定积分的换元法

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1、定 积 分 的 换 元 法 上一节我们建立了积分学两类基本问题之间的联系微积分基本公式，利用这个公式计算定积分的关键是求出不定积分，而换元法和分部积分法是求不定积分的两种基本方法，如果能把这两种方法直接应用到定积分的计算，相信定能使得定积分的计算简化，下面我们就来建立定积分的换元积分公式和分部积分公式。 先来看一个例子例1 40 12 2 dxxx换元求不定积分令12 xt则)1(21 2 txdtt ttdxxx 2212112 2 2 Ctt 2361 3Cxx 2123 )12(23)12(61故 40 32212 2 dxxx 为去掉根号令12 xt则2 12txtdtdx 当 x 从

2、0连续地增加到4时，t 相应地从1连续地增加到3)0121( xdxdt于是 31 240 322)3(2112 2 dttdxxx尝试一下直接换元求定积分 将上例一般化就得到定积分的换元积分公式 由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行换元，所不同的是不定积分换元时要回代原积分变量，而对定积分则只需将其上、下限换成新变量的上、下限即可计算出定积分，而不必回代原积分变量 一 、 换 元 公 式 假 设 （ 1） )(xf 在 , ba 上 连 续 ； （ 2） 函 数 )(tx 在 , 上 是 单 值 的 且 有 连 续导 数 ； （ 3） 当 t在 区 间 , 上 变 化 时 ， )(tx

3、的 值在 , ba 上 变 化 ， 且 a)( 、 b)( ， 则 有 dtttfdxxfba )()()( . 应 用 换 元 公 式 时 应 注 意 :（1） 用)(tx 把变量x换成新变量t时，积分限也相应的改变.（2） 求出)()( ttf 的一个原函数)(t后，不必象计算不定积分那样再要把)(t变换成原 变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代入)(t然后相减就行了. 计算 a dxxa0 22解1由定积分的几何意义 a dxxa0 22等于圆周的第一象限部分的面积4 2a解2 Caxaxaxdxxa arcsin22 22222 故 a dxxa0 22 4 2a ax22

4、xay o例2 令 a dxxa0 22 20 22cos tdta 202 )2cos1(2 dtta 42a解4令tax cos仍可得到上述结果tax sin tadx cos00 tx 2 tax解3 .sincos20 5 xdxx解令,cosxt ,sin xdxdt 2x ,0t 0 x ,1 t20 5 sincos xdxx 01 5dtt 1066t .61 例 3 计算 定积分的换元积分公式也可以反过来使用为方便计将换元公式的左、右两边对调同时把 x 换成 t ， t 换成 x dxxxf )()( ba dttf )(这说明可用 )(xt 引入新变量但须注意如明确引入新变

5、量，则必须换限如没有明确引入新变量，而只是把整体视为新变量，则不必换限)(xt 注 例 4 计算.sinsin0 53 dxxx解 xxxf 53 sinsin)( 23sincos xx 0 53 sinsin dxxx 0 23sincos dxxx 20 23sincos dxxx 2 23sincos dxxx 20 23 sinsin xdx 2 23 sinsin xdx 2025sin52 x 225sin52 x .54 例 5 计算.)ln1(ln43 ee xxx dx解原式 43 )ln1(ln )(lnee xx xd 43 )ln1(ln )(lnee xx xd 4

6、3 2)ln(1 ln2 ee xxd 43)lnarcsin(2 e ex .6 例 6 计算 a adxxax0 22 )0(.1解 一令,sintax ,costdtadx ax ,2 t 0 x ,0 t原式 20 22 )sin1(sin cos dttata ta 20 cossincos dttt t 20 cossin sincos121 dttt tt 20cossinln21221 tt .4 解二接解一对 20 cossincos dttt t令 20 cossincos dttt tI 20 cossincos dttt tJ则 20 2 dtJI 002)cosln(sincossin sincos20 ttdttt ttJI 4 JI 例 8 计算.11 cos211 22 dxx xxx解原式 11 2211 2 dxxx 11 211 cos dxxxx偶函数奇函数 10 22114 dxxx 10 2 22 )1(1 )11(4 dxx xx 10 2)11(4 dxx 10 2144 dxx.4 四分之一单位圆的面积 定积分的换元法dxxfba )( dtttf )()(几个特殊积分、定积分的几个等式 二 、 小 结