高阶线性常系数非齐次

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1、7.8小结:0y p y q y ,02 qrpr解:特征方程: xrxr eCeCy 21 21 21 rr 实根 221 prr xrexCCy 1)( 21 ir , 21 )sincos( 21 xCxCey x 特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .通解.求特征根:反之,若知道一个二阶方程有通解或有特解:则特征方程的根为: 若特征方程含 k 重复根, ir 若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项xrkk exCxCC )( 121 xxCxCCe kkx cos)( 121sin)( 121 xxDxDD kk 则其通解中必含对应项)(01)1(1

2、)(均为常数knnnn ayayayay 特征方程: 0111 nnnn ararar推广:将不同根对应的项加在一起得原方程通解(系数要区分开). 7.9 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 型)()( xPexf mx xxPexf lx cos)()( 型sin)( xxPn 一、二、 第七章 )(xfyqypy ),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为Yy *y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 , *y给出特解的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法 )( xQe x )()2(

3、 xQp )()( 2 xQqp )(xPe mx 一、 型)()( xPexf mx 为实数 , )(xPm设特解为,)(* xQey x其中 为待定多项式 , )(xQ)()(* xQxQey x )()(2)(* 2 xQxQxQey x 代入原方程 , 得 )(xQ(1) 若 不是特征方程的根, ,02 qp即则取),(xQm从而得到特解形式为.)(* xQey mx )()2( xQp )()( 2 xQqp )(xPm为 m 次多项式 .Q (x) 为 m 次待定系数多项式 (2) 若 是特征方程的单根 , ,02 qp ,02 p)(xQ则为m 次多项式,故特解形式为xm exQ

4、xy )(*(3) 若 是特征方程的重根 , ,02 qp ,02 p)(xQ则是 m 次多项式,故特解形式为xm exQxy )(* 2小结对方程, )2,1,0()(* kexQxy xmk 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .)(xQ )()2( xQp )(xPm)()( 2 xQqp 即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解( ) ( )x mf x e P x 例1. 1332 xyyy求方程的一个特解.解: 本题而特征方程为,0322 rr不是特征方程的根 .设所求特解为,* 10 bxby 代入方程 :13233 010 xbbxb比较系数, 得 33 0 b 132

5、10 bb 31,1 10 bb于是所求特解为.31* xy0 ,0 例2. xexyyy 265 求方程的通解. 解: 本题特征方程为,0652 rr其根为对应齐次方程的通解为xx eCeCY 3221 设非齐次方程特解为xebxbxy 210 )(* 比较系数, 得 12 0 b 02 10 bb 1,21 10 bb因此特解为.)1(* 221 xexxy 3,2 21 rr代入方程得xbbxb 010 22所求通解为xx eCeCy 3221 .)( 2221 xexx ,2 例3. 求解定解问题 0)0()0()0( 123 yyy yyy解: 本题特征方程为,023 23 rrr其

6、根为设非齐次方程特解为,* xby 代入方程得,12 b故,* 21 xy 0321 CCC 2132 2 CC 2,1,0 321 rrr故对应齐次方程通解为1CY xeC 2 xeC 23 原方程通解为x211Cy xeC 2 xeC 23 由初始条件得04 32 CC,0 2 12 3 22x xy C e C e 22 34x xy C e C e 于是所求解为xeey xx 214143 2 解得)423(41 2xx eex 41 1 43321CCC xxPxxPe nlx sin)(cos)( 对非齐次方程yqypy ),(为常数qp xRxRexy mmxk sincos*

7、则可设特解:其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), i lnm ,max上述结论也可推广到高阶方程的情形.二、 型xxPxxPexf nlx sin)(cos)()( 例4. xxyy 2cos求方程的一个特解 .解: 本题 特征方程,2,0 故设特解为( ) ( )* cos2 sin2y xax b cx d x不是特征方程的根,ii 2 代入方程得xxxadxcxcbxa 2cos2sin)433(2cos)433( 012 r ,)( xxPl ,0)( xPn比较系数 , 得9431 , da .2sin2cos* 9431 xxxy 于是求得一个特解13 a 043

8、 cb3 0c 3 4 0d a 0cb 例5. xxyy 3sin303cos189 求方程的通解. 解: 特征方程为,092 r其根为对应齐次方程的通解为xCxCY 3sin3cos 21 )3sin3cos(* xbxaxy 比较系数, 得,5a ,3b因此特解为)3sin33cos5(* xxxy ir 32,1 代入方程: xaxb 3sin63cos6 所求通解为xCxCy 3sin3cos 21 为特征方程的单根 ,i3 )3sin33cos5( xxx xx 3sin303cos18 因此设非齐次方程特解为 例6. xyyy sin2)1( )4( 解: (1) 特征方程,01

9、2 24 rr ,0)1( 22 r即有二重根,ir 所以设非齐次方程特解为2* (y x )sincos xbxa (2) 特征方程,024 rr 0)1( 22 rr即有根irr 4,32,1 ,0 xexyy x sin3)2( )4( 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为2* ( )y x ax b xec )sincos( xkxdx 求下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式: 内容小结xm exPyqypy )(.1 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,xmk exQxy )(*则设特解为sin)(cos)(.2 xxPxxPeyqypy nlx 为特征方程的 k (0,

10、 1 )重根, i xkexy *则设特解为sin)(cos)( xxRxxR mm nlm ,max3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形. 思考与练习时可设特解为 xxxf cos)()1 当xexxxf 22cos)()2 当xy * xbxa cos)( *y xdxcxbxa 2sin)(2cos)( xek 2)(xfyy 时可设特解为 xxPxxPexf nlx sin)(cos)()( xkexy * lnm ,max提示: xdcx sin)( 1 . (填空) 设sin)(cos)( xxRxxR mm 2. 求微分方程xeyyy 44的通解 (其中为实数 ) .解: 特征

11、方程,0442 rr特征根: 221 rr对应齐次方程通解: xexCCY 221 )( 2时, ,xeAy 令代入原方程得,2)2( 1 A故原方程通解为xexCCy 221 )( xe 2)2( 12时, ,2 xexBy 令代入原方程得,21B故原方程通解为xexCCy 221 )( xex 221 3. 已知二阶常微分方程xecybyay 有特解,)1( 2xx exey 求微分方程的通解 .解: 将特解代入方程得恒等式xxxx ecexbaeaeba )1()2()1(比较系数得01 ba ca 2 01 ba 0a 1b 2c故原方程为xeyy 2对应齐次方程通解: xx eCeC

12、Y 21 xx exey 原方程通解为xx eCeCy 21 xex此题若为填空题上述做法是不可取的! 4. 12 xy y y ex 的通解.解:对应齐次方程为2 0y y y 通解: 1 ( ) ,xy a bx e 令( ) ,xy C x e代入非齐次方程后化简得1C x可求得通解: 1 2( ) lnC x C C x x x 故原方程通解为 (二阶常系数非齐次方程)求1 2 lnx x xy C e C xe xe x | | | | 作业P347 1 (1) , (5) , (6) , (10) ; 2 (2) , (4) ; * 7.10 欧 拉 方 程 欧拉方程 )(1)1(

13、11)( xfypyxpyxpyx nnnnnn )(为常数kp ,tex 令常系数线性微分方程xt ln即 第七章 欧拉方程的算子解法: )(1)1(11)( xfypyxpyxpyx nnnnnn ,tex 令则xydd xtty dddd tyx dd122dd xy d d( )d d tt x tyt yx dddd1 222 计算繁! tyyx dd tyt yyx dddd 222 ,ln xt 则( 0, )tx x e 1 ddyx t ,ddtD 记则由上述计算可知: yDyx yDyDyx 22 ,),3,2(dd ktD kkk yDD )1( 用归纳法可证 ykDDD

14、yx kk )1()1()( 于是欧拉方程 )(1)1(11)( xfypyxpyxpyx nnnnnn 转化为常系数线性方程:( 1) ( 1)D D D n y 1 ( 1) ( 2)p D D D n y ( ) 1 ( 1)1 1 ( )n n n n n nx y p x y p xy p y f x +1 ( )tn np Dy p y f e 例1. .ln2ln22 22的通解求方程xxyyxyx 解: ,tex 令,ln xt 则,ddtD 记则原方程化为ttyyDyDD 222)1( 2 亦即ttytyt y 22dd3dd 222 其根,2,1 21 rr则对应的齐次方程

15、的通解为特征方程,0232 rr ttyDD 2)23( 22 即 tt eCeCY 221 的通解为41ln21ln21 2221 xxxCxCy 412121 2221 tteCeCy tt换回原变量, 得原方程通解为设特解: CtBtAy 2代入确定系数, 得412121 2 tty 例2. .22的通解求方程xxyxyy 解: 将方程化为xyyxyx 22 (欧拉方程) ,ddtD 记则方程化为,tex 令teyDDD 2)1)1( 即teyDD 2)12( 2 特征根: ,121 rr设特解: ,2 tetAy 代入 解得 A = 1,tt etetCCy 221 )( xxxxCC 221 ln)ln( 所求通解为 例3.解: ,ddtD 记则方程化为,tex 令 ( 1) 4 2) 0D D D y 即2( 3 2) 0D D y 特征根: 1 21, 2,r r 21 2t ty C e C e 所求通解为 2 4 2 0 x y xy y (04考研,填空)的通解( )1 22C Cx x 3 2 0y y y