数学建模培训之数学规划模型

数数数数 学学学学 建建建建 模模模模Mathematical ModellingMathematical Modelling1第一讲第一讲第一讲第一讲 数学规划模型数学规划模型数学规划模型数学规划模型2优化问题：优化问题：现实世界当中经常遇到的一类问题。现实世界当中经常遇到的一类问题。最优化方法：最优化方法：解决优化问题的数学方法。解决优化问题的数学方法。解决优化问题的基本步骤：解决优化问题的基本步骤：1)建立优化模型建立优化模型;2)利用优化方法辅以计算机求解利用优化方法辅以计算机求解 优化模型。优化模型。3优化模型：优化模型：1)数学规划：数学规划：线性规划线性规划 非线性规划非线性规划 整数规划整数规划 动态规划动态规划 多目标规划多目标规划生产与服务业的运作管理：计划问题、调度问生产与服务业的运作管理：计划问题、调度问题、运输问题、下料问题，题、运输问题、下料问题，经济与金融领域：经济均衡问题、投资组合问经济与金融领域：经济均衡问题、投资组合问题、市场营销问题，题、市场营销问题，42)图与网络的优化模型图与网络的优化模型 运输问题运输问题 指派问题指派问题 最大匹配问题最大匹配问题 最小覆盖问题最小覆盖问题 最短路问题最短路问题 最小树问题最小树问题 行遍性问题行遍性问题(旅行商问题旅行商问题/中国邮递员问题中国邮递员问题)网络流问题网络流问题(最大流最大流/最小费用流最小费用流)计划网络图优化问题计划网络图优化问题 53)对策论（博弈论）对策论（博弈论）4)排队论排队论5)存贮论存贮论参考书：参考书：运筹学运筹学(第第3版版)，运筹学教材编写组编，清，运筹学教材编写组编，清华大学出版社华大学出版社,2005,2005 优化建模与优化建模与LINDO/LINGO软件软件，谢金星、薛毅，谢金星、薛毅编著，清华大学出版社编著，清华大学出版社,2006,2006 6例1 某公司的甲、乙两个蔬菜生产基地，产量分别为某公司的甲、乙两个蔬菜生产基地，产量分别为1200kg和和900kg，同时供应，同时供应A、B、C、D 四个大型超市，其需要量分别四个大型超市，其需要量分别为为800kg、500kg、500kg、300kg，而从各基地到各超市运送蔬，而从各基地到各超市运送蔬菜的费用为：菜的费用为：试制定一个调运方案，使总的运费最小试制定一个调运方案，使总的运费最小.运费运费(元元/kg)A B C D 甲基地甲基地 0.21 0.25 0.17 0.15 乙基地乙基地 0.47 0.37 0.16 0.28例2 某食品厂有某食品厂有 n 种产品种产品 A1,A2,An，每种产品的单位利润每种产品的单位利润分别为分别为 r1,r2,rn.而生产每种产品所需设备数分别为而生产每种产品所需设备数分别为 a1,a2,an，所需原料的消耗分别为，所需原料的消耗分别为 b1,b2,bn，所需劳动力分别，所需劳动力分别为为 c1,c2,cn.该厂现有的设备、原料和劳动力的总数分别为该厂现有的设备、原料和劳动力的总数分别为a,b,c，产品在市场上的需求量分别不超过，产品在市场上的需求量分别不超过q1,q2,qn.该厂若要获得最大利润，应如何制定生产计划？该厂若要获得最大利润，应如何制定生产计划？数学规划数学规划(Mathematical Programming)7例例3 3.某加工厂制作一批钢架，需某加工厂制作一批钢架，需 50 根根 4 m，20 根根 6 m 和和 15 根根 8 m 的同型号钢管，而从钢管厂购进的该型号的原料钢管的同型号钢管，而从钢管厂购进的该型号的原料钢管长度均为长度均为 19m.问应如何下料能最节省问应如何下料能最节省？例例4 4.某建筑公司有某建筑公司有6个工地同时开工，每个工地的位置个工地同时开工，每个工地的位置(用用平面坐标系平面坐标系(ai,bi)表示，距离单位表示，距离单位:km)及水泥日用量及水泥日用量di(单单位位:t)为为 i 1 2 3 4 5 6aibidi 1.25 8.75 0.50 5.75 3.00 7.25 1.25 0.75 4.75 5.00 6.50 7.25 3 5 4 7 6 11目前位于目前位于A(5,1)和和B(2,7)处有两个临时料场，日储量各处有两个临时料场，日储量各20 t.假假定从料场到各工地均为直线道路定从料场到各工地均为直线道路.(1)对对A,B两料场，两料场，制定每天制定每天的供应计划，使总的吨千米数最小；的供应计划，使总的吨千米数最小；(2)舍弃舍弃A,B两料场，修建两料场，修建两个新料场，日储量不变，两个新料场，日储量不变，问应建于何处？总的吨千米数减少问应建于何处？总的吨千米数减少了多少？了多少？8线性规划线性规划(Linear Programming,LP)其中其中 c=(c1,cn)T,x=(x1,xn)T，b=(b1,bm)T.标准形标准形9线性规划的求解线性规划的求解5x1+4x2=24Q2Q1Q3Q42x1+5x2=15x2-x1=1Ox1x25x1+10 x2=z例110线性规划的基本性质（1）若）若 LP 存在可行域，则其可行域为凸集（凸多面体）；存在可行域，则其可行域为凸集（凸多面体）；（2）x 为为 LP 的基可行解的充分必要条件是的基可行解的充分必要条件是 x 为其可行域的为其可行域的极点（顶点）；极点（顶点）；（3）若）若 LP 存在最优解，则其最优解一定在其可行域的极点存在最优解，则其最优解一定在其可行域的极点上得到。上得到。求解线性规划：（1）求基可行解（可行域的极点）；）求基可行解（可行域的极点）；（2）在基可行解中寻找最优解。）在基可行解中寻找最优解。单纯形算法从某个基可行解出发，通过迭代法沿目标函从某个基可行解出发，通过迭代法沿目标函数值下降最快的方向求另一个基可行解。经数值下降最快的方向求另一个基可行解。经有限次迭代，便可得到有限次迭代，便可得到 LP 的最优解。的最优解。11Q2Q1Q3Q45x1+10 x2=z5x1+4x2=24Ox1x22x1+5x2=15x2-x1=1，x1,x2为整数整数规划整数规划(Integer Programming,IP)12数学规划数学规划其中其中 x=(x1,xn)T,g(x)=(g1(x),gm(x)T,而而 S=x|g(x)0 Rn 为该数学规划的可行域。为该数学规划的可行域。非线性规划非线性规划(Nonlinear Programming,NLP)或或13 设设 x*S，而 xS 有 f(x)f(x*)，则称 x*为NLP的全局最优解全局最优解，f(x*)为NLP的全局最优值全局最优值(全局极小值)。非线性规划非线性规划 设设 x*S，若 U(x*)使 x U(x*)S，有 f(x)f(x*)，则称 x*为NLP的局部最优解局部最优解，f(x*)为NLP的局部最优值局部最优值(局部极小值)。设设S Rn，x*S，f(x)在在 x*处取得局部极值的处取得局部极值的必要条件必要条件为为 f(x*)=0；f(x)在 x*处取得局部极小值的处取得局部极小值的充分条件充分条件为为 f(x*)=0，且且2f(x*)=正定。正定。14数值迭代法数值迭代法无约束无约束NLP的求解的求解 Step2 对于第对于第k次迭代解次迭代解 x(k)，确定一个搜索方向，确定一个搜索方向p(k)Rn，并在此方向上确定搜索步长并在此方向上确定搜索步长 tk R，令，令 x(k+1)=x(k)+tk p(k)，使使 f(x(k+1)f(x(k)；若可行域若可行域 S=Rn：无约束无约束NLP；否则否则S Rn：带约束带约束NLP。Step1 选择初始解选择初始解 x(0)；Step3 若若 x(k+1)满足给定的迭代终止准则满足给定的迭代终止准则，停止迭代，最优，停止迭代，最优解解 x*=x(k+1)；否则，转否则，转Step2。非线性规划非线性规划15搜索方向的选择搜索方向的选择1.最速下降法（梯度法）：最速下降法（梯度法）：取取 p(k)=f(x(k)2.Newton法：法：取取 p(k)=2f(x(k)1 f(x(k)拟拟Newton法、共轭梯度法法、共轭梯度法搜索步长的确定搜索步长的确定搜索方向搜索方向 p(k)确定后，确定步长成为一维优化问题：即求确定后，确定步长成为一维优化问题：即求 tk 使使一维搜索方法（线性搜索）一维搜索方法（线性搜索）黄金分割法、黄金分割法、Fibonacci法、求根法，插值法（二次、三次）法、求根法，插值法（二次、三次）直接搜索方法直接搜索方法步长加速法、方向加速法、单纯形法步长加速法、方向加速法、单纯形法16带约束带约束NLP的求解的求解两种途径：两种途径：可行域内直接寻优可行域内直接寻优约束问题化为无约束问题求解约束问题化为无约束问题求解1.可行方向法：可行方向法：可行方向：可行方向：设设 x S，若若 0，使，使 t 0,均有均有 x+t p S,则方向则方向 p 称称为为 x 的一个可行方向；的一个可行方向；迭代时迭代时取取 p(k)为可行下降方向为可行下降方向，即取即取 p(k)同时满足同时满足下降方向：下降方向：设设 x S，若若 0，使，使 t 0,均有均有 f(x+t p)f(x),则方向则方向 p 称称为为 x 的一个下降方向；的一个下降方向；f(x(k)T p(k)0gj(x(k)T p(k)0，j j|gj(x(k)=0,1 j m172.罚函数法：罚函数法：利用目标函数利用目标函数 f(x)和约束函数和约束函数 g(x)构造带参数的构造带参数的“增增广广”目标函数目标函数，将约束，将约束NLP 转化为一系列无约束转化为一系列无约束NLP来求来求解解：min F(x)=f(x)+Pk(x)其中其中Pk(x)为由为由g(x)构成的构成的“惩罚惩罚”函数。函数。外部罚函数法：外部罚函数法：取取Pk(x)=Mk内部罚函数法：内部罚函数法：取取Pk(x)=rk其中其中 0 M1 M2 Mk 为选取的单增趋于无穷的数列为选取的单增趋于无穷的数列其中其中 r1r2 rk 0 为选取的单减趋于为选取的单减趋于0的数列的数列18现代优化的计算方法：现代优化的计算方法：（除经典的规划求解方法外）（除经典的规划求解方法外）局部搜索和禁忌搜索算法局部搜索和禁忌搜索算法模拟退火算法模拟退火算法遗传算法遗传算法蚁群算法蚁群算法人工神经网络人工神经网络19例例1.1.投资的收益与风险(CUMCM98A).市场上有市场上有 n 种资产种资产(股票、债券、股票、债券、)Si(i=1,2,n).某公司有一笔相当大的资金某公司有一笔相当大的资金(数额为数额为 M)可作一个时期的投资可作一个时期的投资.该公司的评估和预测该公司的评估和预测:投资投资 Si 的平均收益率的平均收益率 ri,风险损失率风险损失率 qi.投资越分散投资越分散,总体风险越低总体风险越低.总体风险可用所投资的总体风险可用所投资的 Si 中最中最大的一个风险来度量大的一个风险来度量.购买购买 Si 的交易费率的交易费率 pi,且购买量不超过且购买量不超过 ui 时按购买时按购买 ui 计算计算.同期银行存款利率同期银行存款利率 r0(取取 5%),无交易费用无风险无交易费用无风险.Si ri(%)qi(%)pi(%)ui(元)S1S2S3S4 28 2.5 1.0 103 21 1.5 2.0 198 23 5.5 4.5 52 25 2.6 6.5 40给该公司设计一种投给该公司设计一种投资组合方案，使净收资组合方案，使净收益尽可能大，总体风益尽可能大，总体风险尽可能小险尽可能小.20基本假设基本假设 1.投资数额投资数额M相当大；相当大；2.投资越分散总的风险越小；投资越分散总的风险越小；3.总体风险用所投资项目总体风险用所投资项目Si中最大的风险来度量；中最大的风险来度量；4.n种资产种资产Si之间相互独立；之间相互独立；5.在投资期间，在投资期间，ri,pi,qi 为定值，不受意外因素影响；为定值，不受意外因素影响；6.净收益和总体风险只受净收益和总体风险只受 ri,pi,qi 影响影响，不受其他因素干不受其他因素干扰扰.21风险度风险度 收益收益 x0 x1 x2 x3 x40.0060 0.2019 0.0000 0.2400 0.4000 0.1091 0.221222例例2.2.洗衣机的节水设计洗衣机的节水设计(CUMCM96B).我国淡水资源有限，节约用水人人有责。洗衣我国淡水资源有限，节约用水人人有责。洗衣在家庭用水中占有相当大的份额，节约洗衣机的用在家庭用水中占有相当大的份额，节约洗衣机的用水十分重要。假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的水十分重要。假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水漂洗脱水加水漂洗脱运行过程为：加水漂洗脱水加水漂洗脱水水加水漂洗脱水加水漂洗脱水(称称“加水漂洗脱加水漂洗脱水水”为运行为运行“一轮一轮”)”)。请为洗衣机设计一种程序。请为洗衣机设计一种程序(包括运行多少轮，每轮加水量等包括运行多少轮，每轮加水量等)，使得在满足一，使得在满足一定洗涤效果的条件下，总的用水量最少。选用合理定洗涤效果的条件下，总的用水量最少。选用合理的数据进行计算。的数据进行计算。23问题分析问题分析洗衣的基本原理洗衣的基本原理：将吸附在衣物上的污物溶于水中，通过将吸附在衣物上的污物溶于水中，通过脱去污水而带走污物，即脱去污水而带走污物，即 溶污物脱污水溶污物脱污水洗衣的过程洗衣的过程：通过加水来实现通过加水来实现溶污物脱污水溶污物脱污水动作的动作的反复进行，使得残留在衣物上的污物越来越少，直至达到满反复进行，使得残留在衣物上的污物越来越少，直至达到满意程度。意程度。溶污物溶污物“洗涤”（首轮）和“漂洗”脱污水脱污水“排水”和“甩干”两个环节两个环节问题的要点问题的要点：1 1）污物溶解的情况？）污物溶解的情况？2 2）每轮洗涤后污物减少的情况？）每轮洗涤后污物减少的情况？3 3）由一系列）由一系列“加水漂洗脱水加水漂洗脱水”构成的节水洗涤程序？构成的节水洗涤程序？24基本假设基本假设1 1）仅考虑离散的洗涤方案，即仅考虑离散的洗涤方案，即“加水漂洗脱水加水漂洗脱水”三个环三个环节是分离的，这三个环节构成一个洗涤周期，称为节是分离的，这三个环节构成一个洗涤周期，称为“一轮一轮”；2 2）节水洗涤程序设计只考虑洗涤的轮数和加水量；节水洗涤程序设计只考虑洗涤的轮数和加水量；3 3）每轮用水量不能低于每轮用水量不能低于L，以保证洗衣机工作，不能高于，以保证洗衣机工作，不能高于H，否则水会溢出，显然不节水；，否则水会溢出，显然不节水；4 4）每轮漂洗时间足够，以使衣物上的污物充分溶解水中，使每轮漂洗时间足够，以使衣物上的污物充分溶解水中，使每轮的加水被充分利用；每轮的加水被充分利用；5 5）每轮脱水时间足够，以使污水充分脱出，即衣物中所含每轮脱水时间足够，以使污水充分脱出，即衣物中所含的污水量达到一个低限的污水量达到一个低限c，设，设0 c L ；变量变量1 1）漂洗共进行漂洗共进行n 轮，轮，k=0,1,2,n1；2 2）第第k轮用水量为轮用水量为uk，k=0,1,2,n1；3 3）衣物上的初始污物量为衣物上的初始污物量为x0，第第k轮脱水后衣物上附轮脱水后衣物上附着的污物量为着的污物量为xk+1，k=0,1,2,n1.25仿真计算仿真计算数据：取数据：取 =103，L/H=0.25，c/H=105结果：结果：Q n vk vk0.99 2 1.9563 0.9782 3 2.7273 0.9091 4 3.3219 0.8305 5 3.7819 0.7564 6 4.1441 0.6907 7 4.4351 0.6336 8 4.6732 0.5842 9 4.8714 0.541310 5.0386 0.5386 Q n vk vk0.99 2 1.9563 0.97820.95 3 2.8421 0.94740.90 3 3.6564 0.91350.85 4 3.8690 0.96730.80 5 4.6801 0.93600.70 6 5.8610 0.97680.60 8 7.7108 0.96380.50 10 9.9764 0.997626第二讲第二讲第二讲第二讲 概率及其概率及其概率及其概率及其 分布模型分布模型分布模型分布模型27随机现象随机现象:由一系列随机因素影响所造成的不确定现象由一系列随机因素影响所造成的不确定现象随机现象规律性的刻画：随机现象规律性的刻画：概率概率 和和概率分布概率分布 随机事件概率的计算随机事件概率的计算 随机事件随机事件:随机现象的具体表象随机现象的具体表象 古典概率古典概率 几何概率几何概率 统计概率统计概率全概率公式：全概率公式：加法公式：加法公式：P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)乘法公式：乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)贝叶斯公式：贝叶斯公式：二项概率公式：二项概率公式：28随机变量的概率分布随机变量的概率分布 r 项分布项分布 泊松泊松分布分布 超超几何分布几何分布 几何分布几何分布 均匀分布均匀分布 指数分布指数分布 正态分布（高斯分布）正态分布（高斯分布）巴斯卡分布巴斯卡分布 伽玛分布伽玛分布 贝塔分布贝塔分布 对数正态分布对数正态分布 威布尔分布威布尔分布概率分布的实例概率分布的实例 一段时间内，电话交换机接收到的用户呼叫次数，公共一段时间内，电话交换机接收到的用户呼叫次数，公共汽车站来到的候车乘客数，超市中排队等待付款的顾客数，汽车站来到的候车乘客数，超市中排队等待付款的顾客数，随机服务窗口接待的人数，某种放射性物质放射的粒子数，随机服务窗口接待的人数，某种放射性物质放射的粒子数，显微镜下落在某区域的微生物数目，昆虫的产卵数目，事显微镜下落在某区域的微生物数目，昆虫的产卵数目，事故、故障、灾害性事件的数目，一个产品的疵点数等都服故、故障、灾害性事件的数目，一个产品的疵点数等都服从从泊松分布泊松分布；泊松分布是二项分布的极限分布泊松分布是二项分布的极限分布；29 贝努利概型是二项分布的实际背景，贝努利概型是二项分布的实际背景，例如有限总体的有例如有限总体的有放回抽样的次品数目服从放回抽样的次品数目服从二项分布二项分布；而不放回抽样的次品；而不放回抽样的次品数目服从数目服从超几何分布超几何分布；随机到达车站的乘客的候车时间，定点数值计算中四舍随机到达车站的乘客的候车时间，定点数值计算中四舍五入的舍入误差等服从五入的舍入误差等服从均匀分布均匀分布；贝努利试验中事件贝努利试验中事件A首次发生时的试验次数服从首次发生时的试验次数服从几何分布几何分布；无线电元器件和玻璃器皿等的寿命，动物的寿命，电话无线电元器件和玻璃器皿等的寿命，动物的寿命，电话问题中的通话时长，随机服务窗口的服务时间等服从问题中的通话时长，随机服务窗口的服务时间等服从指数指数分布；分布；工业中机电产品（如轴承、刀具等）的寿命常服从工业中机电产品（如轴承、刀具等）的寿命常服从威布威布尔分布；尔分布；30 测量误差，工业产品的尺寸、强度等质量指标，人体的测量误差，工业产品的尺寸、强度等质量指标，人体的身高、体重，农作物的产量，炮弹的弹落点的分布，气象身高、体重，农作物的产量，炮弹的弹落点的分布，气象中的月气温、月湿度、月降水量，考试的成绩分布等都服中的月气温、月湿度、月降水量，考试的成绩分布等都服从从正态分布正态分布；二项分布的极限分布是正态分布；一般地，众多独立的二项分布的极限分布是正态分布；一般地，众多独立的影响因素的综合作用结果往往服从或近似服从正态分布；影响因素的综合作用结果往往服从或近似服从正态分布；绝缘材料的寿命，设备故障的维修时间，一个家庭中两绝缘材料的寿命，设备故障的维修时间，一个家庭中两个孩子的年龄之差等服从个孩子的年龄之差等服从对数正态分布对数正态分布；31随机变随机变(向向)量的特征数量的特征数数学期望数学期望方差方差/标准差标准差变异系数变异系数偏度系数偏度系数峰度系数峰度系数协方差协方差相关系数相关系数特征数由分布决定，与分布的参数有关。特征数由分布决定，与分布的参数有关。32例例1 1 自动化车床管理自动化车床管理 一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占95%,95%,其它故障其它故障仅占仅占5%5%。工序出现故障完全随机。工序出现故障完全随机,假定在生产任一零件时出现假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同。工作人员通过检查零件来确定工序是否出故障的机会均相同。工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障。现有现故障。现有100100次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数如附表。假设在刀具加工一定件数后定期更换新刀具。件数如附表。假设在刀具加工一定件数后定期更换新刀具。已知生产工序的费用参数如下：故障时产出的零件损失费已知生产工序的费用参数如下：故障时产出的零件损失费用用200200元元/件；件；进行检查的费用进行检查的费用1010元元/次；发现故障进行调节使次；发现故障进行调节使恢复正常的平均费用恢复正常的平均费用30003000元元/次次(包括刀具费包括刀具费)；未发现故障时更；未发现故障时更换一把新刀具的费用换一把新刀具的费用10001000元元/次。次。假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品零件均为合格品,试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略。多少零件检查一次）和刀具更换策略。33附附:100:100次刀具故障记录次刀具故障记录(完成的零件数完成的零件数)459362624542509584433748815505612452434982640742565706593680926653164487734608428115359384452755251378147438882453886265977585975564969751562895477160940296088561029283747367735863869963455557084416606106248412044765456433928024668753979058162172453151257749646849954464576455837876566676321771531085134例例2 彩票中的数学彩票中的数学 近年流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。“传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组09号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从04号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从09十个号码中任选6个基本号码(可重复)，从04中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如表1(X表示未选中的号码)。中 奖等 级10 选 6+1（6+1/10）基 本 号 码 特别号码说 明一等奖abcdef g 选7中（6+1）二等奖abcdef 选7中（6）三等奖abcdeX Xbcdef 选7中（5）四等奖abcdXX XbcdeX XXcdef选7中（4）五等奖abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef 选7中（3）六等奖abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef 选7中（2）35 “乐透型”有多种形式，比如“33选7”的方案：先从0133个号码中一个个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码中摇出一个特别号码。投注者从0133个号码中任选7个组成一注(不可重复)，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序；又如“36选6+1”的方案，先从0136个号码球中一个个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从0136个号码中任选7个组成一注(不可重复)，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表2。中 奖等 级33 选 7（7/33）36 选 6+1（6+1/36）基 本 号 码 特别号码说 明基 本 号 码 特别号码说 明一等奖 选7中（7）选7中（6+1）二等奖 选7中（6+1）选7中（6）三等奖选7中（6）选7中（5+1）四等奖 选7中（5+1）选7中（5）五等奖选7中（5）选7中（4+1）六等奖 选7中（4+1）选7中（4）七等奖选7中（4）选7中（3+1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。36例例3.3.零件的参数设计(CUMCM97A).一件产品由若干零件组装而成一件产品由若干零件组装而成,标志产品性能的某个参标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数数取决于这些零件的参数.零件参数包括标定值和容差两部零件参数包括标定值和容差两部分分.进行成批生产时进行成批生产时,标定值表示一批零件的该参数的平均标定值表示一批零件的该参数的平均值值,容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围.若将零件若将零件参数视为随机变量参数视为随机变量,则标定值代表期望值则标定值代表期望值,在生产部门无特在生产部门无特殊要求时殊要求时,容差通常规定为均方差的容差通常规定为均方差的3倍倍.进行零件参数设计进行零件参数设计,就是要确定其标定值和容差就是要确定其标定值和容差.这时这时要考虑两方面因素要考虑两方面因素:一是当各零件组装成产品时一是当各零件组装成产品时,如果产品如果产品参数偏离预先设定的目标值参数偏离预先设定的目标值,就会造成质量损失就会造成质量损失,偏离越大偏离越大,损失越大损失越大;二是零件容差的大小决定了其制造成本二是零件容差的大小决定了其制造成本,容差设容差设计得越小计得越小,成本越高成本越高.37 下面是一个具体的零件参数的设计问题下面是一个具体的零件参数的设计问题.粒子分离器的某参数粒子分离器的某参数(记作记作 y)由由7个零件的参数个零件的参数(记作记作 x1,x2,x7)决定决定,经验公式为经验公式为 y 的目标值的目标值(记作记作y0)为为1.50.当当 y 偏离偏离 y00.1时时,产品为次品产品为次品,质量损失为质量损失为1,000(元元)；当；当 y 偏离偏离 y00.3时时,产品为废品产品为废品,损损失为失为9,000(元元).零件参数的标定值有一定的容许变化范围零件参数的标定值有一定的容许变化范围;容差分为容差分为 A,B,C三个等级三个等级,用与标定值的相对值表示用与标定值的相对值表示,A等为等为1%,B等为等为5%,C等为等为10%.7个零件参数标定值的容许范围个零件参数标定值的容许范围,及不同及不同容差等级零件的成本容差等级零件的成本(元元)如下表如下表(符号符号/表示无此等级的零表示无此等级的零件件):38 现进行成批生产现进行成批生产,每批产量每批产量1,000个个.在原设计中在原设计中,7,7个零件个零件参数的标定值为参数的标定值为x1=0.1,x2=0.3,x3=0.1,x4=0.1,x5=1.5,x6=16,x7=0.75；容差均取最便宜的等级；容差均取最便宜的等级.综合考虑偏离造成的损失和零件成本综合考虑偏离造成的损失和零件成本,重新设计零件参数重新设计零件参数(包括标定值和容差包括标定值和容差),),并与原设计比较并与原设计比较,总费用降低了多少总费用降低了多少.39基本假设基本假设1）设零件参数设零件参数 x1,x2,xn 为相互独立的随机变量；为相互独立的随机变量；2）零件参数的容差为均方差的零件参数的容差为均方差的3倍；倍；3）产品质量损失为偏差的连续、单增函数；产品质量损失为偏差的连续、单增函数；模型结果模型结果x0*=(0.075,0.375,0.125,0.1185,1.1616,19.96,0.5625)；t*=(0.05,0.05,0.05,0.10,0.10,0.05,0.05)；Qmin=473.7,cmin=275；总费用 Zmin=748.7(元)原设计 Z=6507(元)，节省：6507748.7=5758.3(元)40