：根据元素所在的列，可以判断出是沿哪个坐标轴方向进行错切。根据元素所在的行，可以判断出是关于哪个坐标变量的错切。第4章 图形变换4.2.2 复合变换 1相对空间任一点的几何变

8、换2相对空间任一直线的几何变换第4章 图形变换4.3 投影变换4.3.1 投影变换的基本概念将三维空间中的物体变为二维图形表示的过程称为投影变换。投影变换的分类：第4章 图形变换投影的要素包括投影对象、投影中心、投影平面、投影线和投影。要作投影变换的物体称为投影对象；在三维空间中，选择一个点，记这个点为投影中心；不经过这个点再定义一个平面，记这个平面为投影平面；从投影中心向投影平面引任意多条射线，记这些射线为投影线；穿过物体的投影线与投影面相交，在投影面上形成物体的像，这个像记为三维物体在二维投影面上的投影。第4章 图形变换投影变换可分为两大类：透视投影和平行投影。它们的本质区别在于：透视投影

9、的投影中心到投影面之间的距离是有限的，而平行投影的投影中心到投影面之间的距离是无限的。第4章 图形变换4.3.2 平行投影平行投影的投影中心与投影平面之间的距离为无穷远；投影线之间相互平行；平行线的平行投影仍是平行线。按照投影方向与投影平面的交角不同，平行投影分为两类：正平行投影和斜平行投影。第4章 图形变换1正平行投影正平行投影的投影方向垂直于投影平面。按照投影平面与坐标轴的交角不同，正平行投影又可分为两类：正投影与正轴测。当投影平面与某一坐标轴垂直时，得到的投影为正投影；否则，得到的投影为正轴测。第4章 图形变换（1）正投影正投影也称为三视图。按照投影平面是否与Y轴、X轴、Z轴垂直，正投影

10、分为主视图、侧视图和俯视图三种，此时投影方向分别与这个坐标轴的方向一致。第4章 图形变换（2）正轴测根据变形系数之间的关系，正轴测投影可分为正等测投影、正二测投影、正三测投影。第4章 图形变换2斜平行投影斜平行投影的投影方向不垂直于投影平面，而是与投影面成夹角。在工程制图中，经常选择一些兼有美观及绘图方便的 角来作斜平行投影，常用的两种是斜等测和斜二测。第4章 图形变换4.3.3 透视投影1透视投影的术语和分类透视投影的投影中心与投影平面之间的距离为有限的。投影线（视线）从投影中心（视点）出发，投影线是不平行的。对于透视投影，一束平行于投影平面的平行线的投影仍可保持平行，而不平行于投影平面的平

11、行线的投影会收敛到一个点，这个点称为灭点（Vanishing Point）。平行于坐标轴的平行线在投影平面上形成的灭点称为主灭点。第4章 图形变换根据主灭点的个数，透视投影可分为一点透视、二点透视和三点透视。（1）一点透视：有一个主灭点，即投影平面与一个坐标轴正交，与另外两个坐标轴平行。（2）二点透视：有两个主灭点，即投影平面与两个坐标轴相交，与另一个坐标轴平行。（3）三点透视：有三个主灭点，即投影面与三个坐标轴都相交。第4章 图形变换2 透视投影的表示方法假设投影中心在坐标原点，投影平面与Z轴垂直，在zd的位置上。点P(x,y,z)在投影平面上的投影点为：P(x,y,d)，构造透视投影的变换

12、矩阵T：第4章 图形变换3透视异常（1）透视缩小效应（2）灭点效应（3）观察混淆（4）布局失真第4章 图形变换4.4 坐标系统及其变换 4.4.1 坐标系统1建模坐标系（MC）2世界坐标系（WC）3观察坐标系（VC）4投影坐标系（PC）5设备坐标系（DC）第4章 图形变换4.4.2 模型变换模型变换是将建模坐标系中的形体转换为世界坐标系中描述的变换。一旦用户定义建模坐标系中的“局部”物体，通过指定建模坐标系的原点在世界坐标系中的位置，然后通过前面介绍过的几何变换，就可很容易地将“局部”物体放入世界坐标系内，使它由局部上升为全局。第4章 图形变换4.4.3 观察变换观察变换是将一个三维对象在世界坐标系统中的坐标转变为在观察坐标系统中的坐标过程。1观察平面2观察体3规范化观察体4从世界坐标系到观察坐标系的变换第4章 图形变换4.4.4 窗口-视区变换窗口用来确定要显示的物体，视区确定实际显示图形。实际情况中，窗口与视区的大小往往不一样。如果要在视区正确地显示形体，必须将其从窗口变换到视区，此过程称为窗口-视区变换。第4章 图形变换构造窗口-视区变换的变换矩阵 T：其中：