沪科版七年级数学下册-第八章-8.3完全平方公式与平方差公式——完全平方公式-典型例题讲义

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1、8.3完全平方公式与平方差公式完全平方公式 典型例题讲义例1 利用完全平方公式计算：（1）；（2）；（3）例2 计算：（1）；（2）；（3）例3用完全平方公式计算：（1）； （2）； （3）例4 运用乘法公式计算：（1）； （2）；（3）例5 计算：（1）；（2）；（3）例6 利用完全平方公式进行计算：（1）；（2）；（3）例7已知，求下列各式的值（1）；（2）；（3）例8 若，求证：参考答案例1 分析：这几个题都符合完全平方公式的特征，可以直接应用该公式进行计算解：（1）；（2）；（3）说明：（1）必须注意观察式子的特征，必须符合完全平方公式，才能应用该公式；（2）在进行两数和或两数差的平方

2、时，应注意将两数分别平方，避免出现的错误例2 分析：（2）题可看成，也可看成；（3）题可看成，也可以看成，变形后都符合完全平方公式解：（1） （2）原式 或原式 （3）原式 或原式 说明：把题目变形为符合公式标准的形式有多种方式，做题时要灵活运用例3分析：第（1）小题，直接运用完全平方公式为公式中a，为公式中b，利用差的平方计算；第（2）小题应把化为再利用和的平方计算；第（3）小题，可把任意两项看作公式中a，如把作为公式中的a，作为公式中的b，再两次运用完全平方公式计算解：（1）= （2）= （3） =说明：运用完全平方公式计算要防止出现以下错误：，例4 分析：第（1）小题先用平方差公式计算前

3、两个因式的积，再利用完全平方式计算第（2）小题，根据题目特点，两式中都有完全相同的项，和互为相反数的项b，所以先利用平方差公式计算与的积，再利用完全平方公式计算；第三小题先需要利用幂的性质把原式化为，再利用乘法公式计算解：（1）原式= （2）原式= = （3）原式= =说明：计算本题时先观察题目特点，灵活运用所学过的乘法公式和幂的性质，以达到简化运算的目的例5 分析：（1）和（3）首先我们都可以用完全平方公式展开，然后合并同类项；第（2）题可以先根据平方差公式进行计算，然后如果还可以应用公式，我们继续应用公式解：（1）；（2） ；（3） 说明：当相乘的多项式是两个三项式时，在观察时应把其中的两

4、项看成一个整体来研究例6 分析：在利用完全平方公式求一个数的平方时，一定要把原有数拆成两个数的和或差解：（1）；（2）（3）说明：在利用完全平方公式，进行数的平方的简算时，应注意拆成的两个数必须是便于计算的两个数，这才能达到简算的目的例7分析：（1）由完全平方公式，可知，可求得；（2）；（3）解：（1）（2）（3） 说明：该题是是灵活运用，变形为，再进行代换例8 分析：由已知条件展开，若能得出就可得到进而同时此题还用到公式证明：由得则即得课后提升1计算（1）（5x2y）2+20xy；（2）（x3）2（x+3）2；（3）（3x5）2（2x+7）2；（4）（x+y+1）（x+y1）2计算（1）89

5、.82； （2）4729427+2723已知（x+y）2=25，（xy）2=9，求xy与x2+y2的值4南湖公园有一正方形草坪，需要修整成一长方形草坪，在修整时一边长加长了4m，另一边长减少了4m，这时得到的长方形草坪的面积比原来正方形草坪的边长减少2m后的正方形面积相等，求原正方形草坪的面积是多少5多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是_（填上正确的一个即可，不必考虑所有可能的情况）6我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n

6、（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等等（1）根据上面的规律，写出（a+b）5的展开式（2）利用上面的规律计算：25524+10231022+521参考答案1解：（1）（5x2y）2+20xy=25x220xy+4y2+20xy=25x2+4y2；（2）（x3）2（x+3）2=（x29）2=x418x2+81；（3）（3x5）2（2x+7）2=9x230x+25（4x2+2

7、8x+49）=9x230x+254x228x49=5x258x24；（4）（x+y+1）（x+y1）=（x+y）+1（x+y）1=（x+y）21=x2+2xy+y212解：（1）（89.8）2=（900.2）2=90220.290+0.22=8064.04；（2）4729427+272=47224727+272=（4727）2=202=4003解：（x+y）2=25，（xy）2=9，x2+2xy+y2=25，x22xy+y2=9，得，4xy=16，解得xy=4，+得，2（x2+y2）=34，解得x2+y2=17故答案为：4，174解：设原正方形草坪的边长为xm，则（x+4）（x4）=（x2）2，x216=x24x+4，解得：x=5，故原正方形的面积为：x2=52=25（m2）5解：4x24x+1=（2x1）2，加上的单项式可以是4x故答案为：4x（答案不唯一）6解：（1）（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5（3分）（2）原式=25+524（1）+1023（1）2+1022（1）3+52（1）4+（1）5（5分）=（21）5=1（6分）