《元回归分析》PPT课件

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1、 第九章 一元回归分析 主要内容9.0 回归分析的概念9.1 回归方程的建立9.2 回归方程的显著性检验 一、函数关系和相关关系9.0 回归分析的概念二、回归分析的概念 一、函数关系和相关关系在 现 实 问 题 中 ， 处 于 同 一 个 过 程 中 的 一 些 变 量 之 间 往往 是 存 在 着 一 定 的 关 系 ,这 些 关 系 大 致 可 分 为 两 种 ：（ 1） 确 定 性 关 系 函 数 关 系（ 2） 非 确 定 性 关 系 相 关 关 系 相 关 关 系 表 现 为 这 些 变 量 之 间 有 一 定 的 依 赖 关 系 ，但 这 种 关 系 并 不 完 全 确 定 ， 它

2、 们 之 间 的 关 系 不 能 精 确地 用 函 数 表 示 出 来 ， 这 些 变 量 其 实 是 随 机 变 量 或 其 中至 少 有 一 个 是 随 机 变 量 。能 够 应 用 常 规 数 学 的 函 数 加 以 表 示 相关关系举例 例 如 ： 在 气 候 、 土 壤 、 水 利 、 种 子 和 耕 作 技 术 等条 件 基 本 相 同 时 ， 某 农 作 物 的 亩 产 量 Y 与 施 肥 量 X 之间 有 一 定 的 关 系 ， 但 施 肥 量 相 同 ， 亩 产 量 却 不 一 定 相同 。 亩 产 量 是 一 个 随 机 变 量 。 又 如 ： 人 的 血 压 Y 与 年

3、龄 X 之 间 有 一 定 的 依 赖 关系 ， 一 般 来 说 ， 年 龄 越 大 ， 血 压 越 高 ， 但 年 龄 相 同 的两 个 人 的 血 压 不 一 定 相 等 。 血 压 是 一 个 随 机 变 量 。 农 作 物 的 亩 产 量 与 施 肥 量 、 血 压 与 年 龄 之 间 的 这种 关 系 称 为 相 关 关 系 ， 在 这 些 变 量 中 ， 施 肥 量 、 年 龄是 可 控 变 量 ， 亩 产 量 、 血 压 是 不 可 控 变 量 。 一 般 在 讨论 相 关 关 系 问 题 中 ， 可 控 变 量 称 为 自 变 量 ， 不 可 控 变量 称 为 因 变 量 。

4、函数关系与相关关系的区别 相 关 关 系 x影响Y的值，x Y函 数 关 系 决定的值 因 此 ， 统 计 学 上 讨 论 两 变 量 的 相 关 关 系 时 ， 是 设 法确 定 ： 在 给 定 自 变 量 的 条 件 下 ， 因 变 量 的条 件 数 学 期 望 xX Y( | )E Y x不能确定 二、回归分析的概念 研 究 一 个 随 机 变 量 与 一 个 （ 或 几 个 ） 可 控 变 量 之 间的 相 关 关 系 的 统 计 方 法 称 为 回 归 分 析 。( ) ( | )x E Y x 引 进 回 归 函 数 称 为 回 归 方 程 ( ) ( | )y x E Y x 回

5、 归 方 程 反 映 了 因 变 量 Y随 自 变 量 x的 变 化 而 变 化 的平 均 变 化 情 况 回归分析方法 非 确 定 性 情 况 涉 及 的 状 态 比 较 复 杂 ， 因 此 回 归分 析 方 法 也 有 多 种 ： 线 性 回 归 分 析 :变 量 中 自 变 量 与 因 变 量 成 简 单的 线 性 关 系 ， 但 随 着 影 响 变 量 数 目 不 同 又 分 为 ： 一 元 线 性 回 归 :它 是 描 述 一 个 自 变 量 与 一 个因 变 量 间 线 性 关 系 的 回 归 分 析 方 法 ， 又 称 单 回 归 。 多 元 线 性 回 归 :它 是 描 述 一

6、 个 因 变 量 与 多 个自 变 量 间 线 性 关 系 的 回 归 分 析 方 法 ， 又 称 复 回 归 。 非 线 性 回 归 分 析 :变 量 之 间 的 关 系 是 一 种 复 杂的 非 线 性 关 系 。 回 归 分 析 主 要 包 括 三 方 面 的 内 容 : （ 1） 提 供 建 立 有 相 关 关 系 的 变 量 之 间 的 数 学 关 系式 （ 称 为 经 验 公 式 ） 的 一 般 方 法 ； （ 2） 判 别 所 建 立 的 经 验 公 式 是 否 有 效 ， 并 从 影 响随 机 变 量 的 诸 变 量 中 判 别 哪 些 变 量 的 影 响 是 显 著 的 ，哪

7、 些 是 不 显 著 的 ； （ 3） 利 用 所 得 到 的 经 验 公 式 进 行 预 测 和 控 制 。 回归分析的内容 一、一元线性回归方程的概念9.1 一元线性回归方程的建立二、一元线性回归方程的建立 例 9-1 某 种 合 金 的 抗 拉 强 度 y(kg/mm2)与 其 中 的 含 碳 量x(%)有 关 ， 现 测 12对 数 据 如 下 表 所 示 ,试 求 出 y与 x的 关系 。 xy 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.20 0.21 0.2342.0 43.5 45.0 45.5 45.0 47.5 49.0 5

8、3.0 50.0 55.0 55.0 60.0一、一元线性回归方程的概念 以 含 碳 量 作 为 横 坐 标 X， 以 抗 拉 强 度 作 为 纵 坐 标 Y建 立 直 角 坐 标 系 ； 以 上 表 实 际 数 据 (xi, yi)为 坐 标作 数 据 点 ， 绘 制 出 数 据 散 点 图 ； 观 察 这 些 数 据 点大 致 形 成 什 么 样 的 图 形 。 可 以 认 为 上 述 散 点 图 中 各 点 基 本 上 呈 直 线 状 ， 即 认为 y与 x的 关 系 基 本 上 是 线 性 的 。0 1 , 1,2, ,i i iy x i n 其 中 ， 为 随 机 误 差 项 ，

9、且 相 互 独 立 ， 2 (0, )i N 20 1 , , 1,2, ,i iy N x i n 易 见 则 假 设 这 批 数 据 的 数 学 模 型 为 ：0 1( )E Y x 其 中 是 与 无 关 的 未 知 常 数 。210 、 ix0 1 12 ,( 0 0,1, , ) (0, )i i iiy x i nN ， 一 般 地 ， 称 如 下 数 学 模 型 为 一 元 线 性 模 型 ， 且 各 i相 互 独 立 若 分 别 是 的 点 估 计 ,一 元 线 性 回 归 分 析 解 决 的 基 本 问 题 依 据 样 本 (xi, yi), i=1,2,n， 一 元 线 性

10、 回 归 分 析 解决 如 下 基 本 问 题 ： (1)未 知 参 数 的 点 估 计20 1 、 、 0 1 、 0 1 、则 可 得 E(Y)的 估 计上 式 称 为 Y关 于 x的 一 元 线 性 回 归 方 程 0 1y x 一 元 线 性 回 归 方 程 对 应 的 直 线 称 为 回 归 直 线称 为 回 归 系 数 ,是 回 归 直 线 的 斜 率1 称 为 回 归 常 数 ,是 回 归 直 线 的 截 踞 0 一 元 线 性 回 归 分 析 解 决 的 基 本 问 题 依 据 样 本 (xi, yi), i=1,2,n， 一 元 线 性 回 归 分 析 解决 如 下 基 本

11、问 题 ： (1)未 知 参 数 的 点 估 计20 1 、 、 (2) 回 归 方 程 的 显 著 性 检 验 ， 在 实 际 问 题 中 ， Y与 x之间 是 否 存 在 线 性 关 系 是 要 经 过 检 验 的 。 (3) 利 用 回 归 方 程 进 行 预 测 和 控 制 。 回 归 方 程 的 建 立 由 观 测 值 确 定 的 回 归方 程 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , )n nx y x y x y 0 1y x 考 虑 函 数 220 1 0 11 1( , ) n ni i ii iQ y x 问 题 ： 确 定 ， 使 得 取 得 极 小 值 。 0 1,

12、 0 1( , )Q 0 1i i i iiy y y x 因 变 量 的 各 个 实 际 值 与 估 计 值 之 间 的 误 差 为 ： 要 使 得 回 归 方 程 与 实 际 情 况 拟 合 得 最 好 ， 就 必 须使 得 误 差 平 方 和 最 小 。 0 1( , )Q 20 1 0 11min ( , ) n i iiQ y x 令 0 110 2 ( 1) 0n i iiQ y x 0 1 11 2 ( ) 0n i i iiQ y x x 0 11 1( )n ni ii in x y 20 11 1 1( ) ( )n n ni i i ii i ix x x y 正 规 方

13、 程 组 0 1y x 1 1 11 2 21 111( )n n ni i i ii i in ni ii ix y x ynx xn 11 n iix xn 最 小 二 乘 法 11 n iiy yn 0 1y x 11 221n i ii n ii x y nxyx nx 11 n iix xn 2 2 21 1( )n nxx i ii iL x x x nx 1( )( )nxy i iiL x x y y 0 1y x 1 xyxxLL 11 n iiy yn 1n i ii x y nxy 0 1y x 11 221n i ii n ii x y nxyx nx 称 为 0 1,

14、 0 1 、 最 小 二 乘 估 计 ， 具 有 如 下 性 质 ： 0 10 1( ) , ( )E E 2 2 20 11 1( ) ( ) , ( )xx xxxD Dn L L 2 20 0 1 ( ,( ) )xxxN n L 21 1 1 ( , )xxN L 因 此 编 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9脂 肪 含量 % 15.4 17.5 18.9 20.0 21.0 22.8 15.8 17.8 19.1蛋 白 质含 量 % 44.0 39.2 41.8 38.9 37.4 38.1 44.6 40.7 39.8试 求 出 与 的 关 系 。 xy例 为 了 研 究 大

15、豆 脂 肪 含 量 和 蛋 白 质 含 量 的 关 系 ，测 定 了 九 种 大 豆 品 种 籽 粒 内 的 脂 肪 含 量 和 蛋 白 质 含 量 ，得 到 如 下 数 据 x y 解 0 1y x 编 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 15.4 17.5 18.9 20.0 21.0 22.8 15.8 17.8 19.1 168.3y 44.0 39.2 41.8 38.9 37.4 38.1 44.6 40.7 39.8 364.5x 2 237.16 306.25 357.21 400 441 519.84 249.64 316.84 364.81 3192.75xy 67

16、7.6 686 790.02 778 785.4 868.68 704.68 724.46 760.18 6775.02 设 变 量 与 为 线 性 相 关 关 系 ： xy 168.3 364.518.7; 40.59 9x y 6775.02 9 18.7 40.5 41.13xy i iL xy nxy 2 2 23192.75 9 18.7 45.54xx iL x nx 1 / 0.9032xy xxL L 0 1 57.3891y x 所 以 ， 所 求 的 回 归 方 程 为 0.9032 57.3891y x 168.3; 364.5i ix y 6775.02i ixy 2

17、3192.75ix 例 9-1 某 种 合 金 的 抗 拉 强 度 y(kg/mm2)与 其 中 的 含 碳 量 x(%)有 关 ， 现 测 12对 数 据 如 下 表 所 示 ,试 求 出 y与 x的 关 系 。 xy 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.20 0.21 0.2342.0 43.5 45.0 45.5 45.0 47.5 49.0 53.0 50.0 55.0 55.0 60.0见 书 P187-188 例 某 企 业 欲 根 据 其 产 品 前 6个 月 的 售 价 x(单 位 ： 万 元 )和 销 售 量 y(单

18、位 ： 吨 )用 一 元 线 性 回 归 分 析 法 预 测 第 7个 月 的 销 售 量 。 现 通 过 对 前 6个 月 的 资 料 整 理 ， 得xi=27， yi=71， 回 归 方 程 斜 率 -2.03。 若 预 计 第 7个月 售 价 为 6.5万 元 ， 试 预 测 第 7个 月 销 售 量 (保 留 两 位 小数 )。解 : 0 1y x 由 于因 此 回 归 方 程 为 y = 20. 97 2.03x 则 第 7个 月 销 售 量 预 测 为 20.97-2.036.5 = 7.775 10 i iy xn 因 此 71 2.03 27 20.976 练 习 设 某 商

19、店 有 一 统 计 数 据 ， 共 统 计 了 近 6个 月 某商 品 的 进 价 和 售 价 数 据 ， 如 下 表 所 示 ：月 份 1 2 3 4 5 6进 价 3元 5元 2元 8元 9元 12元售 价 4元 6元 3元 9元 12元 14元 假 设 第 7个 月 预 计 进 价 为 10元 ， 试 采 用 一 元 线 性 回归 分 析 法 预 测 第 7个 月 的 售 价 。 月 份 1 2 3 4 5 6进 价 xi 3元 5元 2元 8元 9元 12元售 价 yi 4元 6元 3元 9元 12元 14元月 份 1 2 3 4 5 6 合 计进 价 xi 3元 5元 2元 8元 9

20、元 12元售 价 yi 4元 6元 3元 9元 12元 14元x i yixi2 月 份 1 2 3 4 5 6进 价 xi 3元 5元 2元 8元 9元 12元售 价 yi 4元 6元 3元 9元 12元 14元月 份 1 2 3 4 5 6 合 计进 价 xi 3元 5元 2元 8元 9元 12元 39售 价 yi 4元 6元 3元 9元 12元 14元 48xi yi 12 30 6 72 108 168 396x i2 9 25 4 64 81 144 327 月 份 1 2 3 4 5 6 合 计进 价 xi 3元 5元 2元 8元 9元 12元 39售 价 yi 4元 6元 3元

21、9元 12元 14元 48xi yi 12 30 6 72 108 168 396xi2 9 25 4 64 81 144 327所 以 回 归 方 程 为 y = 0.571 + 1.143x 由 于 第 7个 月 的 预 计 进 价 为 10元 ，所 以 该 月 的 预 测 售 价 为 ： 0.571 + 1.14310=12.001元 7y 0 1y x 11 221n i ii n ii x y nxyx nx 0 10.571, 1.143 一、F检验法9.2 一元线性回归方程的显著性检验二、t检验法 对 于 任 何 一 组 数 据 ， 都 可 按 最小 二 乘 法 确 定 一 个

22、线 性 函 数 ， 但 变 量 与 之 间 是 否 真有 近 似 于 线 性 函 数 的 相 关 关 系 呢 ？ 尚 需 进 行 假 设 检 验 。( , ) ( 1,2, , )i ix y i n xy假 设 0 1 1 1: 0, : 0,H H xy如 果 成 立 ， 则 不 能 认 为 与 有 线 性 相 关 关 系 。0H两 种 检 验 方 法 ： F检 验 法 、 t检 验 法 。 21 ( )nT i yyiS y y L 一 、 回 归 方 程 有 效 性 的 F检 验 法 记 总 偏 差 平 方 和 ， 反 映 观 测 值 与 平 均 值 的 偏 差 程 度 。经 恒 等

23、变 形 ， 将 分 解 TS 11 2 221( ) ( ) ( )nT i i ii n i i n iiiS y y yy yS yy yS 剩 回 22 1 11 ( )n i xx xyiS y y L L 回 2 11 ( )n i i yy xyiS y y L L 剩 回 归 平 方 和 ， 反 映 回 归 值 与 平 均 值 的 偏 差 ， 揭 示变 量 与 的 线 性 关 系 所 引 起 的 数 据 波 动 。y x 剩 余 平 方 和 ， 反 映 观 测 值 与 回 归 值 的 偏 差 ， 揭 示试 验 误 差 和 非 线 性 关 系 对 试 验 结 果 所 引 起 的 数

24、 据 波 动 。 如 果 为 真 ， 则 0 1: 0H 22 1TS n 22 1S 回 22 2S n 剩于 是 ， 统 计 量 1, 2( 2)SF F nS n 回 剩对 给 定 的 检 验 水 平 ，（ 1） 当 时 ， 拒 绝 ， 即 可 认 为 与 有 线 性 相 关 关 系 ， 此 时 称 回 归 方 程 是 显 著 的 ；(1, 2)F F n 0H xy（ 2） 当 时 ， 接 受 ， 即 可 认 为 与 没 有 线 性 相 关 关 系 ， 此 时 称 回 归 方 程 不 显 著 ；(1, 2)F F n 0H y x且 S回 与 S剩 相 互 独 立 例 9-2 见 书

25、P190 二 、 回 归 方 程 有 效 性 的 t检 验 法 统 计 量 1 1 ( 2)( 2) xxT t nS n L 剩H 0成 立 时 ， 1 ( 2)( 2) xxT t nS n L 剩对 给 定 的 检 验 水 平 ， H 0的 拒 绝 域 为 2( 2)T t n 即 当 时 ， 变 量 与 有 线 性 相 关 关 系 。 2( 2)T t n y x假 设 0 1 1 1: 0, : 0H H 回 归 方 程 是 显 著 的例 9-3 见 书 P191 例 某 市 市 区 的 社 会 商 品 零 售 总 额 y和 当 地 的 居 民 可 支配 收 入 总 额 x之 间 的 年 统 计 数 据 （ 单 位 ： 亿 万 ） 为( , ), 1, 2, ,10i ix y i 经 计 算 得101 417.2,ii x 101 932.3,ii y 10 21 19842.2,ii x 10 21 1.6266.01,ii y 101 45716.22.i ii x y 试 求 y对 x的 线 性 回 归 方 程 并 检 验 线 性 回 归 方 程 的 显 著性 。 ( 0.05)