矢量场与标量场以及计算方法

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1、标 量 场 和 矢 量 场标 量 场 的 梯 度矢 量 场 的 通 量 与 散 度矢 量 场 的 环 量 与 旋 度亥 姆 霍 兹 定 理电 磁 场 的 特 殊 形 式电 磁 场 与 电 磁 波Vector Analysis（ 矢 量 分 析 ） 1 标 量 场 和 矢 量 场 补 充 ： 01.矢 性 函 数 在 二 维 空 间 或 三 维 空 间 内 的 任 一 点 P， 它 是 一 个 既 存 在大 小 (或 称 为 模 )又 有 方 向 特 性 的 量 ， 故 称 为 实 数 矢 量 ， 一 般 用黑 体 A表 示 。 若 用 几 何 图 形 表 示 ， 它 是 从 该 点 出 发 画

2、 一 条 带 有 箭 头 的直 线 段 ， 直 线 段 的 长 度 表 示 矢 量 A的 模 ， 箭 头 的 指 向 表 示 该 矢量 A的 方 向 。 矢 量 一 旦 被 赋 予 物 理 单 位 ， 便 成 为 具 有 物 理 意 义 的 矢 量 ， 如 电 场 强 度 E、 磁 场 强 度 H、 速 度 v等 等 。 而 在 实 际 问 题 中 遇 到 的 更 多 的 是 模 和 方 向 或 两 者 之 一 会发 生 变 化 的 矢 量 ， 这 种 矢 量 我 们 称 为 变 矢 ， 如 沿 着 某 一 曲 线物 体 运 动 的 速 度 v等 。 )(tAA 若 某 一 矢 量 的 模 和

3、 方 向 都 保 持 不 变 ， 此 矢 量 称 为 常 矢 ，如 某 物 体 所 受 到 的 重 力 。 设 t是 一 数 性 变 量 ， A为 变 矢 ， 对 于 某 一 区 间 G a, b内 的 每 一 个 数 值 t, A都 有 一 个 确 定 的 矢 量 A (t)与 之 对 应 ， 则称 A为 数 性 变 量 t的 矢 性 函 数 。 记 为 而 G为 A的 定 义 域 。 矢 性 函 数 A(t)在 直 角 坐 标 系 中 的 三 个 坐标 分 量 都 是 变 量 t的 函 数 ， 分 别 为 Ax(t)、 Ay(t)、 Az(t)， 则 矢 性 函数 A (t)也 可 用 其

4、 坐 标 表 示 为 zzyyxx etAetAetAA )()()( 其 中 ex、 ey、 ez为 x轴 、 y轴 、 z轴 正 向 单 位 矢 量 。 终 点 一 般 称 为 矢 性 函 数 A(t)的 矢 端 曲 线 。 图 1-1 直 角 坐 标 系 中 一 点 的 投 影 P(X, Y, Z) z Z y x X Y O r a z a x a yxA zA yA Bcos A B 1） 标 量 积任 意 两 个 矢 量 A与 B的 标 量 积(Scalar Product)是 一 个 标 量 ， 它 等 于 两 个 矢 量 的 大 小 与 它们 夹 角 的 余 弦 之 乘 积 ，

5、 如 图1-2所 示 ， 记 为 图 1-2 标 量 积02. 矢 量 的 乘 积矢 量 的 乘 积 包 括 标 量 积 和 矢 量 积 。AB=AB cos 任 意 两 个 矢 量 A与 B的 矢 量 积 （ Vector Product） 是 一 个 矢 量 ， 矢 量 积 的 大 小 等 于两 个 矢 量 的 大 小 与 它 们 夹 角 的 正 弦 之 乘 积 ，其 方 向 垂 直 于 矢 量 A与 B组 成 的 平 面 ， 如 图1-3所 示 ， 记 为 矢 量 的 叉 积 不 服 从 交 换 律 ， 但 服 从 分 配 律A B= -B A 2） 矢 量 积 C=A B=enAB s

6、in en=eA eB （ 右 手 螺 旋 ） C B A a n a B a A O CAB B A (a) (b) 图 1 - 3 矢 量 积 的 图 示 及 右 手 螺 旋 (a) 矢 量 积 (b) 右 手 螺 旋 Ae ne Be 1. 标 量 场 和 矢 量 场 场 ： 如 果 在 某 一 空 间 区 域 内 的 每 一 点 ， 都 对 应 着 某 个 物 理 量的 一 个 确 定 的 值 ， 则 称 在 此 区 域 内 确 定 了 该 物 理 量 的 一 个 场 。换 句 话 说 ， 在 某 一 空 间 区 域 中 ， 物 理 量 的 无 穷 集 合 表 示一 种 场 。 如 在

7、 教 室 中 温 度 的 分 布 确 定 了 一 个 温 度 场 ， 在 空 间 电位 的 分 布 确 定 了 一 个 电 位 场 。 （ 物 理 量 的 值 可 相 等 ）场 的 一 个 重 要 的 属 性 是 它 占 有 一 定 空 间 ， 而 且 在 该 空 间域 内 ， 除 有 限 个 点 和 表 面 外 ， 其 物 理 量 应 是 处 处 连 续的 。 若 该 物 理 量 与 时 间 无 关 ， 则 该 场 称 为 静 态 场 ； 若 该 物 理量 与 时 间 有 关 ， 则 该 场 称 为 动 态 场 或 称 为 时 变 场 。 场 是 一 个 标 量 或 一 个 矢 量 的 位

8、置 函 数 ， 即 场 中任 一 个 点 都 有 一 个 确 定 的 标 量 或 矢 量 。例 如 ， 在 直 角 坐 标 下 ： )2()1( 4 5),( 222 zyxzyx 标 量 场在 研 究 物 理 系 统 中 温 度 、 压 力 、 密 度 等 在 一 定空 间 的 分 布 状 态 时 ， 数 学 上 只 需 用 一 个 代 数 变 量 来 描述 ， 这 些 代 数 变 量 (即 标 量 函 数 )所 确 定 的 场 为 标 量 场 ， 如 温 度 场 T(x, y, z)、 电 位 场 (x, y, z)、 高 度 场 等 。 zyx xyzzxxyzyx eee 222),(

9、A 矢 量 场 然 而 在 许 多 物 理 系 统 中 ， 其 状 态 不 仅 需 要确 定 其 大 小 ， 同 时 还 需 确 定 它 们 的 方 向 ， 这 就需 要 用 一 个 矢 量 场 来 描 述 。 例 如 电 场 、 磁 场 、流 速 场 等 等 。 ( , , ) cx y z 其 方 程 为 : 图 0.1.1 等 高 线(1) 标 量 场 -等 值 线 (面 )形 象 描 绘 场 分 布 的 工 具 场 线思 考 在 某 一 高 度 上 沿 什 么 方 向 高 度 变 化 最 快 ？2.标 量 场 的 等 值 面该 曲 面 上 任 一 点 的 函 数 值 相 等等 值 面

10、充 满 了 场 所 在 的 空 间是 单 值 函 数 ， 因 此 等 值 面 不 相 交 zAyAxA zyx ddd 三 维 场二 维 场 yAxA yx dd 图 0.1.2 矢 量 线 3矢 量 场 -矢 量 线 （ 力 线 ）0d lA其 方 程 为 ：在 直 角 坐 标 下 ：目 的 ： 形 象 地 描 绘 矢 量 场 A的 分 布特 点 ：(1)它 上 面 每 一 点 处 的 切 线 方 向 都 与 矢 量 场 在 该 点 的方 向 相 同(2)矢 量 场 中 的 矢 量 线 也 充 满 了 整 个 场 域 ， 但 它 们 互不 相 交 图 1-4 矢 量 场 的 矢 量 线 物

11、理 意 义 ： 矢 量 线 和 场 量 的 变 化 方 向 一 致矢 量 管 ：通 过 场 域 某 一 曲 面 s上 的 所 有 点 的 矢 量线 的 全 体 构 成 的 管 状 区 域 。 图 1-5 矢 量 管 0.2 标 量 场 的 梯 度 Gradient of Scalar Field1.方 向 导 数 ： 设 一 个 标 量 函 数 (x， y， z)， 若 函 数 在 点 P 可 微 ， 则 在 点 P 沿 任 意 方 向 l 的 变 化 率 称为 方 向 导 数 ， 即 cos cos coscos cos cos x y z x y zl x y zx y z （ ） （ ）

12、e e e e e e,x y zx y z g e e e cos cos cosl x y z e e e e设 式 中 , , 分 别 是 任 一 方 向 与 x, y, z 轴 的 夹 角 l ),cos(| lll eggeg 则 有 ：当 ， 最 大0) , ( lg e l标 量 函 数 沿 l方 向 的 方 向 导 数 就 是 矢 量 g在 l上 的 投 影 。表 明 ：也 就 是 只 有 当 l的 方 向 和 g的 方 向 一 致 时 ， 方 向 导 数 才 取 得 最大 值 。l的 方 向 和 g的 方 向 垂 直 时 ， 方 向 导 数 为 零l的 方 向 和 g的 方

13、向 相 反 时 ， 方 向 导 数 为 -1， 取 得 最 小 值 ， 此时 减 小 的 最 快 gradx y zg x y z e e e 梯 度 (gradient) 哈 密 顿 算 子x y ze e ex y z 式 中 图 0.1.3 等 温 线 分 布梯 度 的 方 向 为 该 点 最 大 方 向 导 数 的 方 向 。梯 度 的 大 小 为 该 点 标 量 函 数 的 最 大 变 化 率 ， 即最 大 方 向 导 数 。 标 量 场 的 梯 度 是 一 个 矢 量 ， 是 空 间 坐 标 点 的 函 数 。梯 度 的 意 义2. 梯 度读 作 “ del(代 尔 ) ”或 “

14、nabla (那 勃 拉 )”) 标 量 场 的 梯 度 函 数建 立 了 标 量 场 与 矢量 场 的 联 系 ， 这 一联 系 使 得 某 一 类 矢量 场 可 以 通 过 标 量函 数 来 研 究 ， 或 者说 标 量 场 可 以 通 过矢 量 场 的 来 研 究 。 标 量 场 的 梯 度 垂 直 于 通 过 该 点 的 等 值 面 （ 或 切 平 面 ） 例 0.2.1 电 位 场 的 梯 度图 0.2.2 电 位 场 的 梯 度 电 位 场 的 梯 度 与 过 该 点 的等 位 线 垂 直 ；数 值 等 于 该 点 的 最 大 方 向 导 数 ；指 向 电 位 增 加 的 方 向

15、。 解 ： 点 M的 坐 标 是 x0=1, y0=0, z0=1， 则 该 点 的 数 量 场 值 为=(x0+y0)2-z0=0。 其 等 值 面 方 程 为 22 )( 0)( yxz zyx 或 例 1-1 求 数 量 场 =(x+y)2- z 通 过 点 M(1, 0, 1)的 等 值 面 方 程 。 例 ： 试 证 明 在 点 电 荷 q产 生 的 静 电 场 中 ， 电 位 函 数 的 负 梯 度等 于 电 场 强 度 E.0 1 1 1( ) ( ) ( )( )4 x y zq r r rG e e ex y z 2 2 2 3/2 2 2 2 3/2 2 2 2 3/20

16、20 0 4 ( ) ( ) ( )4 4 yx zr yexe zeqG x y z x y z x y zqeq rr r 解 ： 电 荷 q所 产 生 的 电 位 为 04 q r 2 2 2 2 2 22 2 2 31 1 21 ( )( ) 2( )xx y z x y z xrx x x y z r 0.3 矢 量 场 的 通 量 与 散 度1 通 量 ( Flux ) 矢 量 E 沿 有 向 曲 面 S 的 面 积 分dS n S AdS = A S若 S 为 闭 合 曲 面 d S A S Flux and Divergence of Vector图 0.3.1 矢 量 场 的

17、 通 量 （ 设 曲 面 S的 单 位 法 向 矢 量 en） ， An为 A在 en上 的 投 影 下 外 侧所 研 究的 一 侧 0 (有 正 源 ) 0 (有 负 源 ) = 0 (无 源 ) 图 0.3.2 矢 量 场 通 量 的 性 质 若 S 为 闭 合 曲 面 ， 可 以 根 据净 通 量 的 大 小 判 断 闭 合 面 中 源 的 性 质 : s dsE 2 散 度 ( Divergence ) 如 果 包 围 点 P 的 闭 合 面 S 所 围 区 域 V 以 任意 方 式 缩 小 到 点 P 时 ：10 0 dlim d lim = =divVV V V dV A S A

18、散 度 (divergence) zAyAxA zyxAAdiv通 量 可 看 成 V内 各 点 处 的 发 散 强 度 的 体 积 分根 据 奥 式 公 式d ( ) ( )yx zx y zS S V AA AAdydz Adzdx Adxdy dVx y z A S 散 度 的 意 义 在 矢 量 场 中 ， 若 A= 0， 称 之 为 有 源 场 ， 称 为 ( 通 量 ) 源 密 度 ； 若 矢 量 场 中 处 处 A=0 ， 称之 为 无 源 场 。矢 量 的 散 度 是 一 个 标 量 ， 是 空 间 坐 标 点 的 函 数 ；散 度 代 表 矢 量 场 的 通 量 源 的 分

19、布 特 性 。 (无 源 ）0 A (正 源 ) A (负 源 ) A图 0.3.3 散 度 的 物 理 意 义 0.3.3 散 度 定 理 ( Divergence Theorem )10lim dVV SA A S 图 0.3.4 散 度 定 理 通 量 元 密 度 高 斯 定 理 VS VASA d d矢 量 函 数 的 面 积 分 与 体 积 分 的 相 互 转 换 。 0.4 矢 量 场 的 环 量 与 旋 度0.4.1 环 量 ( Circulation ) 矢 量 A 沿 空 间 有 向 闭合 曲 线 L 的 线 积 分 环 量d cos L l A dl A l 环 量 的 大

20、 小 与 闭 合 路 径 有 关 ， 它 表 示 绕 环 线旋 转 趋 势 的 大 小 。 Circulation and Rotation of Vector Field图 0.4.1 环 量 的 计 算P 水 流 沿 平 行 于 水 管 轴 线 方 向 流 动 ， = 0， 无 涡旋 运 动 。 图 0.4.2 流 速 场流 体 做 涡 旋 运 动 ， 0， 有 产 生 涡 旋 的 源 。例 ： 流 速 场力 场 中 ， 环 量 L F dl 表 示 力 F沿 闭 合 路 径 所 做 的 功 1. 环 量 密 度 过 点 P 作 一 微 小 曲 面 S， 它 的 边 界 曲 线 记 为L，

21、 面 的 法 线 方 向 与 曲 线 绕 向 符 合 右 手 定 则 。 当 S 点 P 时 ， 存 在 极 限 LSS S l d1limdd 0 环 量 密 度环 量 密 度 是 单 位 面 积 上 的 环 量 。注 意 ： 环 量 密 度 与 所 选 曲 面 元 的 法 线 方 向 有 关 ！ 2 旋 度 ( Rotation ) 2. 旋 度x x y y z zA A A A e e e x y zd dx dy dz l e e e设 d ( )( ) ( ) ( )x y zL Ly yx xz zs Adx Ady AdzA AA AA Adydz dzdx dxdyy z z

22、 x x y A l 得 ( ) ( ) ( ) y yx xz zx y zA AA AA ArotA y z z x x y e e e称 为 A的 旋 度记 作 rotA A上 式 右 面 的 积 分 可 以 看 成 是 矢 量 穿 过 曲 面 s的 通 量 ， s是 以 曲 线 l为 周 界 的 曲 面 。( ) ( ) ( )y yx xz zx y zA AA AA Ay z z x x y e e e 设 P为 矢 量 场 中 的 任 一 点 ， 作一 个 包 含 P点 的 微 小 面 元 S， 其 周界 为 l， 它 的 正 向 与 面 元 S的 法 向矢 量 n成 右 手 螺

23、 旋 关 系 (如 图 所 示 )。则 矢 量 A沿 l方 向 的 环 量 为 ： rotnA为 旋 度 矢 量 rotA在 n方 向 的 投 影 ， 利用 中 值 定 理 M为 中 的 某 一 点 ， 令 向 p点 收 缩 ，则 有 旋 度 定 义 的 极 限 形 式 ：旋 度 的 物 理 意 义 nd (rot d (rotS Sl A l A) S = A)dsn n(rot rotS S MA)ds=( A)S S Pl nrotA 旋涡面 旋 度 小 结 ：矢 量 的 旋 度 仍 为 矢 量 ， 是 空 间 坐 标 点 的 函 数 。它 的 方 向 就 是 该 点 环 量 密 度 的

24、 最 大 值 时 曲 面 S的 方 向其 模 等 于 环 量 密 度 的 最 大 值 。在 矢 量 场 中 ， 若 A=J 0 称 之 为 旋 度 场 （ 或涡 旋 场 ） ， J 称 为 旋 度 源 （ 或 涡 旋 源 ） 。若 矢 量 场 处 处 A= 0 ， 称 之 为 无 旋 场 。 由 此 可 见 ， rotnA表 示 矢 量 场 A在 P点 的 环 量 密 度 ， 它 与 该点 的 曲 面 元 的 法 线 方 向 有 关 。 当 旋 度 rotA与 n的 方 向 相 同 时 ，环 量 密 度 取 得 最 大 值 。n 0 0rot lim limlS SA dl dS S ds A

25、= AA rot 旋 度 (curl) zyx zyx AAA zyx eeeA在 直 角 坐 标 下 :4. 斯 托 克 斯 定 理 ( Stockes Theorem )SA)lA d(d S l矢 量 函 数 的 线 积 分 与 面 积 分 的 相 互 转 化 。 在 电 磁 场 理 论 中 ， 高 斯 定 理 和 斯 托 克 斯 定 理 是两 个 非 常 重 要 的 公 式 。 例 1-12 求 矢 量 场 A=x(z-y) ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在 点 M(1， 0， 1)处 的 旋 度 以 及 沿 n=2ex+6ey+3ez方 向 的 环 量 面 密 度 。 解

26、： 矢 量 场 A的 旋 度 zyx zyx exyezxeyz xyzzxyyzx zyx eeeArotA )()()( )()()( 在 点 M(1， 0， 1)处 的 旋 度 zyxM eeeA 2n方 向 的 单 位 矢 量 zyxzyx eeeeeen 737672)362(362 1 222 在 点 M(1， 0， 1)处 沿 n方 向 的 环 量 面 密 度 7177327672 nAM 六、无源场和无旋场 1、无源场 矢量场A中，在场域中的每一点处恒有：A =0性 质 1： 无 源 场 中 穿 过 场 域 V中 任 一 个 矢 量 管 的 所 有截 面 的 通 量 都 相 等

27、 。 （ 证 明 略 ）性 质 2： 无 源 场 存 在 矢 势由 恒 等 式 ： 0F （ 矢 量 场 的 旋 度 必 为 无 散 场 ）可 知 存 在 一 矢 量 场 F满 足 ： A F F称 为 A的 矢 势 =0 A 2、无旋场 矢量场A中，在场域中的每一点处恒有：A =0性 质 1： 无 旋 场 中 A沿 场 域 V中 任 意 闭 合 路 径 l的环 量 等 于 零 。 0L A dl 性 质 2： 无 旋 场 必 可 以 表 示 为 某 一 标 量 场 的 梯 度由 恒 等 式 ：可 知 存 在 一 标 量 场 满 足 ：矢 量 场 A称 为 位 势 场 ， 称 为 位 函 数

28、调 和 场散 度 和 旋 度 都 等 于 零 的 矢 量 场 。为 调 和 场 A的 位 函 数 ， 则 有2 2 22 2 2 2 0 x y z 上 式 称 为 拉 普 拉 斯 方 程 ， 满 足 该 方 程 的 解 且 具 有两 阶 连 续 的 偏 导 数 的 函 数 称 为 调 和 函 数如 果 矢 量 场 仅 为 无 旋 场 ， 则 是 两 场 的 位 函 数 满 足泊 松 方 程 。如 ： 2 0.5 亥 姆 霍 兹 定 理亥 姆 霍 兹 定 理 ：亥 姆 霍 兹 定 理 的 简 单 表 达 是 ： 若 矢 量 场 F在 无 限 空间 中 处 处 单 值 ， 且 其 导 数 连 续

29、 有 界 ， 而 源 分 布 在 有限 空 间 区 域 中 ， 则 矢 量 场 由 其 散 度 和 旋 度 唯 一 确 定 ，并 且 可 以 表 示 为 一 个 标 量 函 数 的 梯 度 和 一 个 矢 量 函数 的 旋 度 之 和 。 Hymherze Theorem即 在 有 限 区 域 内 ， 矢 量 场 由 它 的 散 度 、 旋 度 及边 界 条 件 惟 一 地 确 定 。 散 度 、 旋 度 分 别 对 应 通 量源 密 度 和 漩 涡 源 密 度 在 无 限 空 间 中 一 个 既 有 散 度 又 有 旋 度 的 矢 量 场 ， 可 表 示 为 一 个 无旋 场 A1有 散 度

30、 )和 一 个 无 散 场 A2(有 旋 度 )之 和 ： 1 2 A A A其 中 ： 1 20, 0. A A 1 2 1( ) A A A A 1 2 2( ) J A A A A,J 分 为 散 度 和 旋 度 源 ， 在 电 磁 场 中 分 别 指 电 荷 和 电 流即 散 度 和 旋 度 源 确 定 后 ， 就 相 当 于 确 定 了 “ 源 ” 的 分布 已 知 ： 矢 量 A的 通 量 源 密 度矢 量 A的 旋 度 源 密 度场 域 边 界 条 件 （ 矢 量 A 惟 一 地 确 定 ）电 荷 密 度 电 流 密 度 J 场 域 边 界 条 件在 电 磁 场 中确 定 一 个

31、 场 所 须 条 件 0.6 特 殊 形 式 的 电 磁 场 如 果 在 垂 直 某 一 轴 线 ( 设 为 z 轴 ） 的 一 族 平 行 平 面 上 ， 场 F 的分 布 都 相 同 ， 即 F= f（ x， y） ， 则称 这 个 场 为 平 行 平 面 场 。1. 平 行 平 面 场Special Forms of Electromagnetic Field如 无 限 长 带 均 匀 电 荷 直 导 线 产 生的 电 场 。 0 2. 球 面 对 称 场 如 果 在 一 族 同 心 球 面 上 （ 设 球 心 在 原 点 ） ， 场 F 的 分 布 都 相 同 ， 即 F= f（ r）

32、 ， 则 称 这 个 场 为 球面 对 称 场 。 如 点 电 荷 产 生 的 电 场 ； 带 电 球 体 产 生 的 电 场 。0 1.2 三 种 常 用 坐 标 系 中 的 矢 量 场直 角 坐 标 系圆 柱 坐 标 系圆 球 坐 标 系 场 点 的 坐 标 位 置矢 量 的 坐 标 分 量 位 置 矢 量 x y zr xe ye ze 距 离 矢 量 R r r x x x y y y z z z ( ) ( ) ( ) R r r x x y y z z ( ) ( ) ( )2 2 2 ( , , )( , , )( , , )x y zzr ),( ),( ),( rf zf z

33、yxf )(rf PO 1P 2PO 直 角 坐 标 系 场 点 的 坐 标 位 置 (x,y,z),( z圆 柱 坐 标 系 0 20 z柱 坐 标 系 中 任 一 点 表 示 为 ，点 是 三 个 坐 标 曲面 ， ， 的 交 点 。 ( , , )M z 1 1 1 1( , , )M z 1 1 1zz 直 角 坐 标 系 坐 标 与 圆 柱 坐 标 系 坐 标 的 关 系xy z z cossin x yyxz z2 2arctan ),( r圆 球 坐 标 系 2000 r 直 角 坐 标 系 坐 标 与 圆 球 坐 标 系 坐 标 的 关 系 cossinsin cossinrz

34、ry rx xyz yx zyxr arctanarctan 22 222 z 垂 直 于 Z轴 及 点 组 成 的 平 面 ， 沿 增 大 一 侧 的 方 向 。 ),( z :z 在 点 ， 平 行 与 Z轴 的 方 向 。 ),( z X YZ ),( zP O r以 Z为 轴 ， 半 径 为 的 圆 柱 面 在 点 的 外 法线 方 向 。 ),( z:矢 量 场 的 圆 柱 坐 标 系 分 量圆 柱 坐 标 轴 单 位 矢 量 z x yz P z( , , ) o z xyo A r A r ( ) ( ) A r A r ( ) ( ) A r A r zz( ) ( ) cos

35、 sinx y sin cosx y cos sinx sin cosy 矢 量 场 的 圆 柱 坐 标 系 分 量 矢 量 在 点 的 直 角 坐 标 分 量 与 柱 坐 标 分 量 的 转 换 矩 阵 ：rA zyxz AAAAAA 100 0cossin 0sincos zzyx AAAAAA 100 0cossin 0sincos 柱 坐 标 系 的 体 积 元d d d d dz 过 空 间 任 意 点 的 坐 标 单 位 矢 量为 。 它 们 相 互 正 交 ， 而 且 遵 循 的 右 手 螺 旋 法 则 。1 1 1 1( , , )M z , , za a a za a a d

36、 矢 量 场 的 圆 球 坐 标 系 分 量圆 柱 坐 标 轴 单 位 矢 量 r 以 半 径 ， 原 点 为 球 心 的 球 面 在 点 的 外 法线 方 向 。r ),( r:r 垂 直 于 过 Z轴 及 点 组 成 的 平 面 ， 沿 增 大 一 侧 的 方 向 。 ),( r : : 以 原 点 为 顶 点 ， Z为 轴 的 圆 锥 在点 的 外 法 线 方 向 。 ),( r X YZ PO rr 矢 量 场 的 圆 球 坐 标 系 分 量 ),(),(),(),( rArArrArA r cossin sinsincoscoscos cossinsincossin yx zyx z

37、yxr sincos cossincossinsin sincoscoscossin rz ry rx特 点 ： 1） 不 同 的 位 置 上 ， 圆 球 坐 标 轴 单 位 矢 量 方 向 不 同 。 2） 当 矢 量 场 的 方 向 为 圆 球 面 的 法 向 或 切 向 时 ， 用 圆 球 坐 标 表 示 不 但 形 式 简 单 ， 而 且 形 象 ， 更 易 理 解 。 zyxr AAAAAA 0cossin sinsincoscoscos cossinsincossin AAAAAA rzyx 0sincos cossincossinsin sincoscoscossin 矢 量 在

38、 点 的 直 角 坐 标 分 量 与 球 坐 标 分 量 的 转 换 矩 阵 ：A r ),( r 球 坐 标 系 中 任 意 点 可 用 来 表 示 ，点 是 ， ， 三 个 坐标 曲 面 的 交 点 。 过 空 间 任 意 点 的 坐 标 单 位 矢 量 为 。 它 们 相 互正 交 ， 遵 循 ),( rM),( 1111 rM 1rr 1 1 ),( rM aaar , aaar raaa aaa r （ 1.2.17） 的 右 手 螺 旋 法 则 。 ddrdrdldldld r sin2 小 结 直 角 坐 标 系 的 单 位 矢 量 及 矢 量 的 坐 标 分 量圆 柱 坐 标

39、系 的 单 位 矢 量 及 矢 量 的 坐 标 分 量圆 球 坐 标 系 的 单 位 矢 量 及 矢 量 的 坐 标 分 量不 同 坐 标 系 的 单 位 矢 量 及 矢 量 的 坐 标 分 量之 间 的 关 系1） 三 种 坐 标 系 中 场 点 的 坐 标 位 置直 角 坐 标 系 点 的 坐 标圆 柱 坐 标 系 点 的 坐 标圆 球 坐 标 系 点 的 坐 标不 同 坐 标 系 中 坐 标 变 量 之 间 的 关 系2） 位 置 矢 量3） 三 种 坐 标 系 中 矢 量 的 坐 标 分 量 常 用 公 式( )A B A B ( ) ( ) ( )A A A A A ( )A B B A A B ( ) 0 ( ) 0 A 2( )A A A ( ) ( )A A A f u f u u