初等代数大纲

阿克苏职业技术学院 初等代数》课程教学大纲 专 业 初等教育 学 制 适用层次 所属系部 基础部 修订人： 艾海提 教研室审核人： 系部领导审核人： 修订时间： 《初等代数》课程教学大纲 一、课程的性质、任务 （一）课程的性质 初等代数是初等教育专业高职学生的专业必修课。 （二）课程的任务 初等代数研究是高职院校初等教育专业的一门必修专业课。从内容上讲，这门学科既 包含传统的代数，又包含数学分析、近世代数、概率统计等数学分支，是一门综合性的学科。 它是在学生掌握了一定高等数学理论知识的基础上，根据中学数学教学工作的实际需要而开 设的。它的任务是运用现代数学和高等数学的观点对初等代数的理论体系和解题方法进行剖 析、整理和研究，对学生已有的中学代数知识和技能起着复习巩固、查缺补漏、和进一步充 实提高的作用。 二、教学目的、要求 通过本课程的教学，使学生对中学数学教学所必需的初等代数的基础知识和理论体系 有较深刻的理解、较系统的掌握，能够运用现代数学观点审视中学代数问题，能够从高等数 学的背景解释中学代数问题，具有熟练的分析和解决中学数学问题的基本能力，为毕业后从 事中学数学教学打下必要的基础。 三、教学时数分配 序号 课程内容 理论教学 课内实践教学 课 时 小 计 备 注 课时 数 教学方 式手段 课时 数 教学方式 手段 1 自然数 4 讲授为主 0 4 2 整数 0 自学为主 0 3 有理数 0 自学为主 0 4 实数 0 自学为主 0 5 复数 0 自学为主 0 6 多项式 4 讲授为主 0 4 7 分式与根式 4 讲授为主 0 4 8 指数式与对数式 4 讲授为主 0 4 9 三角式与反三角式 8 讲授为主 0 8 10 初等函数 16 讲授为主 0 16 11 方程 6 讲授为主 0 6 12 不等式 12 讲授为主 0 12 13 排列与组合 6 讲授为主 0 6 14 数列 8 讲授为主 0 8 合计 72 72 四、课程内容 第一章自然数（4课时） 1、 教学内容 自然数的基数理论，自然数的序数理论，数学归纳法。 2、 教学目的及要求 掌握自然数的性质，了解基数理论下自然数性质的证明；掌握自然数的性质，了解序数 理论下自然数性质的证明；了解数学归纳法的证明，掌握数学归纳法的实质和运用技巧，理 解各种形式数学归纳法间的联系。 第二章整数（自学） 1、 教学内容 整数环，带余除法，最大公因数与最小公倍数，素数与合数，同余，欧拉函数。 2、 教学目的及要求 掌握整数的性质，了解序偶理论下性质的证明；掌握带余除法的应用并能够灵活运用带 余除法解决相关问题；了解最大公因数与最小公倍数性质的证明，掌握最大公因数与最小公 倍数的性质，能够灵活运用性质解决相关问题；灵活运用素数的性质解决相关问题；了解同 余性质的证明，灵活运用同余的性质解决相关问题；了解欧拉函数的性质和运用。 第三章 有理数（自学） 1、 教学内容 有理数域，十进循环小数。 2、 教学目的及要求 了解性质的证明，掌握有理数域的性质；了解分数和循环小数的互化理论基础。 第四章实数（自学） 1、教学内容 实数集，实数集的基本性质，实数的四则运算，实数的开方，一些常见的无理数，[x] 及其应用。 2、教学目的及要求 了解无理数的存在性；了解性质的证明，掌握实数域的基本性质；了解性质的证明，掌 握实数域的基本性质；了解实数的可开方性；了解一些常见的无理数；了解性质的证明，掌 握［x］的性质，灵活运用性质解决相关问题。 第五章复数（自学） 1、 教学内容 复数域，复数的代数形式，复数的几何表示，复数的三角表示，复数的开方，复数模的 性质。 2、 教学目的及要求 了解性质的证明，掌握复数域的基本性质；了解从实数扩张到复数的合理性，灵活运用 根的性质、几何性质、三角性质解决相关问题。 第六章多项式（4学时） 1、 教学内容 多项式的一般概念，多项式的恒等变形，多项式的因式分解。 2、 教学目的及要求 掌握多项式的定义及相关定义，掌握零多项式、多项式相等的定理，掌握用待定系数法 求多项式，了解多元多项式定义及相关定理，了解有关多项式定理的证明；掌握常用的多项 式乘法公式并能够灵活应用它进行多项式的恒等变形;掌握一元多项式分解的条件和分解方 法，了解分解定理的证明。 第七章分式和根式（4学时） 1、 教学内容 有理分式，有理式的恒等变形，部分分式，实数域上的根式。 2、 教学目的及要求 掌握分式的定义和分式的基本性质，掌握既约分式的存在性与唯一性，了解延拓原理及 相关定理的证明；掌握分式的定义和分式的基本性质，掌握既约分式的存在性与唯一性，了 解延拓原理及相关定理的证明;掌握将分式化为部分分式的方法,了解部分分式的相关定理， 了解相关定理的证明；掌握根式的定义，并能灵活应用运算法则、运算公式进行化简、求值、 证明。 第八章指数式与对数式（4学时） 1、教学内容 指数式，对数式。 2、教学目的及要求 掌握指数的定义，掌握指数的性质并能灵活应用指数的性质进行化简、求值、证明，了 解指数性质的证明；掌握对数的定义，掌握对数的性质并能灵活应用对数的性质进行化简、 求值、证明，了解对数存在性证明。 第九章三角式与反三角式（8学时） 1、 教学内容 三角式的概念，三角式的恒等变形，反三角式的概念，反三角式的恒等变形，欧拉公式。 2、 教学目的及要求 掌握三角式的解析定义，了解三角式解析定义的合理性；掌握三角式恒等变形的典型方 法与技巧;掌握三角式恒等变形的典型方法与技巧;掌握三角式恒等变形的典型方法与技巧； 用指数式表示反三角式和用对数式表示反三角式在化简、求值、证明中应用。 第十章初等函数（16课时） 1、 教学内容 函数的概念，初等函数的分类，初等超越函数的超越性，研究函数的初等方法。 2、 教学目的及要求 了解函数概念的发展过程，掌握中学函数定义的背景，掌握反函数的存在条件，掌握复 合函数的条件和性质；掌握初等函数的定义及分类，了解初等函数公理化定义与证明；了解 初等函数的超越性及超越性的证明；掌握初等函数定义域值域的求法，函数极值、最值的求 法；能判断函数的单调性、奇偶性、周期性、连续性，并能证明；能利用函数的性质和关系 作函数图象。 第十一章方程（6课时） 1、 教学内容 方程的基本概念，一元方程的同解性，一元代数方程（特殊类型）的解法，初等超越方 程的解法举例，方程组的概念，特殊类型的方程组的解法举例。 2、 教学目的及要求 掌握方程的概念，了解方程的分类；掌握方程的同解原理，并能对方程进行同解变形求 解；能灵活运用三种变换求方程的解，能够用公式求解一元三次方程，能够对四类倒数方程 求解，了解二项方程和含参数方程的解法；掌握指数方程、对数方程、三角方程、幕函数方 程、反三角方程的一般求解方法；掌握方程的概念，了解方程组的同解原理，能利用消元法 求解方程组；善于依据方程组的特点选择恰当的方法将多元方程转化为一元方程求解。 第十二章 不等式（12课时） 1、 教学内容 不等式及其基本性质，解不等式，证明不等式，几个重要的不等式，凸函数定理。 2、 教学目的及要求 理解并能正确运用不等式；掌握不等式的常规方法，能运用非常规方法求解不等式；掌 握证明不等式的主要方法（作差法、比较法、综合法、分析法、反证法、函数法、不等式法、 数学归纳法等）；了解三个不等式的证明，能够灵活应用三个不等式求最值和证明不等式； 掌握利用凸函数定理和琴生不等式证明不等式的方法；掌握排序不等式证明不等式的方法。 第十三章排列与组合（6课时） 1、 教学内容 相异元素不许重复的排列与组合，相异元素允许重复的排列与组合，不尽相异元素的排 列与组合。 2、 教学目的及要求 掌握排列数公式，善于灵活运用图示法、分类法、特殊元素法、矩阵法、圆排列法解决 排列问题；掌握组合数公式，善于灵活运用组合数公式计算和解决问题；掌握相异元素允许 重复的排列与组合问题解决的一般方法；掌握不尽相异元素排列与组合问题解决的一般方 法。 第十四章数列（8课时） 1、 教学内容 序列及其分类，等差数列与等比数列，数列的差分，线形递归数列，其它递归数列，数 列的母函数。 2、 教学目的及要求 理解数列与集合的关系，掌握求数列通项的一般方法，能通过数列的通项探讨数列的性 质;会求等差数列与等比数列通项，理解并熟练运用等差数列与等比数列性质解决相关问题； 理解差分的概念，掌握m阶等差数列通项与求和公式的定理并能够熟练运用，了解定理的 证明；理解线形递归数列的定义，了解线形递归数列通项的证明，能够熟练运用特征方程求 线形递归数列通项；掌握常见的转化方法（构造和式、差式、商式、积式）解决相关问题； 理解母函数的概念，了解母函数的相关定理，掌握用母函数法求数列通项与前n项和的方法。 三、课程教学环节 在本课程的教学中，应注意以下几点：在形式上应主要以课堂讲解为主；在内容上一方 面要注意通过专题讲解的形式让学生的知识结构形成系统，另一方面从提高学生能力和节约 课时角度出发，对某些章节可依据学生的实际情况，实施自主学习；在教学互动上，要注意 调动学生的学习热情，一方面，某些简单的章节可由学生进行讲解，教师总体把握；另一方 面在教学中还要注意突出学生的思路，重视学生参与；同时还要注意不要将内容难度拔高， 应紧贴中学数学教材，注意解决中学教材中容易理解错误的内容，引导学生从理解知识内涵 角度构思相关内容的教学，使本课程向教学法方面延伸；在教学手段上，本课程不宜过多采 用计算机辅助教学，也不宜勉强的采用实验教学；在检测形式上，由于本课程的主要目的是 完善知识结构，因此应以笔试为主。教师不宜布置过多作业（原则上每次作业不得超过4 个题）。在期末时可组织一次初等代数方面的论文阅读和撰写活动，以引起学生对初等代数 理论探讨和解题研究的兴趣和重视，并获得初步的能力。可参考以下形式：（1）教师做一次 讲座，介绍国内外初等代数研究的状况和一般研究方法，介绍初等代数研究论文的撰写方法 和步骤。（2）组织学生阅读中学数学杂志上有关初等代数方面的论文，并进行讨论。（3）让 学生经历一次提出问题、查阅资料、探索研究、解决问题的过程，尝试写作一篇初等代数方 面的论文。（4）让学生依据自己对初等代数内容的新认识，设计一篇较为合理的教案。 五、本课程与其他课程的关系 初等代数研究是数学教育系列课程之一。中学阶段的初等代数课程是学习高等数学各门 课程的基础，而对于数学专业的学生而言，学好高等数学是为了以后更好的理解初等数学。 本课程用高等数学理论指导初等代数的复习与研究，以加深学生对中学代数的理解掌握，提 高分析处理中学数学教材的能力和解决中学数学问题的能力。 从本质上将，本课程和中学数学教材教法、竞赛数学教程、初等几何研究、中学数学解 题研究都属于教学法系列，都是为了提高学生的教学能力，但它们又各有所侧重。中学数学 教材教法主要学习数学教育理论、教材分析、教学设计、教学评价，直接为试讲试教和实习 服务，侧重于教育理论和教育教学技能的学习。初等代数研究和初等几何研究主要是通过提 高学生的知识水平，完善知识结构来提高学生的教学水平。竞赛数学教程和中学数学解题研 究的主要研究内容也是初等数学系列，但它主要是通过提高学生的解题能力和思维水平来提 高学生的教育教学技能。 六、 考核方式与要求 本着对知识、能力和素质全面考核的原则，针对本课程的教学目的和要求，提出相应 的考核方法如下： 考核方式：采取笔试、闭卷的方式，按百分制加以评定。 考核要求： 1、 实行教考分离，建立十套完整的试题库，根据每届学生的实际水平，在试题库里选 题。 2、 根据职业教育的数学课程要遵循“教学以必需、够用为度、讲清概念、强化应用” 的原则，精选考试内容，要求基本达到职业教育对数学教学内容的要求，要避免不必要的重 复和不切实际的拔高。 3、 适当降低理论要求，重视应用。 4、 为了较全面地考察学生的基础知识,出题的覆盖面应尽可能大。 5、 难易程度要有一定的跨度。 6、 答案要具有唯一性。 7、 注重试题的有效性，应能保证水平相近的学生进入同一分数段。 七、 成绩评定办法 成绩评定要求：平时成绩（作业、测试、提问、课内实验等）占30％，期末成绩占 70％。 八、 教材及参考书 教材：初等代数研究（上下册），余元希等编，高等教育出版社出版，1988。 教学参考书：（包括上述所列） [1] 中学数学教材教法，第二分册，赵振威主编，华东师范大学出版社出版，1990。 [2] 十年高考试题全解，薛金星主编，北京教育出版社出版，2004。 [3] 竞赛数学专题研究，翁凯庆主编，四川教育出版社出版，2001。 [4] 中学数学教与学、数学通报、数学通讯、中学数学教学参考等各种数学杂志。 出版时间： 20057.4 九、 说明 1、本教材的教学内容较多，在大纲制定的教学时间内讲不完，所以有些内容在实际教学中 不讲。 2、本教材内的有些比较复杂和理论性强的内容，在实际教学中不讲（定理的证明，定积分 的实际背景，定积分应用的微元法等）。