《级数教学》PPT课件

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1、1 无 穷 级 数 是 高 等 数 学 的 一 个 重 要 组 成 部 分 ,它 是 表 示 函 数 、 研 究 函 数 的 性 质 以 及 进 行 数 值计 算 的 一 种 工 具 . 一 、 级 数 的 基 本 概 念 计 算 圆 的 面 积 R正 六 边 形 的 面 积正 十 二 边 形 的 面 积 1a 21 aa 正 形 的 面 积n23 naaa 21 naaaA 21即 2 nn n uuuuu 3211 (常 数 项 )无 穷 级 数一 般 项部 分 和 数 列 ni inn uuuuS 121 级 数 的 部 分 和, 11 uS ,212 uuS ,3213 uuuS ,2

2、1 nn uuuS 3 当 n 时 ,如 果 级 数 1n nu 的 部 分 和 数 列 nS 有 极 限 S , 如 果 数 列 nS 没 有 极 限 ,则 称 无 穷 级 数 1n nu 发 散 . 即 SSnn lim ,则 称 无 穷 级 数 1n nu 收 敛 , 这 时 极 限 S 叫 做 级 数 1n nu 的 和 ， 并 写 成 Sun n 1 4 解 ，如 果 1q 12 nn aqaqaqaS ，qaqa n 1,1时当 q 0lim nn q qaSnn 1lim,1时当 q nn qlim nn Slim 收 敛发 散 例 1 讨 论 等 比 级 数 (几 何 级 数

3、) nn n aqaqaqaaq 20 )0( a的 收 敛 性 . 5 ，如 果 1q ,1时当 q ,1时当 q naSn 发 散 aaaa级 数 变 为,lim 不 存 在n n S 发 散 综 上 所 述 , 发 散时当 收 敛时当 ,1| ,1|0 qqaqn n qa1 6 公 元 前 五 世 纪 ,以 诡 辩 著 称 的 古 希 腊 哲 学 家 齐 诺 (Zeno)用 他 的 无 穷 、 连 续 以 及 部 分 和 的 知 识 ,引 发 出 以 下 著 名 的 悖 论 ： 如 果 让 阿 基 里 斯 (Achilles,古 希 腊 神 话 中 善 跑 的 英 雄 )和 乌龟 之

4、间 举 行 一 场 赛 跑 ,让 乌 龟 在 阿 基 里 斯 前 头 1000米 开 始 ,假 定阿 基 里 斯 的 速 度 是 乌 龟 的 10倍 ,也 永 远 也 追 不 上 乌 龟 .齐 诺 的 理论 依 据 是 ： 当 比 赛 开 始 的 时 候 ,阿 基 里 斯 跑 了 1000米 ,此 时 乌 龟仍 然 前 于 他 100米 ； 当 阿 基 里 斯 跑 了 下 一 个 100米 时 ,乌 龟 仍 然前 于 他 10米 , 如 此 分 析 下 去 ,显 然 阿 基 里 斯 离 乌 龟 越 来 越 近 ,但 却 是 永 远也 追 不 上 乌 龟 的 .这 个 结 论 显 然 是 错 误

5、 的 ,但 奇 怪 的 是 ,这 种 推 理在 逻 辑 上 却 没 有 任 何 毛 病 .那 么 ,问 题 究 竟 出 在 哪 儿 呢 ？ 7 如 果 我 们 从 级 数 的 角 度 来 分 析 这 个 问 题 ,齐 诺 的 这 个 悖 论就 会 不 攻 自 破 . 设 乌 龟 的 速 度 为 v,则 阿 基 里 斯 的 速 度 为 10v,他 跑 完 1000米 所 化 的 时 间 为 vv 100101000 ,在 这 段 时 间 里 ,乌 龟 又 爬 了 100 100 vv 米 , 阿 基 里 斯 为 跑 完 这 段 路 又 花 费 时 间 vv 1010100 ,此 时 乌 龟 又

6、在 他 前 面 10 米 处 , ,依 次 类 推 ,阿 基 里 斯 需 要 追 赶 的 全 部 路 程 为 101001000 这 是 一 个 公 比 为 110 1 q 的 几 何 级 数 ,易 求 得 它 的 和 为 ，91111191000010111000 8 也 就 是 说 ,如 果 赛 程 比 这 个 距 离 短 ,则 乌 龟 胜 ； 如 果 赛 程 恰 好 等 于 这 个 距 离 ,则 双 方 平 分 秋 色 ； 否 则 ,阿 基 里 斯 就 要 在 距 离 起 点911111 处 追 上 并 超 过 乌 龟 . ，91111191000010111000 9 解 )12)(1

7、2( 1 nnun ,)12 112 1(21 nn )12()12( 1531311 nnSn )12 112 1(21)5131(21)311(21 nn)12 11(21 n . 21, 且 和 为级 数 收 敛 ,)(21 n 例 2 讨 论 无 穷 级 数 )12()12( 1531311 nn的 收 敛 性 . 10 讨 论 级 数 1 )11ln(n n 的 敛 散 性 . nn ln)1ln( , 所 以 解 例 3 )11ln( nun )1ln( n nnS n ln)1ln(2ln3ln1ln2ln n所 以 级 数 发 散 . 11 性 质 1 (级 数 收 敛 的 必

8、 要 条 件 ) 若 级 数 1n nu 收 敛 ,则 必 有 0lim nn u . 证 明 ，SSnn lim ,1 nnn SSu )(limlim 1 nnnnn SSuSS .0 1limlim nnnn SS 12 若 级 数 1n nu 收 敛 ,则 必 有 0lim nn u . 说 明 ：1、 如 果 级 数 的 一 般 项 不 趋 于 零 ,则 级 数 发 散 ； 1)1(433221 1 nnn例 如 级 数 发 散 ；,0 nu所 以,1| nu n2cos8cos4cos2cos ，再 如 ,012coslim n 级 数 发 散 。 13 2、 必 要 条 件 不

9、充 分 ： 若 0lim nn u ,级 数 却 不 一 定 收 敛 . 再 举 一 个 重 要 例 子 ： 1 1312111n nn , 01lim nn ,但 级 数 是 否 收 敛 ? 如 1 )11ln(n n : ,)(0) 11ln( nn 但 级 数 发 散 。 调 和 级 数 14 讨 论 nnnSS nn 2121112 nn2., S其 和 为假 设 调 和 级 数 收 敛 ）（ nn n SS 2lim SS ,0 .级 数 发 散,)(210 n便 有于 是 矛 盾 ， 1 1312111n nn , 调 和 级 数 ,21 15 (1) 如 果 级 数 1n nu

10、收 敛 ,则 1n nku 亦 收 敛 ， 且 有 由 级 数 收 敛 的 定 义 ， 以 及 极 限 的 性 质 ， 不 难 证 明 。.11 n nn n ukku (2) 如 果 级 数 1n nu 、 1n nv 都 收 敛 ,则 1 )(n nn vu .) 111 n nn nn nn vuvu（也 收 敛 ,且 有 性 质 2 线 性 运 算 性 质 16 注 : (1) 不 能 由 1 )(n nn vu 收 敛 推 出 1n nu 、 1n nv 收 敛 ； (2) 若 1n nu 收 敛 ,而 1n nv 发 散 ,则 1 )(n nn vu 必 发 散 . 证 假 设 1

11、 )(n nn vu 收 敛 , 由 nnnn uvuv )( , 而 已 知 1n nu 收 敛 , 由 上 述 性 质 得 1n nv 收 敛 , 矛 盾 . 所 以 1 )(n nn vu 发 散 . 17 性 质 3 收 敛 级 数 任 意 加 括 号 后 仍 收 敛 ,且 其 和 不 变 . 证 略 。注 收 敛 级 数 去 括 弧 后 所 成 的 级 数 不 一 定 收 敛 . )11()11(推 论 如 果 加 括 弧 后 所 成 的 级 数 发 散 ,则 原 级 数 也 发 散 . 例 如 例 如 ， 若 级 数 1n nu 收 敛 ， 1 212 )(n nn uu 、 1

12、31323 )(n nnn uuu 均 收 敛 ， 则 级 数 且 和 不 变 . 18 去 掉 、 添 加 或 改 变 级 数 中 的 有 限 项 ,不 会 影 响性 质 4它 的 敛 散 性 (但 收 敛 级 数 的 和 可 能 要 改 变 ). 证 略 。 19 已 知 2)1(1 1 n nn u , 51 12 n nu , 求 1n nu . 解例 4 由 性 质 3， 2)1(1 1 n nn u ,2)( 1 212 n nn uu由 性 质 2， 1 2n nu 1 21212 )(n nnn uuu 1 2121 12 )(n nnn n uuu ,325 所 以 1 21

13、2 )(n nn uu 1 21 12 n nn n uu ,8注 意 ： 不 能 去 括 号 20 所 以 8lim 2 nn S , ,8)(1 212 n nn uu ，记 nn uuuS 21 由 性 质 2， 2)1( 1 1 n nn u ,0lim nn u所 以 12lim nn S )(lim 22 nnn uS ,8 SSSS SS nnnn nn lim limlim 122.8lim1 nnn n Su于 是 已 知 2)1(1 1 n nn u , 51 12 n nu , 求 1n nu . 解例 4 21 1. 0 )4531(n nn 649 . 例 5 判 断 下 列 级 数 的 敛 散 性 ： 因 为 ,310n n 0 41n n 都 收 敛 ， 故 原 级 数 收 敛 ，解且 和 为 0 )4531(n nn 00 41531 n nn n411 5311 1 22 2. 1100 5110321 n n 3. n2 1614121 1 121 n n 例 5 判 断 下 列 级 数 的 敛 散 性 ： 收 敛 ；发 散 。