向量在平面几何中的应用

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1、2.4.1 向 量 在 平 面 几 何 中 的 应 用 平 面 几 何 中 的 向 量 方 法 向 量 的 概 念 和 运 算 ， 都 有 明 确 的 物 理 背 景 和几 何 背 景 。 当 向 量 与 平 面 坐 标 系 结 合 以 后 ， 向量 的 运 算 就 可 以 完 全 转 化 为 “ 代 数 ” 的 计 算 ，这 就 为 我 们 解 决 物 理 问 题 和 几 何 研 究 带 来 极 大的 方 便 。 由 于 向 量 的 线 性 运 算 和 数 量 积 运 算 具 有鲜 明 的 几 何 背 景 ， 平 面 几 何 的 许 多 性 质 ， 如 平移 、 全 等 、 相 似 、 长

2、度 、 夹 角 都 可 以 由 向 量 的线 性 运 算 及 数 量 积 表 示 出 来 ， 因 此 ， 利 用 向 量方 法 可 以 解 决 平 面 几 何 中 的 一 些 问 题 。 例 如 ， 向 量 数 量 积 对 应 着 几 何 中 的 长 度 .如 图 ： 平 行 四 边 行 ABCD中 ， 设 ， 则 ,AB a AD b AC AB BC a b DB AB AD a b 22 2| |AD b AD 22 2| |AB a AB 向 量 的 夹 角 为 BAD.,AB AD 例 1.如 图 ， 已 知 平 行 四 边 形 ABCD中 ， E、 F在对 角 线 BD上 ， 并

3、且 BE=FD， 求 证 AECF是 平行 四 边 形 。 证 明 ： 由 已 知 设 ,AB DC a BE FD b AE AB BE a b FC FD DC b a AE FC 即 边 AE、 FC平 行 且 相 等 ， AECF是 平 行 四 边 形 （ 1） 建 立 平 面 几 何 与 向 量 的 联 系 ， 用 向 量 表示 问 题 中 涉 及 的 几 何 元 素 ， 将 平 面 几 何 问 题转 化 为 向 量 问 题 ；（ 2） 通 过 向 量 运 算 ， 研 究 几 何 元 素 之 间 的 关系 ， 如 距 离 、 夹 角 等 问 题 ；（ 3） 把 运 算 结 果 “ 翻

4、 译 ” 成 几 何 元 素 。用 向 量 方 法 解 决 平 面 几 何 问 题 的 “ 三 步曲 ” ：简 述 ： 形 到 向 量 向 量 的 运 算 向 量 和 数 到 形 例 2. 求 证 平 行 四 边 形 对 角 线 互 相 平 分 M D C BA 证 明 ： 如 图 ， 已 知 平 行 四 边 形 ABCD的 两 条对 角 线 相 交 于 M， 设 ,AM xAC BM yBD 则 ,AM xAC xAB xAD ( ) (1 )AM AB BMAB yBDAB y AD ABy AB yAD 根 据 平 面 向 量 基 本 定 理 知 ， 这 两 个 分 解式 是 相 同 的

5、 ， 所 以1x yx y 解 得 1212xy 所 以 点 M是 AC、 BD的 中 点 ， 即 两 条 对角 线 互 相 平 分 . 例 3.已 知 正 方 形 ABCD， P为 对 角 线 AC上 任 意一 点 ， PE AB于 点 E， PF BC于 点 F， 连 接DP、 EF， 求 证 DP EF。 P F E D C BA 证 明 ： 选 择 正 交 基 底 ,AB AD在 这 个 基 底 下(1,0), (0,1)AB AD 设 ( , )AP a a (1 ,0), (0, )EB a BF a P F E D C BA (1 , )EF a a ( , 1)DP AP AD

6、 a a (1 , ) ( , 1) (1 ) ( 1) 0DP EF a a a aa a a a 所 以 DP EF 因 此 DP EF. 例 4、 证 明 平 行 四 边 形 四 边 平 方 和 等 于 两 对 角 线 平 方 和A BD C已 知 ： 平 行 四 边 形 ABCD。求 证 ： 222222 BDACDACDBCAB bADaAB ,解 ： 设 ， 则 baDBbaACaDAbBC ;,分 析 ： 因 为 平 行 四 边 形 对 边 平 行 且 相等 ， 故 设 其 它 线 段 对 应 向量 用 它 们 表 示 。 bADaAB , )(2 222222 baDACDBC

7、AB 2222 babaBDAC 22222222 2222 bababbaabbaa 222222 BDACDACDBCAB 例 5 如 图 ， ABCD中 ， 点 E、 F分 别 是 AD 、 DC边 的 中 点 ， BE 、 BF分 别 与 AC交 于 R 、 T两 点 ， 你 能 发 现 AR 、 RT 、 TC之 间 的 关 系 吗 ？ A B CDE FR T猜 想 ：AR=RT=TC , , ,AB a AD b AR r A C a b 由 于 与 共 线 ， 故 设AR AC ( ),r n a b n R 又 因 为 共 线 ，所 以 设 E R E B 与 12( )ER mEB m a b 因 为 所 以 A R A E E R 1 12 2( )r b m a b 1 12 2( ) ( )n a b b m a b 因 此 A B CDE FR T 解 ： 设 则 1 02( ) ( )mn m a n b 即 ,a b由 于 向 量 不 共 01 02n mmn 线 ， 1解 得 ： n= m = 31 1 13 3 3, ,AR AC TC AC RT AC 所 以 同 理 于 是故 AT=RT=TC A B CDE FR T