概率论与数理统计(IV)

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1、一 、 样 本 空 间 样 本 点 三 、 随 机 事 件 间 的 关 系 及 运 算 二 、 随 机 事 件 的 概 念四 、 小 结 第 二 节 样 本 空 间 、 随 机 事 件 问 题 随 机 试 验 的 结 果 ?定 义 随 机 试 验 E 的 所 有 可 能 结 果 组 成 的 集 合称 为 E 的 样 本 空 间 , 记 为 S .样 本 空 间 的 元 素 , 即 试 验 E 的 每 一 个 结 果 , 称 为样 本 点 .实 例 1 抛 掷 一 枚 硬 币 ,观 察 字 面 ,花 面 出 现 的 情 况 .,1 THS 一 、 样 本 空 间 样 本 点 字 面 朝 上H 花

2、 面 朝 上T 实 例 2 抛 掷 一 枚 骰 子 ,观 察 出 现 的 点 数 .6,5,4,3,2,12 S实 例 3 从 一 批 产 品 中 ,依 次 任 选 三 件 ,记 录 出 现 正 品 与 次 品 的 情 况 . . , , , , , , 3 DDDDNDDDNNDD DNNNDNNNDNNNS 则 ., 次 品正 品记 DN 实 例 4 记 录 某 公 共 汽 车 站 某 日 上 午 某 时 刻 的 等 车 人 数 . .,2,1,04 S实 例 5 考 察 某 地 区 12月 份 的 平 均 气 温 . . 215 TtTtS . 为 平 均 温 度其 中 t 实 例 6

3、从 一 批 灯 泡 中 任 取 一 只 , 测 试 其 寿 命 .06 ttS .t 的 寿 命为 灯其 中 泡实 例 7 记 录 某 城 市 120 急 救 电 话 台 一 昼 夜 接 到 的 呼 唤 次 数 .,2,1,07 S 答 案 .18 , ,5 ,4 ,3 .1 S . ,12 ,11 ,10 .2 S写 出 下 列 随 机 试 验 的 样 本 空 间 .1. 同 时 掷 三 颗 骰 子 ,记 录 三 颗 骰 子 之 和 .2. 生 产 产 品 直 到 得 到 10件 正 品 ,记 录 生 产 产 品 的 总 件 数 .课 堂 练 习 2. 同 一 试 验 , 若 试 验 目 的

4、 不 同 ,则 对 应 的 样 本 空 间 也 不 同 . 例 如 对 于 同 一 试 验 : “将 一 枚 硬 币 抛 掷 三次 ” . 若 观 察 正 面 H 、 反 面 T 出 现 的 情 况 ,则 样 本 空 间为若 观 察 出 现 正 面 的 次 数 , 则 样 本 空 间 为.3,2,1,0S ., , TTTTH TTTHH TT TH HH THH H TH H HS 说 明 1. 试 验 不 同 , 对 应 的 样 本 空 间 也 不 同 . 说 明 3. 建 立 样 本 空 间 ,事 实 上 就 是 建 立 随 机 现 象 的 数 学 模 型 . 因 此 , 一 个 样 本

5、 空 间 可 以 概 括 许 多 内 容 大 不 相 同 的 实 际 问 题 .例 如 只 包 含 两 个 样 本 点 的 样 本 空 间它 既 可 以 作 为 抛 掷 硬 币 出 现 正 面 或 出 现 反 面 的模 型 , 也 可 以 作 为 产 品 检 验 中 合 格 与 不 合 格 的 模型 , 又 能 用 于 排 队 现 象 中 有 人 排 队 与 无 人 排 队 的模 型 等 . , THS 所 以 在 具 体 问 题 的 研 究中 , 描 述 随 机 现 象 的 第 一 步就 是 建 立 样 本 空 间 . 随 机 事 件 随 机 试 验 E 的 样 本 空 间 S 的 子 集

6、称 为 E 的 随 机 事 件 , 简 称 事 件 .试 验 中 ,骰 子 “ 出 现 1点 ” , “出 现 2点 ” , ,“出 现 6点 ” ,“点 数 不 大 于 4”, “点 数 为 偶 数 ” 等 都 为 随 机 事 件 . 实 例 抛 掷 一 枚 骰 子 , 观 察 出 现 的 点 数 .1. 基 本 概 念二 、 随 机 事 件 的 概 念 实 例 上 述 试 验 中 “ 点 数 不 大 于 6” 就 是 必 然 事 件 .必 然 事 件 随 机 试 验 中 必 然 会 出 现 的 结 果 .不 可 能 事 件 随 机 试 验 中 不 可 能 出 现 的 结 果 . 实 例 上

7、 述 试 验 中 “ 点 数 大 于 6” 就 是 不 可 能 事 件 . 必 然 事 件 的 对 立 面 是 不 可 能 事 件 ,不 可 能 事件 的 对 立 面 是 必 然 事 件 ,它 们 互 称 为 对 立 事 件 .实 例 “ 出 现 1点 ” , “出 现 2点 ” , , “出 现 6点 ” .基 本 事 件 由 一 个 样 本 点 组 成 的 单 点 集 . 2. 几 点 说 明例 如 抛 掷 一 枚 骰 子 , 观 察 出 现 的 点 数 . 可 设 A = “点 数 不 大 于 4”,B = “点 数 为 奇 数 ” 等等 .(1) 随 机 事 件 可 简 称 为 事 件

8、 , 并 以 大 写 英 文 字 母 A, B, C, 来 表 示 事 件 (2) 随 机 试 验 、 样 本 空 间 与 随 机 事 件 的 关 系 每 一 个 随 机 试 验 相 应 地 有 一 个 样 本 空 间 , 样本 空 间 的 子 集 就 是 随 机 事 件 .随 机 试 验 样 本 空 间 子 集 随 机 事 件随机事件 基 本 事 件 必 然 事 件不 可 能 事 件复 合 事 件 互 为 对 立 事 件 .),2,1 ( , , ,的 子 集是 而的 样 本 空 间 为设 试 验S kABASE k 1. 包 含 关 系 若 事 件 A 出 现 , 必 然 导 致 B 出

9、现 ,则 称 事 件 B 包 含 事 件 A,记 作 .BAAB 或实 例 “ 长 度 不 合 格 ” 必 然 导 致 “ 产 品 不 合格 ”所 以 “ 产 品 不 合 格 ” 包 含 “ 长 度 不 合 格 ” .图 示 B 包 含 A. SBA三 、 随 机 事 件 间 的 关 系 及 运 算 2. A等 于 B 若 事 件 A 包 含 事 件 B， 而 且 事 件B 包 含 事 件 A， 则 称 事 件 A 与 事 件 B 相 等 ， 记 作 A=B.3. 事 件 A 与 B 的 并 (和 事 件 ). 和 事 件的事 件 与称 为 事 件或事 件B ABxAxxBA 实 例 某 种

10、产 品 的 合 格 与 否 是 由 该 产 品 的 长 度 与直 径 是 否 合 格 所 决 定 ,因 此 “ 产 品 不 合 格 ” 是 “ 长 度不 合 格 ” 与 “ 直 径 不 合 格 ” 的 并 .图 示 事 件 A 与 B 的 并 . SB ABA ; , , , 211 的 和 事 件个 事 件为称推 广 nknk AAAnA 4. 事 件 A 与 B 的 交 (积 事 件 ) .ABBA 或积 事 件 也 可 记 作 . , , 211 的 和 事 件为 可 列 个 事 件称 AAAkk . 积 事 件的与 事 件 称 为 事 件且事 件 BA BxAxxBA 图 示 事 件

11、A与 B 的 积 事 件 . SA BAB实 例 某 种 产 品 的 合 格 与 否 是 由 该 产 品 的 长 度 与 直 径 是 否 合 格 所 决 定 ,因 此 “ 产 品 合 格 ” 是“ 长 度 合 格 ” 与 “ 直 径 合 格 ” 的 交 或 积 事 件 . 和 事 件 与 积 事 件 的 运 算 性 质,AAA ,SSA ,AA ,AAA ,ASA .A ; , , , 211 的 积 事 件个 事 件为称推 广 nnk k AAAnA . , , 211 的 积 事 件为 可 列 个 事 件称 AAAk k 5. 事 件 A 与 B 互 不 相 容 (互 斥 ) 若 事 件

12、A 的 出 现 必 然 导 致 事 件 B 不 出 现 , B出 现 也 必 然 导 致 A不 出 现 ,则 称 事 件 A与 B互 不 相容 , 即 . ABBA实 例 抛 掷 一 枚 硬 币 , “出 现 花 面 ” 与 “ 出 现 字 面 ” 是 互 不 相 容 的 两 个 事 件 . “骰 子 出 现 1点 ” “ 骰 子 出 现 2点 ”图 示 A 与 B 互 斥 . SA B互 斥实 例 抛 掷 一 枚 骰 子 , 观 察 出 现 的 点 数 . 6. 事 件 A 与 B 的 差 由 事 件 A 出 现 而 事 件 B 不 出 现 所 组 成 的事 件 称 为 事 件 A 与 B

13、的 差 . 记 作 A- B.图 示 A 与 B 的 差 . SA B SABAB ABB BA实 例 “ 长 度 合 格 但 直 径 不 合 格 ” 是 “ 长 度 合格 ” 与 “ 直 径 合 格 ” 的 差 . 设 A 表 示 “ 事 件 A 出 现 ” , 则 “ 事 件 A 不 出 现 ”称 为 事 件 A 的 对 立 事 件 或 逆 事 件 . 记 作 .A实 例 “ 骰 子 出 现 1点 ” “ 骰 子 不 出 现 1点 ”图 示 A 与 B 的 对 立 . SB A若 A 与 B 互 逆 ,则 有 . ABSBA 且A7. 事 件 A 的 对 立 事 件 对 立 对 立 事 件

14、 与 互 斥 事 件 的 区 别S SA B A B AA、 B 对 立A、 B 互 斥 ABSBA 且AB互 斥 对 立 事 件 间 的 运 算 规 律 .,)1( BAABABBA 交 换 律 ),()()2( CBACBA 结 合 律 ,)()()( )3( BCACCBCACBA 分 配 律 .,:(4) BABABABA 摩 根 律德 则 有为 事 件设 , CBA ).()( BCACAB ).)()()()( CBCACBCACBA 例 1 设 A,B,C 表 示 三 个 随 机 事 件 ,试 将 下 列 事 件用 A,B,C 表 示 出 来 .(1) A 出 现 , B, C

15、不 出 现 ;(5) 三 个 事 件 都 不 出 现 ;(2) A, B都 出 现 , C 不 出 现 ;(3) 三 个 事 件 都 出 现 ;(4) 三 个 事 件 至 少 有 一 个 出 现 ;(6) 不 多 于 一 个 事 件 出 现 ; (7) 不 多 于 两 个 事 件 出 现 ;(8) 三 个 事 件 至 少 有 两 个 出 现 ;(9) A, B 至 少 有 一 个 出 现 , C 不 出 现 ;(10) A, B, C 中 恰 好 有 两 个 出 现 .解 ;)1( CBA ;)2( CAB ;)3( ABC;)4( CBA ;)5( CBA ;)8( BCACBACABABC

16、 ;)()9( CBA .)10( BCACBACAB ;ABC或 ;)6( CBACBACBACBA ,)7( BCACBA CABCBACBACBACBA (1)没 有 一 个 是 次 品 ; (2)至 少 有 一 个 是 次 品 ;(3)只 有 一 个 是 次 品 ; (4)至 少 有 三 个 不 是 次 品 ;(5)恰 好 有 三 个 是 次 品 ; (6)至 多 有 一 个 是 次 品 .解 ;)1( 4321 AAAA : ,)4,3,2,1( ,示 下 列 各 事 件 表试 用个 零 件 是 正 品产 的 第 表 示 他 生零 件设 一 个 工 人 生 产 了 四 个 ii Ai

17、i A2例 4321432143214321)2( AAAAAAAAAAAAAAAA 4321432143214321 AAAAAAAAAAAAAAAA 43214321 AAAAAAAA 43214321 AAAAAAAA 43214321 AAAAAAAA ,4321 AAAA;4321 AAAA或 ;)3( 4321432143214321 AAAAAAAAAAAAAAAA 4321432143214321)4( AAAAAAAAAAAAAAAA ;4321 AAAA ; )5( 4321 432143214321 AAAA AAAAAAAAAAAA .)6( 4321 43214321

18、43214321 AAAA AAAAAAAAAAAAAAAA 随 机 试 验 样 本 空 间 子 集 随 机 事 件随机事件 基 本 事 件必 然 事 件不 可 能 事 件复 合 事 件四 、 小 结1. 随 机 试 验 、 样 本 空 间 与 随 机 事 件 的 关 系 2. 概 率 论 与 集 合 论 之 间 的 对 应 关 系记 号 概 率 论 集 合 论S 样 本 空 间 ， 必 然 事 件 空 间 不 可 能 事 件 空 集e 基 本 事 件 元 素A 随 机 事 件 子 集A A的 对 立 事 件 A的 补 集BA A出 现 必 然 导 致 B出 现 A是 B的 子 集BA 事 件 A与 事 件 B相 等 集 合 A与 集 合 B相 等 BA 事 件 A与 事 件 B的 差 A与 B两 集 合 的 差 集AB 事 件 A与 B互 不 相 容 A与 B 两 集 合 中 没 有相 同 的 元 素BA 事 件 A与 事 件 B的 和 集 合 A与 集 合 B的 并 集AB 事 件 A与 事 件 B的积 事 件 集 合 A与 集 合 B的 交 集