可测函数的收敛性续

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1、第 四 章 可 测 函 数 Eeaffnk 于. Effn 于若 ,则 必 有 fn的 子 列 fnk ，使 得 及 勒 贝 格 定 理 mE+Effn 于 Euaffn 于.Eeaffn 于.Lebesgue定 理 mE+子 列 Egfgf nn 于)2( Egfgf nn 于)3( Effn 于|)4( 注 ： (1),(2),(4)当 mE=+时 ,也 成 立 ； 条 件 mE+对 (3)来 说 不 可 少 .Ehfn 于 EggEff nn 于于 ,定 理 ： 令 mE+ ， ， 则 (1) 若 又 有 , 则 f(x)=h(x) a.e.于 E。 （ 2） 的 证 明 ： )()()

2、()( xgxfxgxf nn )()( xfxfn )()( xgxgn |( ) ( )| 0n nf g f gmE ， 即 得令 n Exgxfxgxf nn 于所 以 )()()()( 注 :(1),(4)的 证 明 类 似 ， 只 要 利 用 |)()(|)()(|)()()()(|)()(| xhxfxfxfxhxfxfxfxhxf nnnn |)()(|)(|)(| xfxfxfxf nn |)()(|)()(|)()()()(| xgxgxfxfxgxfxgxf nnnn 证 明 ： 由 于 2 2|( ) ( )| | | | | 0, n n n nf g f g f f

3、 g gmE mE mE 故 Egfgf nn 于则 ,EggEff nn 于于若 , |,0,0,0 fggf nnENnN 使 | | 0, 0, , * n nk kk f g fgn E 故 和 一 自 然 数 列 使 （ ）EeaffffEff ikikkk nnnn 于， 使的 子 列知 存 在于由 ., EeaggggEgg ijkijkikik nnnn 于， 使的 子 列知 存 在于由 ., ，于从 而 Eeafggf ijkijk nn . ，于得）定 理 （再 由 EfggfmELebesgue ijkijk nn , Egfgf nn 于这 与 （ *） 式 矛 盾 ，

4、 所 以 Egfgf nn 于证 明 ： 假 设 不 成 立 ， 则（ 3） 证 明 注 ： 令 ， 则 gn不 依 测 度 收 敛 于 g0)(,)( xgxg nxn | | 0 1, lim lim ( )ng gn nmE m n 对 有 ，注 ： 上 述 结 果 的 证 明 也 可 通 过fn gn fnk gnk fnk gnk fnki gnkiEeafggf ikik nn 于. Effxxfxxf nnn 于则 ,)(,)( 12nf 不 依 测 度 收 敛 于 f 2于 R Effn 于 Eeaff ikn 于.令 mE+， 则 对 fn 的 任 意 子 列fnk ,存 在

5、 fnk的 子 列 fnki ， 使 得 Eff kn 于Effn 于证 明 ： （ 必 要 性 ） 任 取 fn的 子 列 fnk ，由 于 当 然 有Eeaff ikn 于.由 Riesz定 理 知 ， 存 在 fnk的 子 列 fnki ，使 得 0,0 | 不 收 敛 于使 ffnmE Effn 于反 之 ： 假 设 不 成 立 ， 则显 然 fnk的 任 何 子 列 fnki都 不 依 测 度 收 敛 与 f，再 由 Lebesgue定 理 (mE+)的 逆 否 命 题 知 ， 显 然fnk的 任 何 子 列 fnki都 不 几 乎 处 处 收 敛 与 f ， Effn 于从 而 这

6、 与 条 件 矛 盾 ，| | ( 1,2,3, )nkf fmE k 故 存 在 fn的 子 列 fnk ， 使 得 | | 0, 0, 0, , nf fN n N E 使 m即 Exfxgn 于即 )()( 1| | 0, ( ) 0( 0)ng f n nmE m E F n 从 而 )()( xgxf ini 令 ， 即 得 我 们 所 要 的 结 果 。 nnnn nnn FEmxfxgF xgEEF 11 )()()( )(, 且上使 在 上 的 连 续 函 数， 及闭 集证 明 ： 由 鲁 津 定 理 的 推 论 知再 由 Riesz定 理 ， 存 在 gn(x) 的 子 列 gni(x)使 gni(x) f(x) a.e.于 E，