相似三角形的计算与证明

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1、GAH=BAO,AHG=AOB=90GAHBAO 2（2013山东菏泽山东菏泽）如图所示如图所示，在在ABC中中，BC=6，E、F分别是分别是AB、AC的中点的中点，动点动点P在射在射线线EF上上，BP交交CE于点于点D，CBP的平分线交的平分线交CE于于Q，当当CQ=CE时时，求求 EP+BP的长的长.解：解：延长延长BQ交交EF于点于点GG12 E、F分别是分别是AB、AC的中点的中点EGBC2=G,CQBEQGEG=2BC=12121=2,2=G1=GPB=PG EP+BP=EP+PG=EG=12 3.（2013四川巴中四川巴中10分）分）如图如图，在平行四边形在平行四边形ABCD中中，

2、过点过点A作作AEBC，垂足为垂足为E，连接连接DE，F为线段为线段DE上一点上一点，且且AFE=B（1）求证求证：ADFDEC；（2）若若AB=8，AD=6 ，AF=4 ，求求AE的长的长证明证明:(1)四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形ABCD,ADBCB+C=180,4=31=B,1+2=1802=C ADFDEC8864ADFDECDE=12解：解：（2）4(2013泰安泰安)如图如图，四边形四边形ABCD中中，AC平分平分DAB，ADC=ACB=90，E为为AB的中点的中点，（1）求证求证：AC2=ABAD；（2）求证求证：CEAD；（3）若若AD=4，AB=6，求求 的值

3、的值证明证明:(1)121=2,ADC=ACB=90ADCACB AC2=ABAD12（2）求证：）求证：CEAD3 ACB=90,E是是AB中点中点CE=AE=EB2=31=21=3CEAD解解(3)463 CEADCFEAFDAD=4,CE=AB=3 5、(2009年安徽年安徽)如图如图，M为线段为线段AB的中的中点点，AE与与BD交于点交于点C，DME=A=B=，且且DM交交AC于于F，ME交交BC于于G(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；(2)连结连结FG，如果如果=45，AB=4 ，AF=3，求求FG的长的长EMFEAMDMGDBM

4、AFMBMG解解:(1)3 451A=B=1=45ACB=90,AC=BCAB=,AB=BC=4AF=3,CF=1M为线段为线段AB的中点的中点AFMBMG解：（解：（2）6.(2009泰安泰安)如图如图，ABC是直角三角形是直角三角形，ACB=90，CDAB于于D，E是是AC的中点的中点，ED的延长线与的延长线与CB的延长线交于点的延长线交于点F F。（1）求证求证：FD2=FB FC。（2）若若G是是BC的中点的中点，连接连接GD，GD与与EF垂直吗垂直吗？并说明理由并说明理由。ABCDEFG证明证明:(1)1234ACB=90，CDAB2+4=4+A=90 2=A E是是AC的中点的中点

5、,1=3DE=AE3=AABCDEFG12341=2F=FFDBFCDFD2=FB FC(2)GDEF56 E是是AC的中点的中点,CD ABGD=GC,5+6=902=51=21+6=90 GDEF 7、(2013四川南充四川南充8分分)如图如图，等腰梯形等腰梯形ABCD中中，ADBC，AD=3，BC=7，B=60，P为为BC边上边上一点一点(不与不与B，C重合重合)，过点过点P作作APE=B，PE交交CD于于E.（1）求证求证：APBPEC；（2）若若CE=3，求求BP的长的长.证明证明：(1)123四边形四边形ABCD是等腰梯形是等腰梯形B=3=C，AB=CD2+3=1+B1=2 APB

6、PEC13233x7-x？FG解解：(2)作作AFAC于于F，DGBC于于G四边形四边形AFGD是矩形是矩形AF=DG,FG=AD=3AB=CD,B=60ABFDCG(HL)BF=CG=2 APBPECBP2-7BP+12=0BP=3或或BP=48、(2013湖南株洲湖南株洲)已知在已知在ABC中中,ABC=90,AB=3，BC=4，点点Q是线段是线段AC上的一个动点上的一个动点，过过点点Q作作AC的垂线交线段的垂线交线段AB（如图如图1）或线段或线段AB的的延长线延长线(如图如图2)于点于点P.当点当点P在线段在线段AB上时上时，求证求证：AQPABC；当当PQB为等腰三角形时为等腰三角形时

7、，求求AP的长的长.图图1图图2证明证明：(1)ABC=90,PQACAPQ=ABCA=AAQPABC解解:(2)图图1连接连接CP如图如图1，当，当PQB为等腰三角形时为等腰三角形时QPB90QPB只能为顶角，只能为顶角，PQ=PBPQAC,ABC=90,CP=CPPQCPBCCQ=CB=4AQ=AC-CQ=1AQPABC图图1图图2如图如图2，当，当P在在AB延长线上时延长线上时QPB90当当PQB为等腰三角形时为等腰三角形时,BP=BQ121=PP+A=1+2=902=AAB=BQ=BPAP=2AB=6 9、(2013四川宜宾四川宜宾10分分)如图如图1，在在RtABC中中，BAC=90

8、，ADBC于点于点D，点点O是是AC边上的边上的一点一点，连接连接BO交交AD于于F，OEOB交交BC边于点边于点E(1)求证求证：ABFCOE；(2)当当O为为AC边中点边中点，=2 时时，如图如图2，求求 的值的值；(3)当当O为为AC边中点边中点，=n 时时，如图如图2，请直接写出请直接写出 的值的值图图1图图2图图1证明：证明：(1)1234BAC=90，ADBC,BOOE2+3=3+1=90C+ABD=ABD+4=902=1,4=CABFCOE(2)作作OGAC，交，交AD的延长线于的延长线于G GAC=2AB，O是是AC边的中点边的中点 AB=OC=OA 由由(1)知知ABFCOE

9、 ABFCOE BF=OE GBAD+DAC=90 BAD+ABD=90 DAC=ABD 又又BAC=AOG=90，AB=OA ABCOAG OG=AC=2AB OGOA,BAC=90 ABOG ABFGOF 10、(2013年福建莆田年福建莆田8分分)定义定义：如图如图1，点点C在在线段线段AB上上，若满足若满足AC2 BCAB，则称点则称点C为线段为线段AB的黄金分割点的黄金分割点；如图如图2，ABC中中，ABACl，A36，BD平分平分ABC交交AC于点于点D（5分）分）求证求证：点点D是线段是线段AC的黄金分割点的黄金分割点；（3分）分）求出线段求出线段AD的长的长图图1图图2证明：证

10、明：12A=36,AB=AC=1ABC=C=BD平分平分ABC 31=2=A=363=1+A=72 =CAD=BD=BC图图2231C=CBCDACB 即即BC2ACCD AD2ACCD 点点D是线段是线段AC的黄金分割点的黄金分割点 AD2ACCD,AC=1AD2=AC(AC-AD)AD2=1-AD 11、(2013年广东珠海年广东珠海9分分)如图如图，在在RtABC中中，C=90，点点P为为AC边上的一点边上的一点，将线段将线段AP绕点绕点A顺时针方向旋转顺时针方向旋转(点点P对应点对应点P),当当AP旋转至旋转至APAB时时，点点B、P、P恰好在同一直线上恰好在同一直线上，此时此时作作P

11、EAC于点于点E.(1)求证求证：CBP=ABP；(2)求证求证：AE=CP；(3)当当 ，BP=5 时时，求线段求线段AB的长的长.证明证明(1):C=90,APAB,P E AC,AP=AP12345BC PE,4=5=PPA,1=3,3+5=2+PPA=90 2=31=212345证明证明(2):F作作PFAB与与F786PFA=AEP =90,6+8=7+8=906=7AP=APAFPPEAPF=AEPCBC，PFAB,1=2PF=PCAE=CP 解解(3):BC PE BCPPPE 设设PE=2x,CP=AE=3xAP=AP=5x12345F786PE2+P E2=P P2 x=1,

12、AP=5多条线段具有某一关系，用一个字母多条线段具有某一关系，用一个字母表示其中的一条线段，其余的线段就表示其中的一条线段，其余的线段就可用这个字母的代数式表示出来。可用这个字母的代数式表示出来。总结与体会：总结与体会：BCDAEF 12、(2013泸州泸州)如图如图，点点E是矩形是矩形ABCD的边的边CD上一点上一点，把把ADE沿沿AE对折对折，点点D的的对称点对称点F恰好落在恰好落在BC上上，已知折痕已知折痕AE=10 cm，且且tanEFC=，求该矩形的周长求该矩形的周长。123解：解：四边形四边形ABCD是矩形是矩形B=C=D=90 ADE与与AFE关于关于 AE轴对称轴对称D=AFD

13、,AF=AD=BC1+2=2+3=901=3BCDAEF123BF=3x,AB=4 xBC=5x,FC=BC-BF=2xAF2+EF2=AE2该矩形的周长为：该矩形的周长为：ABCD 13、(2013湖北鄂州湖北鄂州)如图如图，RtABC中中，BAC=90，ADBC于点于点D，若若BD CD=3 2，求求 tanB的值的值。ADBC，BAC=90，解：解：B+BAD=90，BAD+DAC=90，B=DAC BDA=ADC=90BDAADC BD CD=3 2设设BD=3x,CD=2xAD2=6x214、如图如图，在在ABC中中，AB=AC=5,BC=8,D是是边边AB上一点上一点，且且tanB

14、CD=.（1）试求试求sinB的值的值；（2）试求试求BCD的面积的面积.解解:(1)作作AEBC交交BC于于EEAB=AC=5,BC=8BE=CE=4F(2)作作DFBC于于F设设DF=x,则则 CF=2x,BF=8-2xAEBC,DFBCDFAE BFDBEA设设DF=x,则则 CF=2x,BF=8-2xF 15、(2013四川南充四川南充)如图如图，正方形正方形ABCD的边长为的边长为2 ，过点过点A作作AEAC，AE=1，连接连接BE，求求 tan E的值的值。FMN作作EFBA交交BA的延长线于的延长线于F 解：解：正方形正方形ABCD的边长为的边长为2AE=1,AEACAMEFBA

15、MBFEFMNAMNCBNAC=4,AN+NC=416、如图如图ABC中中，D是是BC中点中点，AD=AC,DEBC,垂足为垂足为D，DE与与AB相交于点相交于点E，EC与与AD相交于点相交于点F.求证求证：ABCFCD。若若SFCD=5,BC=10,求求DE的长的长。ABCDEF12证明：证明：DB=DC,ED BC BE=ECB=2又又AD=ACACB=1ABC FCD作作AG BC于于GG ABCFCD S ABC=20 S ABC=BC AG=20 AG=4,DG=CG=2.5又又ED BC,AG BC ED AGBDEBGA17、(2011资阳资阳)如图如图1，在梯形在梯形ABCD中

16、中，已知已知ADBC，B=90，AB=7，AD=9，BC=12，在线段在线段BC上任取一点上任取一点E，连结连结DE，作作EFDE，交直线交直线AB于于点点F(1)若点若点F与与B重合重合，求求CE的长的长；(3分分)(2)若点若点F在线段在线段AB上上，且且AF=CE，求求CE的长的长；(4分分)(3)设设CE=x，BF=y，写出写出y关于关于x的函数关系式的函数关系式(直接写出结果即可直接写出结果即可)(2分分)图图1图图2（备用图）（备用图）解解：（：（1）当当F与与B重合时，四边形重合时，四边形AFEB是矩形是矩形 CE=BC-BE=BC-AD=3(2)作作DG BC于于G 四边形四边

17、形ABGD是矩形是矩形B=1=90012343+4=90 DE EF2+3=902=4DGEEBF设设BF=m则则AF=CE=7-m,EG=4-m BE=5+m,AB=DG=7 m1=2,m2=-10(不合题意，舍去）不合题意，舍去）CE=5y=DGEEBF18、（、（2012安徽安徽）如图如图1，在在ABC中，中，D、E、F分别为三边的中点分别为三边的中点，G点在边点在边AB上上，BDG与四与四边形边形ACDG的周长相等的周长相等，设设BC=a、AC=b、AB=c.（1）求线段求线段BG的长的长；（2）求证求证：DG平分平分EDF;（3）连接连接CG，如图如图2，若若BDG与与DFG相似相似

18、，求证求证：BGCG.（图（图1）（图（图2）解：解：(1)D、C、F分别是分别是 ABC三边中点三边中点 BDG与四边形与四边形ACDG周长相等周长相等 BD+DG+BG=AC+CD+DG+AGBG=AC+AG又又BG+AG+AC=b+c(2)D、C、F分别是分别是 ABC三边中点三边中点 DF+BF=BG=BF+FGDF=FGDEAB1231=3DEAB2=31=2DG平分平分EDF123(3)BDG与与DFG1=B1=33=BBD=DC=DGBGCG19、如图如图，RtABC中中，C=90，AB=2 点点P为为BC上一动点上一动点，PDAB,PD交交AC于点于点D,连结连结AP(1)求求

19、AC、BC的长的长(2)设设PC的长为的长为x,ADP的面积为的面积为y,当当x为为 何值时何值时，y最大最大？并求出最大值并求出最大值。解：解：C=90AC=2 PD AB tanB=tan DPC20、(2010资阳资阳)如图，在直角梯形如图，在直角梯形ABCD中，已知中，已知ADBC，AB=3，AD=1，BC=6，A=B=90.设动点设动点P、Q、R在在梯形的边上，始终构成梯形的边上，始终构成以以P为直角顶点的等腰直角三角形为直角顶点的等腰直角三角形，且且PQR的一边与梯形的一边与梯形ABCD的两底平行的两底平行.(9分分)(1)当点当点P在在AB边上时，在图中画出一个符合条件的边上时，

20、在图中画出一个符合条件的PQR(2)(不必说明画法不必说明画法)；(2)当点当点P在在BC边或边或CD边上时，求边上时，求BP的长的长.ABCD解：解：（1）如图所示）如图所示（2）如图，当点）如图，当点P在在BC上时上时作作QEBC于于E,DFBC于于FEF3xxxx6-2x 四边形四边形ABPD、BEQR是矩形是矩形 QEDF PQR是等腰直角三角形是等腰直角三角形 设设BF=EF=QE=PB=x 则则DF=AB=3,CE=2xCEQCFD（2）如图，当点）如图，当点P在在DC上时上时H连结连结BP，作作DHBC于于H H PQR是等腰直角三角形是等腰直角三角形 四边形四边形PQBR是正方

21、形是正方形 PRDH 设设BR=PQ=PQ=BQ=m 则则CR=6-m,DH=AB=3,BH=AD=1CRPCHD21、(2012四川巴中四川巴中12分分）如图，在平面直角坐标系如图，在平面直角坐标系中，点中，点A、C分别在分别在x轴轴、y轴上轴上，四边形四边形ABCO为矩为矩形，形，AB=16,点点D与点与点A关于关于y轴对称轴对称，tanACB=,点点E、F分别是线段分别是线段AD、AC上的动点上的动点（点点E不与点不与点A、D重合重合），），且且CEF=ACB.求求AC的长和点的长和点D的坐标的坐标；说明说明AEF与与DCE相似相似；当当EFC为等腰三角为等腰三角形时形时，求点求点E的坐

22、标的坐标。解：解：四边形四边形ABCO是矩形是矩形AB=OC=16,B=90点点D与点与点A关于关于y轴对称轴对称OD=OA=BC=12D(12,0)123456OA=OD,OCAD,BCAD解：解：CA=CD4=3=2=1又又1+6=4+55=6AEFDCE解：解：当当EFC为等腰三角形时为等腰三角形时有有CE=CF、CE=EF、FC=FE三种可能情况三种可能情况123456EFC为等腰三角形为等腰三角形当当CE=CF时，时，1=CFE1=CFE=2=3这与这与CFE3矛盾矛盾CE=CF不成立不成立当当CE=EF时，时，AEFDCEAE=CD=20OE=AE-OA =20-12=8E(8,0

23、)123456当当EF=CF时，时，ECF=1=3CE=AE=OE+OAOE2+162=(12+OE)2又又OE2+OC2=CE2满足条件的点满足条件的点E的坐标为：的坐标为：E(8,0)、E(,0)22、（、（2012四川宜宾）如图，在四川宜宾）如图，在ABC中，已中，已AB=AC=5，BC=6，且，且ABCDEF，将，将DEF与与ABC重合在一起，重合在一起，ABC不动，不动，DEF运动，并满足：点运动，并满足：点E在边在边BC上沿上沿B到到C的方向运动，且的方向运动，且DE始终经过点始终经过点A,EF与与AC交于交于M点。点。（1）求证：）求证：ABEECM;（2）探究：在）探究：在DE

24、F运动过程中，重叠部分能否构成等腰三运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；的长；若不能，请说明理由；（3）当线段）当线段AM最短时，求重叠部分的面积。最短时，求重叠部分的面积。ABEECM（1）证明：）证明：AB=AC,B=C123ABCDEFB=11+2=B+33=2（2）解：解：1=B=C，且且4C，1412345当当4=5时，时，AE=ME ABEECM CE=AB=5,BE=1当当1=5时，时，AM=ME5=B,C=CCAECBA 123（3）解：设）解：设BE=xABEECM当当BE=x=3=BC时，时，AEBC,EMAC 2

25、3、(2012自贡自贡12分分)如图如图，在菱形在菱形ABC中中，AB=4,BAD=120,AEF为正三角形，点为正三角形，点E、F分别在菱形的边分别在菱形的边BC、CD上滑动，且上滑动，且E、F不不与与B、C、D重合重合。证明：不论证明：不论E、F在在BC、CD上如何滑动上如何滑动，总有总有BE=CF;当点当点E、F在在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形上滑动时，分别探讨四边形AECF和和CEF的面积是否发生变化？如果不变，的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值求出最大（或最小）值。证明：证明：连接连接AC四边形四边形ABCD是菱形

26、是菱形 BAD=120AB=BC=CD=AB ADBC,ABCDB=180-BAD=60ABC是等边三角形是等边三角形AC=AB又又AEF是正三角形是正三角形AE=AF,1+2=2+3=601=3ABEACFBE=CF作作AGBC于于G四边形四边形AECF的面积不发生变化的面积不发生变化ABEACFS四边形四边形AECF=SABC S ABC=BC AG=S四边形四边形AECF=CEF的面积有变化的面积有变化作作EHDC的延长线于的延长线于H设设BE=CF=x则则EC=4-xBAD=BCD=120ECH=60 当当x=2时，时，SEFC的面积最大为的面积最大为24、在在RtABC中中，A=90

27、,AB=6,AC=8,D、E分别是边分别是边AB、AC的中点的中点，点点P从点从点D出发沿出发沿DE方方向运动，过点向运动，过点P作作PQBC于于Q,过点过点Q作作QRBA交交AC于于R,当点当点Q与点与点C重合时重合时，点点P停止运动停止运动，设设BQ=x，QR=y.求点求点D到到BC的距离的距离DH的长的长；求求y关于关于x的函数关系式的函数关系式（不要求写出自变量的不要求写出自变量的 取值范围）取值范围）是否存在点是否存在点P，使使PQR为为 等腰三角形等腰三角形？若存在，请若存在，请 求出所有满足要求的求出所有满足要求的x x的值；的值；若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由。解：解

28、：A=90，DHBCA=BHD=90B=BBHDBACAB=6,AC=8,D是是AB中点中点BD=3QRABCQRCBA假设存在，仍然分假设存在，仍然分 PQ=PR,PQ=RQ,PR=QR三种情况解答三种情况解答当当A、P、Q三点在一条直线上时三点在一条直线上时点点D、E分别是分别是AB、AC的中点的中点AP=PQPQABARQ=BAC=90AP=PQ=PRAQBCBQABACx=3.6当当PQ=RQ时时CQRCBAx=6当当PR=RQ时时R在在PQ的垂直平分线上的垂直平分线上E是是AC的中点，的中点，RQABR是是EC的中点的中点 CQRCBAx=7.525、如图，已知如图，已知ABC是边长

29、为是边长为6cm的等边三角形的等边三角形，动点动点P、Q同时从同时从A、B两点出发，分别沿两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点匀速运动，其中点P运动的速度是运动的速度是1cm/s,点点Q运动的运动的速度是速度是2cm/s当点当点Q到达点到达点C时时，P、Q两点都停止两点都停止运动，设运动时间为运动，设运动时间为t(s),解答下列问题解答下列问题：当当t=2时时，判断判断BPQ的形状，并说明理由的形状，并说明理由；设设BPQ的面积为的面积为S(cm 2),求求S与与t的函数关系式的函数关系式；作作QRBA交交AC于点于点R,连结连结PR,当当t为何值时为何值时，APRPRQ?当当t=2时，

30、时，BPQ是等边三角形是等边三角形作作QDPB于于DABC是等边三角形是等边三角形,BQ=2tB=60BD=t,QD=AP=tBP=AB-Ap=6-t QRAB，ABC为等边三角形为等边三角形CRQ为等边三角形为等边三角形AR=BQ=2t,BD=AP=t 当当 时时APRPRQ A=B,APR=PRDAPRBDQDPR=PDQ=90四边形四边形PDQR是矩形是矩形RQ=PD=AB-AP-BD=6-2tt=1.2当当t=1.2s时时 APRPRQ26、如图，四边形如图，四边形ABCD中中，AD=CD,DAB=ACB=90,过点过点D作作DEAC,垂足作为垂足作为F,DE与与AB相交于点相交于点E

31、.(1)求证求证：AB AF=CB CD(2)已知已知AB=15cm,BC=9cm,P是射线是射线DE上的动点上的动点，设设DP=xcm(x0),四边形四边形BCDP的面积为的面积为ycm2:求求y关于关于x的函数关系式的函数关系式；当当x为何值时为何值时，PBC的周长的周长 最小最小，并求出此时并求出此时y的值的值。证明：证明：(1)DEBCB=3,AFD=ACB=90又又DAB=ACB=901+B=2+3=901=2AFDBCA又又AD=CD(2)S四边形四边形BCDP=(BC+PD)CFAF=CF=6cm当当PC+PB最短时最短时PBC的周长最小的周长最小当当PC+PB最短时最短时PBC的周长最小的周长最小AD=CD,AEAC点点C与点与点A关于关于DE对称对称 AB交交DE于于E点点P与点与点E重合时重合时 PC+PB=AB最短最短 AD=10cm x=12.5cmy=312.527 =64.5cm2当当x=12.5cm时，时，PBC的周长最小的周长最小