数列难点解析

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1、数学概念、方法、题型、易误点技巧总结一一数列1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集 1,2,3,，n），=-*-（M 犷）的特殊函数,数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如（1）已知 +136,1 _ M则 在 数 列 的 最 大 项 为 一（答：2 5）.（2）数 列 的 通 项 为 一加r+l,其中0均为正数，则/与 的 大 小 关 系 为（答：-3）:（4）一给定函数尸=/W的图象在下列图中，并且对任意,eeR,由关系式】=/（一）得到的数列满足4-*,3 犷），则该函数的图象是（）（答：A）2.等差数列的有关概念：（1）等差数列的判断方法：定义 法 -A W

2、W*）或，+/+.如 设 是 等 差 数 列，求证：以b=M W N 为通项公式的数列Q J为等差数列。（2）等差数列的通项：,*5-中 或%.+伽 一 中。如等差数列 6,e ir）（4）等差中项：若a4 6 成等差数列，则 A叫做二与2：的等差中项，且-2。提醒：（1）等差数列的通项公式及前5 r和公式中，涉及到5 个元素：片及 耳，其中；1、称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3 个，便可求出其余2个，即知3 求 2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为,a-2 d.a-d.a,a d.a 2 d .（公差为X）.偶数个数成等差，可设为,a-3 d,a-

3、dta+d,a+3 d.（公差为 2）3.等差数列的性质:（1）当公差/W 0时，等差数列的通项公式 +伽一 是关于,:的5 L =a+（A-）次函数，且斜率为公差；前,:和 2 2 2 是关于的二次函数且常数项为0.（2）若公差d ,则为递增等差数列，若公差d 0,则为递减等差数列，若公差d=O,则为常数列。（3）当*+*=/+*时，则有4 特别地，当 *十#=2D时，则有+.=必.如 等 差 数 列 中，=1 8.+-1+4=3.53=1,则芸=（答：27）；在等差数列 吗 中，.口 *，0,J 40,则使前项和 果 口成立的最大正整数n是（答：4006）（8）如果两等差数列有公共项，那么

4、由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的项，其项数不定相同，即研究,二4。4.等比数列的有关概念:（i）等比数列的判断方法：定义 法，其中gw学口 或，外 伽之力。如一个等比数列 鼻 共有2 +1项，奇数项之积为1 0 0,偶数项之积为1 2 0,则*】为（答：B）提醒：（1）等比数列的通项公式及前,:和公式中，涉及到5个元素：与、孑、心及 用,其中；1、；称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3 求 2：（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为,。F.一丁 一8q

5、 q （公比为？）；但偶数个数成等比时，不能设为q q，,因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为1 一。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和 是 1 6,第二个数与第三个数的和为1 2,求此四个数。（答：1 5,9,3,1 或 0,4,8,1 6）5.等比数列的性质：（1）当时，则有，医特别地，当*+建=2 下时，则有如在等比数列（）中，,+.=1 驾=-5 1 2,公比q是整数，则.=_（答:512）；各项均为正数的等比数列 4 中，若.-9,则l n gl 4-l ogJa1+-o.o 3 i,则&）为递减数列；若则k）为递增数列；

6、若g 0,则公）为摆动数列；若。=|,则 为 常 数 列。品=*q*+2=5 +A（4）当q w i时，l-q i-q ,这里.+,=0,但。学 力学,这是等比数列前丫项和公式的一个特征，据此很容易根据号,判断数列依 是否为等比数列。如若（）是等比数列，且 稣 绡+，则=（答：一1）耳=5+。品=g+4品如设等比数列6）的公比为孑，前5:项和为，若、】学学。成等差数列，则才的值为（答：-2）（6）在等比数列&）中，当项数为偶数.时，3科,项数为奇数2一1时,S.=.+q当（7）如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列伉）是非零常数数列，故常数数列也）仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非

7、充分条件。如设数列，的 前 三 项 和 为（）,关 于 数 列 有 下 列 三 个 命 题：若I M H）,则%既是等差数列又是等比数列；若耳+则，是等差数列；若卷1-（一。,则 ）是等比数列。这些命题中，真命题的序号是（答：）6.数列的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。3-5-7 9 如 已 知 数 列4*8*16*3 2,试写出其一个通项公式：（答：=2+1+摄r）已 知&（即求 工，用作差法:一 I=件=1如已知&的前#项和满足I8式&包=乜 求 三（答：12之2）；数列）满足1号叫+十吴血+5求 一 答=（段）e.3=D已知,吗 小 3.求,，用作商法：河7如数列

8、&中，,=1对所有的R W 2都有 2）。如 已 知 数 列 中，=2,前,:项和斗，若 缉=,求 （答:%+1)已知递推关系求,用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如q =%之2）7.数列求和的常用方法：（1）公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；常用公式：1+2+3+.”+*=/J *,已知工 彳,求数列 4 的首项和公比；求数列 工 的通项公式.（答：勺=1,4=2；-l*4-l*H l&+M d A-l k.必+DO+=3M+D 3+1)(K+2)I；3+旷丁32叫2(#+l 6=2,.-U+,）+Pa+2r）+-p（l+r）2（等差数列问题）；复利问题：按揭贷款的分期等额还款（复利）模型：若 贷 款（向银行借款）元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一 期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，分三期还清。如果每期利率为，（按复利），那么每期等额还款工元应满足：。+，*=*0+，尸+印+,尸+*+，）+*（等比数列问题）。