解一元一次方程的技法与思路

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1、 數 學 課 程 指 引 (小 一 至 小 六 ) 2000 代 數 範 疇學 生 須 懂 得 利 用 代 數 符 號 作 記 錄 ， 列 出 方 程 及 解 不 超過 兩 步 計 算 的 方 程 。 在 學 習 列 方 程 及 解 方 程 前 ， 學 生須 掌 握 加 法 、 減 法 、 乘 法 和 除 法 算 式 中 各 部 分 之 間 的關 係 ， 以 便 他 們 能 根 據 這 些 關 係 求 未 知 數 。 方 程 不 應包 括 同 類 項 運 算 ， 所 涉 及 的 數 字 不 宜 太 繁 複 ， 只 可 有一 個 未 知 數 ， 且 分 母 亦 不 可 含 有 未 知 數 。 在

2、 解 方 程 後 ，教 師 應 要 求 學 生 用 正 確 的 驗 算 方 式 ， 進 行 驗 算 。 TSA 已 教 課 程 課 前 預 測 / 評 估 所 在 地 是 從 家 出 發 ， 經 過 若 干 路 程 到 逹 ， 若 行 回 頭 路 就 可 回 到 家 中 。 結 果 是 從 未 知 數 出 發 ， 經 過 若 干 運 算 而 成 ， 若 進 行 逆 運 算 就 可 得 到 未 知 數 (方 程 的 解 )。用 於 描 述 未 知 數 經 過 若 干 運 算 得 一 結 果 的 方 程 針 對 未 知 數 出 現 一 次 的 方 程 進 行 逆 末 運 算 ， 逐 步 還 原 。

3、 原 則 ： 加 減 互 逆 、 乘 除 互 逆 。練 習 /課 堂 活 動目 的 ： 了 解 方 程 的 含 意 ， 弄 清 當 中 的 運 算 次 序 。 33 10)14(3 x )14(3 x 1014x 3104x 3131 +1x 3524 4 44 104 2)1(3 x 4 2)1(3 x 102)1(3 x 40)1(3 x 422 +21x 143 3x 13+1 1 33 )14(3 x 1014x 3104x 3131 +1x 3524 4 逆 末 運 算 簡 化 方 程 末 運 算3 3)14(3 x 1014x 3104x 313 1+1 x 352 4 4 逆 末

4、 運 算 簡 化 方 程 末 運 算4 44 2)1(3 x 102)1(3 x 40)1(3 x 42 2+2 1x 14 33 x 13 +11 11710 y 0542 m 125 )32(4 p可 以 ！ 但 需 重 組 方 程 。 連 續 加 減 ， 次 序 可 變 ： 例 ： 1 + 2 = 2 + 1 = 3 例 ： 3 + 4 = 4 + 3 = -1 例 ： - 2 + 3 = 3 - 2 = 1 例 ： - 1 - 2 = - 2 - 1= - 3abba abba abba abba 方 程 y+17=33 和 方 程 17+y=33 是 否 同 解 ？方 程 2y-7=

5、3 和 方 程 -7+2y=3 是 否 同 解 ？為 何 ？ 11710 y 0542 m 125 )32(4 p 11107 y 0254 m 125 )23(4 p練 習 ： 重 組 方 程 後 ， 用 逆 末 運 算 表 解 方 程 一 元 方 程 表 逹 未 知 數 值 有 左 方 等 於 右 方 的。 為 求 得 知 未 知 數 使 相 等 關 係 成 真 的 值， 我 們 就 需 進 行 。 在 解 方 程 時 ， 目 的 在 這 ，直 到 求 出 方 程 的 解 。(即 得 知 未 知 數 使 相 等 關 係 成 真 的 值 ) 對 方 程 進 行 ，從 而 簡 化 相 等 關

6、係 ， 直 至 得 解 。方 程 ： 左 方 = 右 方 同 解 變 形 未 知 數 = 確 知 數 值 (解 ) 方 程 ： 2x 3 = 9 方 程 ： 4x 3 = 2x + 5同 解 變 形同 解 變 形 x = 6 (解 ) x = 4 (解 ) 2x 3 = 9 2x 3 + 3 = 9 + 3 2x = 12 2x 2 = 12 2 x = 6每 行 都 是 一 方 程 / 相 等 關 係 ，有 著 同 一 的 解 (x = 6)。解 (x = 6)能 使 每 行 的 相 等 關 係 成 真 。不 能 加 等 號 於 每 行 之 首 ！ (一 ) 恆 等 變 形 將 左 右 兩

7、方 各 自 作 恆 等 變 形 (包 括 化 簡 、 展 開 、 因 式 分 解 、 通 分 等 ) 合 併 同 類 、 去 括 號 (二 ) 等 式 性 質 ( 平 衡 原 理 / 天 平 法 則 ) 1. 如 果 X=Y， 那 麼 X a = Y a， X b =Y b。 移 項 歸 類 2. 如 果 X=Y， 那 麼 cX=cY， X d=Y d（ c， d0） 。 倍 方 程 路 途 回 歸 法 中 的 逆 末 運 算其 實 是 使 用 天 平 法 則 ， 也 是 同 解 變 形 。 (逆 末 運 算 )BAx ABAAx ABx 3x = 24 x = 815x - 12x = -1

8、1 + 35 ？ 合 併 同 類 目 的 ： 將 在 方 程 同 一 邊 的 同 類 項 進 行 合 併 ， 用 以 簡 化 方 程 (減 少 未 知 數 及 數 值 的 數 目 )。 rqpcxbxax BAx (一 ) 若 干 常 數 項 /數 值 的 加 減 ， 簡 化 成 一 個 常 數 項 /數 值 。 有 向 數 /正 負 數 的 加 減 rqp B (二 ) 若 干 未 知 數 項 的 加 減 ， 簡 化 成 一 個 未 知 數 項 。 係 數 的 概 念 、 有 向 數 /正 負 數 的 加 減 cxbxax xcba )( Ax 關 注 ： Dyscalculia / MD

9、(數 障 )！ 移 項 歸 類 目 的 ： 將 未 知 數 移 至 方 程 的 一 邊 ， 而 數 值 移 至 另 一 邊 。 為 合 併 同 類 作 預 備 。15x - 12x = -11 + 35 3x = 24 (合 併 同 類 ) x = 8 (逆 末 運 算 )15x - 35 = 12x -11 ？ 運 用 等 式 性 質 1 ， 也 可 視 作 加 減 的 逆 末 運 算 的 結 果 。教 學 活 動 ： (方 形 咭 背 後 為 一 x項 ， 圓 形 咭 後 為 數 值 ) 教 學 活 動 (續 )： 教 學 活 動 總 結 ：讓 學 生 觀 察 ， 找 出 規 律 ， 發

10、現 移 項 的 變 形 方 法 。以 口 訣 移 加 作 減 、 移 減 作 加 幫 助 記 憶 。給 出 移 項 的 概 念 ： 把 方 程 中 的 某 一 項 ， 從 方 程 的 一 邊 移 到 另 一 邊 ， 需 改 變 符 號 ， 這 種 變 形 叫 做 移 項 。習 慣 上 把 含 有 未 知 數 的 項 移 到 左 方 ， 不 含 未 知 數 的 項 (數 值 )移 到 右 方 。 但 有 時 為 求 簡 單 (令 最 終 的 係 數 為 正 )， 也 可 靈 活 處 理 。通 過 練 習 加 以 鞏 固 ， 達 到 靈 活 運 用 移 項 歸 類 15x - 35 = 12x -

11、11 ？ 15x - 12x = -11 + 35 3x = 24 x = 8 5(3x - 7) = 12x - 11 ？ 可 否 移 項 歸 類 ？15x - 35 = 12x - 11 15x - 12x = -11 + 35 (移 項 歸 類 ) 3x = 24 (合 併 同 類 ) x = 8 (逆 末 運 算 ) 去 括 號 目 的 ： 撤 去 括 號 有 便 於 移 項 歸 類 及 合 併 同 類 。若 方 程 含 有 括 號 ， 我 們 必 須 先 撤 去 括 號(展 開 當 中 的 項 )， 才 可 移 項 歸 類 。 基 於 乘 法 分 配 性 質 。mbmabam )(

12、mbxmabaxm )()(mbmabam )( mbxmabaxm )()(mbmabam )( mbxmabaxm )()(mbmabam )( mbxmabaxm )()(nbnaban )( nbxnabaxn )()(nbnaban )( nbxnabaxn )()( nbnaban )( nbxnabaxn )()(nbnaban )( nbxnabaxn )()( 讓 學 生 自 我 發 現 去 括 號 規 律 。再 完 成 跟 進 練 習 。 要 訣 ： 同 號 正 、 異 號 負 ； 括 前 正 正 負 不 變 、 括 前 負 正 負 號 變 。 多 層 括 號 ：去 括 號

13、 可 由 內 而 外 ， 也 可 由 外 而 內 。 多 層 括 號 (另 例 )：由外而內還是由內而外較好？ 5(3x - 7) = 12x -11 15x - 35 = 12x - 11 (去 括 號 ) 15x - 12x = -11 + 35 (移 項 歸 類 ) 3x = 24 (合 併 同 類 ) x = 8 (逆 末 運 算 ) ？601151273 xx 倍 方 程 目 的 ： 係 數 變 整 (去 分 母 、 去 小 數 ) ， 簡 化 方 程 。 讓 學 生 自 我 發 現 倍 多 少 ：哪 個 變 形 對 解 方 程 有 幫 助 ？ 哪 個 變 形 對 解 方 程 有 幫

14、 助 ？有 否 更 佳 的 變 形 對 解 方 程 有 幫 助 ？ ？601151273 xx倍 方 程 ： 60！ 總 結 ：乘 以 所 有 分 母 的 最 小 公 倍 數左 方 、 右 方 都 要 乘每 項 都 要 乘 ， 不 可 漏 乘 不 含 分 母 項分 子 多 過 一 項 ， 作 為 一 整 體 要 加 括 號不 能 直 接 把 分 母 去 掉 ， 需 通 過 約 分 約 去 分 母除 去 分 母 外 ， 倍 方 程 也 可 用 於 去 小 數 倍 方 程 也 可 倍 細 方 程 ， 例 ： 440 x+640=3280 u與 前 表 四 個 練 習 為 一 系 列 。u用 簡 表

15、 做 此 練 習 可 輕 易 將 需 做 的 變 形 分 類 安 排 在 前 四 個 練 習 中 。 (留 意 一 題 多 法 )u學 生 在 不 同 學 習 階 段 完 成 前 四 個 練 習 後 ， 應 能 輕 易 完 成 此 練 習 。 盼 藉 此 給 學 生 信 心 解 較 難 的 方 程 。u注 意 此 一 系 列 用 了 不 同 的 字 母 ， 方 便 初 學 或 能 力 稍 遜 的 同 學 參 照 。u教 師 可 設 計 多 幾 個 系 列 ， 可 在 一 系 列 中 全 用 同 一 字 母 ， 鼓 勵 同 學 不 作 無 謂 的 參 照 ， 進 一 步 提 升 信 心 。 l創

16、 設 問 題 情 境 激 發 學 生 的 求 知 欲 。 數 學 家 丟 番 圖 墓 碑 上 短 詩 謎 題 老 師 的 年 歲 或 生 日 月 份 。l從 錯 誤 中 學 習 ； 收 集 同 學 錯 解 方 程 的 做 法 ， 讓 同 學 找 出 錯 誤 並 更 正 。l一 題 多 解 法 。 鼓 勵 分 享 觀 摩 、 勇 於 嘗 試 。l教 學 生 方 法 去 設 計 某 一 定 解 的 方 程 ， 進 行 互 相 出 題 目 交 換 求 解 的 活 動 。l預 備 較 難 的 BONUS題 給 能 力 較 高 的 同 學 ， 模 擬 例 子 及 提 示 錦 囊 給 能 力 稍 遜 的 同 學 。 完謝謝!