球面上两点间距离的求法

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1、球面上两点间距离的求法球面距离的定义：球上两点和球的球心三点可构成一个平面，称之为大圆，正视这个大圆 （从正面看），这两个点之间的弧线长即为球面两点间距离。球面距离不是指险段的长度而是 指的是弧长。地球表面某点的位置是用纬度和经度来确定的，我们只要知道球面两点的经纬度，就能求 出该两点的球面距离。下面简单的谈谈求法：一.同经度两点间的球面距离例1.在地球本初子午线上有两点A、B。它们的纬度差为90，若地球半径为R,求A、B两点 间的球面距离。解：如图1所示，设0为地球球心，由题意可得上创=沁，C1AB =故所以：A、B两点间的球面距离为同纬度两点间的球面距离例2.在地球北纬度圈上有两点A、B,

2、它们的经度差为&度，若地球半径为R,求A、B两点 间的球面距离。解：设度的纬线圈的圆心为】，半径。僅为r,贝厂虽皿。依题意= 0。取BC R cos a sin AB的中点C,贝y2。s-nZBOC-sA-BC= 2arcsizn cos ctsin I 2.2R arc sin.名占两点间的球面距离为cosctsin 2)图3三.不同纬度、不同经度两点间的球面距离 例3.设地球上两点A、B,其中A位于北纬30, B位于南纬60,且A、B两点的经度差为 90，求A、B两点的球面距离。解：如图4所示，设、】、2，分别为地球球心、北纬30纬线圈的圆心和南纬60。纬线 圈的圆心。图4连结丄AO. o

3、g、AB. O2S则月。2丄。12，mo】丄2Q4O =兀”，OBO2 =0.0 = -R, BO= ,2 273OO. = R2 2由异面直线上两点间的距离公式得AB2 = +q才 + q0 -20x0003 90s+27|4O仝十OB7 -上E2 乂 OA y. OB8+27|a：.XAOB =丸一 arccos 斗C柘：.AB =7?(-arccos) 4F面给出球面距离的计算公式（仅供参考）：设一个球面的半径为戏，球面上有两点川円丿J、叽）.其中% , %为点的经 度数，网、朋2为点的纬度数，过占、占两点的大圆劣弧所对的圆心角为旧，则有（弧度）6 = ar:coscf（2- 一並）二加

4、届：皿炖 + 曲肚 是A、B间的球面距离为:L - Z 一止 iL=C；3_：“5 - a； I ： i C: 5 /； 1 5J jq iLl /A 图3证明：如图3，。1与卩 分别为过A、B的纬度圈，过A、C的大圆，过衣、D的大圆 分别为A、B的经度圈，而经度圈与纬度圈所在的平面互相垂直，作丿应丄面配,垂足也 位于上，连结应月、血.则=01 =00,-00=(丘win 0 _丘sin爲=(sin - sin在山2加中，由余弦定理，得:BS2 = O2S2 + 0352 + 20/、Oj.Scos -岂)=q才 +。声鸟 _ 2O1J4,Cl3cos(a1 _円)=(7? cos +(A c

5、os - 2J?cos R ccs cos(cel - Qj)i “iJ9、- 2 C03 CO5ASP - Afi1 i BE2 - /?a2 - 2sin / s n 區-2 cos f：川禺c 诚两一碍)AB2=庆（1-心旧）比较上述两式，化简整理得:UK & = UW(GJ - Cfjcos CQS 9)+ 血 # sin #2过山占两点的大圆劣弧所对的圆心角为日从而可证得关于召与的两个式子.例题：北京在东经11&平，北纬毀9，上海在东经121.4，北纬引-2，求北京到上 海的球面距离.解：cos = :os5occs39.9c0s31.2c + sin 39.9sm 31.2 79呂60 5.60.1675 （弧度）所求球面距离为Z =56370x0.1675 5门祸