高等数学微积分第九章

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1、 第 九 章 复 习 小 结1. ( , , ), W LF P Q R Pdx Qdy Rdz 第 二 型 曲 线 积 分 的 物 理 意 义2. 设 为 空 间 曲 线 ， 利 用 曲 线 的 参 数 方 程 化 为 定 积 分 来计 算 曲 线 积 分 。3. L L Pdx Qdy设 为 平 面 曲 线 ， 曲 线 积 分 的 计 算 ：(1) 利 用 曲 线 的 参 数 方 程 化 为 定 积 分 。 ( )(3) L ( ) 在 单 连 通区 域 内对 非 闭 曲 线 ， 利 用 曲 线 积 分 与 路 径 无 关化 为 其 它 曲 线 常 用 折 线 ， 或 补 曲 线 化 为

2、闭曲 线 。(2) L (G reen)对 闭 曲 线 ， 利 用 格 林 公 式 化 为 二 重 积 分 。 4. ( ) C f z dz复 积 分 的 计 算 ：(1) C Cauchy Cauchy ( n Cauchy )对 闭 曲 线 ， 利 用 定 理 ， 公 式包 括 阶 公 式 计 算 。(2) C ()对 非 闭 曲 线 ， 利 用 积 分 与 路 径 无 关化 为 其 它 在 单 连通 区 域 内 曲 线 来 计 算 。5. ( ) ( ) C-R ( ) ( ) ( )u x y v x yf z u x y iv x y 已 知 ， 或 ， ， 利 用 条 件 ， 求

3、 解 析函 数 ， ， 。 231 (0, 1) 1 (1,0)(0,1) | |CC M x y EN I y dx y dy 例 设 为 由 沿 曲 线 经 到 点的 一 段 弧 ， 计 算 。22 2(1 2 ) , (1,0)( 1,0) 2 1LI xy dx x dy L AB x y 例 2计 算 其 中 为 从 到的 上 半 椭 圆 。1 321 | | 01y yI y dyy 解 2 ,Q P xx y xoy 解 由 于 则 在 面 上曲 线 积 分 与 路 径 无 关 ，12 1(1 2 ) 2.ABI xy dx x dy dx 2 2 2 21, 4 ,3 1 2a

4、rctan arctan .LL x y x y y xy x y xI dx dyx x y y 例 3设 为 圆 周 与 直 线在 第 一 象 限 内 所 围 区 域 的 边 界 的 正 向 ， 计 算2 21 D DQ PI dxdy dxdyx y x y 解 由 格 林 公 式 得 ：23 214 1 ln212d d 23 2 2 2 (2 - cos ) (1-2 sin 3 ) 2 (0, 0) ( 1) 2 PF xy y x i y x x y jx y OA F 例 4 设 质 点 在 力的 作 用 下 ， 沿 抛 物 线 从 点 运 动 到点 ， ， 求 力 所 做 的

5、 功 。 3 2 2 2(2 - cos ) (1-2 sin 3 )LW xy y x dx y x x y dy 解 26 2 cos ,Q P xy y oyxx y x 由 于 则 曲 线 积 分与 在 上路 径 无 关 ， 面24W 2 (2 , 0) 2(0, 0) , ( sin ( ) ( cos )L x xL A a y ax xO a bI e y b x y dx e y ax dy 例 5 设 为 从 点 沿 曲 线 到 点的 弧 ， 为 常 数 ， 求 。2,( ) ( ) 2OA DQ P b ax y aI b a dxdy b a 解 由 于 则2 2( )

6、22aI b a ba 2 -sin (0, 0) (2 ,0)1-cossinC x t tC O Ay tI z z dz 例 6 设 为 摆 线 从 到 ，计 算 。 2( ) sinf z z z解 由 于 处 处 解 析 ， 曲 线 积 分 在 复 平 面 上与 路 径 无 关 ，20 22 1sin (1 cos(4 )2I z z dz sin2 | | 2( cos )(1 )C z zC z eI e z dzz z 例 7 设 为 的 正 向 ， 计 算 。2I i答 案 2 2 ( , ) ( , ) ( )( 4 ), ( ) ( ) ( )u x y v x y x

7、y x xy yf z u x y iv x y 例 8 已 知 求解 析 函 数 ， ， 。3 2 2 33 3 , ,u v x x y xy y x y 解 两 边 对 求 偏 导 得 ：2 22 23 6 33 6 3x xy yu v x xy yu v x xy y 2 22 23 6 33 6 3x yx yC Ru u x xy yu u x xy y 由 方 程 得 2 23 3 , 6x yu x y u xy 解 得 3 2 2 33 , 3u x xy c v x y y c 3( ) (1 )f z z c i 练 习 题2 2C 2 22 2( ) ( )2 , (

8、 , 0) 1( 0) ( , 0)x y dx x y dy Cx yx yA a y B aa b 计 算 积 分 其 中 是 从 点经 上 半 椭 圆 到 点的 弧 段 。 2 22 221 ( 2) ( 4) 9 2 ( )x xCC x ye xex dy dxyy 设 为 圆 的 正 向 ， 计 算 积 分 3 ( ) ( ).CD DD C u x y v x y Du vv dxdy uvdy u dxdyx x 设 闭 区 域 的 边 界 为 ， ， ， ， 在 上 有一 阶 连 续 偏 导 数 ， 证 明 ： 35 | | 2 1( cos )4( 1)zCC z eI dzzz z 设 为 的 正 向 ， 计 算 积 分 。2 22 24 1-3 2 3LL x yydx xdyI x xy y 设 为 圆 的 正 向 ， 计 算 积 分 。 2z 2(Re )cosC z z dzz 。6 设 C为 正 向 ， 计 算 积 分I= ( 1,0)A 21y x (1,0)B 2 zCI zz e dz 。7 设 C为 从 沿 上 半 单 位 圆 到曲 线 ， 计 算 积 分 2 28 ( , ) sin( ) ( , ) ( , )xv x y e y x yf z u x y iv x y 证 明 ： 为 调 和 函 数 ， 并 求 解 析 函 数 。